3.2函数与方程不等式之间的关系(第1课时)课件-高一上学期数学人教B版【01】

典例剖析
解析：(1)令y＝x－1＝0，得x＝1， ∴函数y＝x－1的零点是1. (2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)， 令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3， ∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3. 归纳提升：函数零点的求法： (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x) 的图像联系起来，图像与x轴的交点横坐标即为函数的零点。
解析：(1)由 f(x)＝0，即 x2－7x＋12＝0 得 Δ＝49－4×12＝1>0， ∴方程 x2－7x＋12＝0 有两个不相等的实数根 3,4， ∴函数 f(x)有两个零点，分别是 3,4.
(2)解法一：由 f(x)＝0，得 x2－1x＝0， ∴x3－x 1＝0，∴x3－1＝0 且 x≠0， ∴x＝1.故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点。 解法二：由 x2－1x＝0，得 x2＝1x. 令 h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝1x， 在同一坐标系中画出 h(x)和 g(x)的图像，由图可知两函数图像只有 一个交点，故函数 f(x)＝x2－1x只有一个零点。
求函数f(x)=(x+2)(x+1)(x－1) 的零点，并作出函数图象的示意
图，写出不等式 f(x)>0 和f(x)≤0的解集。 解：函数零点为-2，-1，1. 函数的定义域被这三个点划分了四个区间，每个区间函数值的 符号如下表所示.
典例精析
由此可以作出函数图象的示意图，如图所示.
由图可知 f(x)>0的解集为 (-2，-1)∪(1，+∞); f(x)≤0的解集为 (-∞，-2]∪[-1，1].
已知函数 f(x)＝kx，x≥2， x－12，x＜2.
若方程 f(x)＝12有三个不同
的实根，则实数 k 的取值范围是( B )
A．(1,2]
B．[1，＋∞)
C．[1,2)
D．[1,2]
对点训练
解析：当 x＜2 时，令(x－1)2＝12，解得 x1＝ 22＋1， x2＝－ 22＋1，故 f(x)＝12在 x＜2 时有两个不同的实根．
f(x)＞0 的解集
__{x__|x_＜___x_1或___x_＞__x_2_}__ __{_x_|x_≠__－__2_ba_}___
__R__
f(x)＜0 的解集
__{_x_|_x_1＜___x_＜__x_2_}__
___∅__
__∅___
思考：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，二次项系数a＜0时， 怎样求不等式f(x)＞0的解集？ 提示：对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先把 二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二次项系数为负 数时的函数图像，再求解。
1．函数y＝x2－2x的零点是( A )
A．0,2 B．－2,0 C．1,0 D．－1,0 解析：函数y＝x2－2x的零点就是方程x2－2x＝0的实数根， 解x2－2x＝0，得x1＝0，x2＝2.故选A。
基础自测
2．已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数
a的取值范围是(A )
对点训练
观察图像可知，f(a)＝t1 有 2 个实根，f(a)＝t2 有 2 个实根， f(a)＝t3 有 4 个实根，f(a)＝t4 没有实根，故 f(a)＝ti(i＝1,2,3,4) 共有 8 个实根，即满足 f[f(a)]＝21的实数 a 的个数为 8.
已知零点个数求参数 已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且
依照零点的定义可知，求函数y=f(x)的零点，实质上就是要解 方程f(x)=0，而且只要得到了这个方程的解集，就可以知道函 数图象与x轴的交点，再根据函数的性பைடு நூலகம்等，就能得到类似 f(x)>0等不等式的解集。
思考：(1)函数的零点是点吗？ (2)所有的函数都有零点吗？
提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数 f(x)＝x＋1 的 零点是－1，而不是(－1,0)。
A．a>－9且a≠0
B．a>－9
C．a<－9
D．a>0或a<0
解析：由题意可知 f(x)＝0 有两个根，∴aΔ≠＝036＋4a>0 ，
∴a>－9 且 a≠0.
3．下列各图像表示的函数中没有零点的是( D )
解析：选项D中，函数图像与x轴 没有交点，故该函数没有零点。
4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是 {x|x＝－13} ______________. 解析：不等式可化为(3x＋1)2≤0，因此只有 x＝－13，
如图所示是函数 y=f(x)的图象，分别写出f(x)=0， f(x)>0， f(x)≤0的解集
典例精析
解：由图可知， f(x)=0 的解集为 {-5，-3，-1，2，4，6}.
f(x)>0的解集为(-5，-3)∪(2，4)∪(4，6)
f(x)≤0的解集为__[_-_6_，__-5_]_∪__[_-3_，__2_]_∪__{_4_，__6_}_____
1．求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点。 解析：当a＝0时，y＝－(x＋2)， 令y＝0；得x＝－2； 当a≠0时，令y＝0，得
x1＝1a，x2＝－2.
对点训练
①当a1＝－2，即 a＝－12时，函数的零点为－2. ②当a1≠－2，即 a≠－12时，函数的零点为1a，－2. 综上所述，当 a＝0 或－12时，所求函数的零点为－2， 当 a≠0 且 a≠－12时，所求函数的零点为1a，－2.
仅有两个零点，则实数a的取值范围是(_1_，__＋__∞_)_____。
思路探究：把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y＝2|x－1|＋x 与y＝a的图像有且仅有两个交点问题，画出两个函数的图像， 然后利用数形结合思想求出参数a的范围。
典例剖析
解析：函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数 y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点。 分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示。 由图易知，当a＞1时，两函数的图像有且仅有两个不同的 交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)。
(2)并不是所有的函数都有零点，如函数 f(x)＝1x，y＝x2＋1 均没 有零点。
二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
我们已经知道怎样求解一元二次方程，而且也知道二次函数 的图象是抛物线，因此可以借助二次函数的图象得到一元二 次不等式的解集。
利用函数求下列不等式的解集： (1) x2-x-6＜0； 6≥0.
