山东省枣庄市滕州天盛实验中学高一数学理期末试题含解析

山东省枣庄市滕州天盛实验中学高一数学理期末试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知从球的一内接长方体的一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5，则此球的表面积为( ) A ．25π B ．50π C ．125π D ．均不正确
参考答案：
B
2. 如图阴影部分用二元一次不等式组表示为（ ）
A ．
B ．
D 参考答案：
B
3. 已知f （x ）=
，则f （f （2））=（ ）
A ．﹣7
B ．2
C ．﹣1
D ．5
参考答案：
B
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【分析】由f （x ）=
，将x=2代入可得答案．
【解答】解：∵f（x ）=
，
∴f（f （2））=f （﹣1）=2， 故选：B
4. 下表是某次测量中两个变量x ，y 的一组数据，若将y 表示为x 的函数,则最有可能的函数模型是（ ）
A 参考答案：
D
5. 全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={1，3，5，7}，N={2，5，8}则（?U M ）∩N=( ) A ．U B ．{1，3，7} C ．{2，8}
D ．{5}
参考答案：
C
【考点】交、并、补集的混合运算． 【专题】集合．
【分析】根据题意和补集、交集的运算分别求出?U M 、（?U M ）∩N．
【解答】解：因为全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={1，3，5，7}，所以?U M={2，4，6，
8}，又N={2，5，8}，则（?U M ）∩N={2，8}， 故选：C ．
【点评】本题考查了交、补、并集的混合运算，属于基础题．
6. 若关于x 的不等式ax 2﹣（a+1）x+1＜0（a∈R）的解集为（，1），则a 的取值范围为（ ） B
7. 函数
的递减区间为
A.（1，+
） B.（－
，
］ C.（，+） D.（－，］
参考答案：
A
8. （5分）设函数f（x）=3x2﹣1，则f（a）﹣f（﹣a）的值是（）
A．0 B．3a2﹣1 C．6a2﹣2 D．6a2
参考答案：
A
考点：函数的值．
专题：函数的性质及应用．
分析：直接利用函数的解析式求解函数值即可．
解答：函数f（x）=3x2﹣1，
则f（a）﹣f（﹣a）=3a2﹣1﹣（3（﹣a）2﹣1）=0．
故选：A．
点评：本题考查函数值的求法，基本知识的考查．
9. 全集U=R，集合A={1,2,3,4,5}，B=[2,+∞)，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A．{1} B．{0,1} C．{1,2} D．{0,1,2}
参考答案：
A
10. 对于任意角α和β，若满足α+β=，则称α和β“广义互余”．已知sin（π+θ）=﹣，
①sinγ=；②cos（π+γ）=；③tanγ=﹣2；④tanγ=
上述角γ中，可能与角θ“广义互余”的是（）
A．①②B．②③C．①③D．②④
参考答案：
C 【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；新定义；分类讨论；数形结合法；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
【分析】①由已知可得sin2γ+sin2（π+θ）=1，得：+γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=
（k∈Z），即可判断θ和γ可能是广义互余；
②由于sinθ=sin（γ﹣），解得γ﹣θ=2kπ﹣，或γ+θ=2kπ+，即可得解θ和γ不可能是广义互余；
③解得±sinθ=sin（﹣γ），当sinθ=sin（﹣γ）时，可得θ=﹣γ+2kπ，（k∈Z），可得a和β有可能是广义互余；
④解得cos2γ+sin2θ=1，可得γ﹣θ=2kπ，可得γ和θ不可能是广义互余．
【解答】解：∵sin（π+θ）=﹣，可得：sinθ=，
∴①sin2γ+sin2（π+θ）=1，可得：+γ+θ+2kπ=0，或γ+θ+2kπ=（k∈Z），故θ和γ可能是广义互余；
②cos（π+γ）=﹣cosγ=﹣sin（π+θ）=sinθ=sin（γ﹣），
∴θ=γ﹣+2kπ，或θ=π﹣（γ﹣）+2kπ，（k∈Z），
∴γ﹣θ=2kπ﹣，或γ+θ=2kπ+，（k∈Z），
α+β不可能等于90°，θ和γ不可能是广义互余；
③当tanγ=﹣2时，可得cosγ=±=±sinθ=sin（﹣γ），
当sinθ=sin（﹣γ）时，可得θ=﹣γ+2kπ，（k∈Z），
可得a和β有可能是广义互余；
④当tanγ=时，cosγ=±，此时cos2γ+sin2θ=1，γ﹣θ=2kπ，（k∈Z），
∴γ和θ不可能是广义互余．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角函数诱导公式的运用，考查了三角函数的图象和性质，考查了学生分析和解决问题的能力，属于中档题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B=60°，b=，则a+c 的最大值为
_________
．
参考答案：
12.
用过球心的平面将一个球分成两个半球，则一个半球的表面积与原来整球的表面积之比为 。