A={x∈D | f(x)＜0}， B={x∈D | f(x)＝0}， C={x∈D | f(x)＞0}，
显然，A，B，C两两的交集都为空集，且D=A∪B∪C.
一般地，如果函数y=f(x)在实数 α 处的函数值等于零，即 f(α)=0则 称 α 为函数 y=f(x)的零点。上述集合 B 就是函数所有零点组成的集 合。 不难看出， α 是函数f(x)零点的充分必要条件是，(α，0) 是函数图 象与x轴的公共点，因此，由函数的图象可以方便地看出函数值等 于0的方程的解集，以及函数值与 0 比较相对大小的不等式的解集。
二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系
设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的判别式Δ＝b2－4ac
判别式
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
方程
有两个不等的
有两个相等的
没有
f(x)＝0的根
实数解x1，x2
实数解x1，x2
实数解
函数y＝f(x) 的图像
设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的判别式Δ＝b2－4ac
(3)当 x≥0 时，令 f(x)＝0，得 x＋1＝0，解得 x＝－1，与 x≥0 矛盾；当 x＜0 时，令 f(x)＝0，得 x－1＝0，解得 x＝1，与 x＜0 矛盾，∴函数 f(x)＝xx＋－11，，xx≥＜00， 没有零点。
归纳提升：判断函数零点个数的方法 (1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有 几个零点。 (2)图像交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图像，根据图像的 交点个数判断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有 几个零点。
归纳提升：已知函数有零点(方程有根)求参数的方法 1．直接法：根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过 解不等式(组)确定参数的取值范围． 2．数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x) ＝g(x)(h(x)，g(x)的图像易画出)，在同一平面直角坐标系中 画出函数h(x)，g(x)的图像，然后利用数形结合思想求解。
利用函数求下列不等式的解集： (1)-x2-2x-3≥0; (2)-x2-2x-3＜0. 解：设 f(x)= -x2-2x-3，令 f(x)=0， 得
x2+2x+3=0， 即 (x+1)2= -2，该方程无解.
典例精析
因此函数 f(x)无零点，从而 f(x) 的图象与x轴没有交点， 又因为函数图象是开口向下的抛物线，所以可以作出函 数图象的示意图，如图所示。 由图可知： (1) 所求解集为∅； (2) 所求解集为 R.
(2) x2-x-
解：设f(x)=x2-x-6，令f(x)=0，得 x2-x-6=0，
即 (x-3)(x+2)=0，从而x = 3或x = -2. 因此，3和 -2 都是函数 f(x) 的零点，从而f(x)的图象与x轴 相交于 (3，0) 和(-2，0)，又因为函数图象是开口向上的抛 物线，所以可以作出函数图象的示意图，如图所示. 由图可知： (1)所求解集为 (-2，3); (2)所求解集为(-∞，-2]∪[3，＋∞);
已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝－(x－1)2＋1，则满
足 f[f(a)]＝12的实数 a 的个数为( D )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析： 作出 f(x)的图像，如图，令 f(t)＝12，结合图像知，t 有 4 个值， 记为 t1，t2，t3，t4，易知－2＜t1＜－1，－1＜t2＜0,0＜t3＜1,1＜t4＜2.
第三章 函数
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第1课时 函数的零点、二次函数 的零点及其与对应方程、不等式
解集之间的关系
尝试与发现 已知函数 f(x)=x-1，我们知道，这个函数的定义域为_____R_____，而 且可以求出，方程 f(x)=0的解集为____{_1_}____，不等式f(x)>0的解集
利用函数求下列不等式的解集:
(1) x2-4x＋4>0；
(2) x2-4x＋
4解≤：0.设f(x)= x2-4x＋4>0 ，令 f(x)=0，得
x2-4x＋4=0,
即 (x－2)2=0，从而x = 2.
典例分析
因此，函数f(x)的零点为 2，从而 f(x)的图象与x轴相交于(2， 0)，又因为函数图象是开口向上的抛物线，所以可知： (1)所求解集为 (-∞，2)∪(2，+∞)； (2)所求解集为{2}.
为_(_1_，__＋___∞_)_ ，不等式 f(x)＜0的解集为__(_-∞__，__1__)_。
在图中作出函数 f(x)=x-1的图象，总结上述方程、不等式的解集与函 数定义域、函数图象之间的关系.
函数的零点
由尝试与发现中的例子可以看出，根据函数值的符号能够 把函数的定义域分为几个不相交的集合。具体来说，假设 函数 f(x)的定义域为 D，若
零点个数的判断 判断下列函数的零点个数： (1)f(x)＝x2－7x＋12； (2)f(x)＝x2－1x； (3)f(x)＝xx－＋11，，xx＜≥00.，
典例剖析
思路探究：由题目可知：(1)中 f(x)为二次函数，解答本题可直接 判断对应的一元二次方程根的个数；(2)中求函数的零点可直接解相 应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数 y＝x2 与 y＝1x，看两函数 图像交点的个数即可．(3)分段函数求零点在每段上分别求出即可。
即解集为x|x＝－13.
5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝_2___，b＝－8
______.
[解析] 由题意可知，2 和－4 是方程 x2＋ax＋b＝0 的两根，
∴22＋×－－44＝＝－b a ，∴ab＝＝2－8 .
求函数的零点
求下列函数的零点： (1)y＝x－1； (2)y＝x2－x－6. 思路探究：把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式， 最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解。