参考答案：
3:4 略
13. 计算
参考答案：
7
14. 将某班的60名学生编号为：01，02，03，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是 ．
参考答案：
16,28,40,52 15. 已知
且
,则
的最小值是 ．
参考答案：
16. 已知实数满足,则的最大值是 .
参考答案：
5
17. 在△ABC 中，若
，则
等于 ．
参考答案：
2
【考点】HP ：正弦定理．
【分析】首先根据正弦定理可得：a=2sinA ，b=2sinB ，c=2sinC ，然后化简所求即可得解．
【解答】解：由正弦定理可得： ==2，
可得：a=2sinA ，b=2sinB ，c=2sinC ， 则
=
=2，
故答案为：2．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （12分）已知函数
（1）判断并证明函数的奇偶性； （2）当
时函数
与
相同，且
为偶函数，求
的定义域及其表达式。

参考答案：
（1）函数f (x )是奇函数。

………………1分 证明：
∴函数f (x )的定义域为(－3,3)，关于原点对称………………3分
………………2分
∴f (x )=- f (-x )，∴函数f (x )是奇函数.
（2）解：由条件得，时，
∵g (x )定义域关于原点对称，所以g (x )的值域为(－3,3) ………………2分
19. 如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．
（ I）求证：；
（ II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（ III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．
参考答案：
【考点】向量在几何中的应用．
【分析】（ I）延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，证明四边形ACA1B是平行四边形，即可证
明：；
（ II）证明?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?，即可得出：为常数，并求该常数；
（III）确定?（+）=2x（﹣x），利用基本不等式，求的范围．
【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，
∵D是BC的中点，
∴四边形ACA1B是平行四边形，
∴=+，
∵；
（II）证明：∵=+，
∴?（﹣）=（+）?（﹣）=?+?，
∵DE⊥BC，∴?=0，
∵?=（）=，
∴?（﹣）=（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，
∴||==，
同理+=2，
∴?（+）=?2=||?||，
设||=x，则||=﹣x（0），
∴?（+）=2x（﹣x）≤2=1，当且仅当x=时取等号，
∴?（+）∈（0，1]．
20. 在平面直角坐标系xOy中，圆C经过A（0，1），B（3，4），C（6，1）三点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C与直线x﹣y+a=0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）设圆的一般方程，利用待定系数法即可求圆C的方程；
（Ⅱ）利用设而不求思想设出圆C与直线x﹣y+a=0的交点A，B坐标，通过OA⊥OB建立坐标之间的关系，结合韦达定理寻找关于a的方程，通过解方程确定出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，
将已知三点代入，得，
解得：D=﹣6，E=﹣2，F=1，
所以圆C的方程为x2+y2﹣6x﹣2y+1=0，
即．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足方程组：消去y，得到方程．
由已知可得，判别式．
因此，，
从而：①，
由于：OA⊥OB，可得x1x2+y1y2=0，
又：y1=x1+a，y2=x2+a，
所以：．②
由①，②，得：a=﹣1，满足△＞0，
故a=﹣1．
21. 已知函数,,⑴时,求函数f(x)的最大值和最小值;
⑵求的取值范围,使y= f(x)在上是单调函数.
参考答案：
(1)当
其对称轴:,时,.
当,时;当时,
时,.
(2)对称轴.若在上单调,则:
即:
22. (本小题满分12分)如图，有一块矩形空地，要在这块空地上开辟一个内接四边形为绿地，使其四个顶点分别落在矩形的四条边上，已知，，且，设，绿地面积为.
（1）写出关于的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）当为何值时，绿地面积最大？
参考答案：
（1）由题意可知：，…………2分
，…………3分
所以…………5分
故函数解析式为：…………6分
（2）因为……8分
当，即时，则时，取最大值，……9分
当，即时，在上是增函数，则时，取最大值.
综上所述：当时，时，绿地面积取最大值;
当时，时，绿地面积取最大值. ……12分。