配套K12九年级数学下册 第27章 圆 27.4 正多边形和圆同步练习 (新版)华东师大版

27.4 正多边形和圆
一、选择题
1．2018·益阳如图K －22－1，正方形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝4，则图中阴影部分的面积是( )
图K －22－1
A ．4π－16
B ．8π－16
C ．16π－32
D ．32π－16
2．在正三角形、正五边形、正十边形和正十五边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有( ) 链接听课例2归纳总结 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
3．一个正n 边形的中心角是它的一个内角的1
5，则n 的值为( )
A ．12
B ．11
C ．10
D ．8
4．如图K －22－2所示，在⊙O 中，OA ＝AB ，OC ⊥AB ，则下列结论错误的是( )
图K －22－2
A ．弦A
B 的长等于圆内接正六边形的边长 B ．弦A
C 的长等于圆内接正十二边形的边长 C.AC ︵＝BC ︵
D．∠BAC＝30°
5．如图K－22－3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB的度数为( )
图K－22－3
A．30° B．35° C．40° D．60°
6．正六边形的边心距与边长之比为( )
A.3∶3
B.3∶2 C．1∶2 D.2∶2
7．圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则∠APB的度数是( )
链接听课例3归纳总结
A．36° B．60° C．72° D．108°
8．若正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3∶2，则这个正多边形为( )
A．正十二边形 B．正六边形
C．正方形 D．正三角形
9．如图K－22－4所示，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOQ的度数为( )
图K－22－4
A．60° B．65° C．72° D．75°
二、填空题
10．已知正六边形的边长为a，则它的内切圆的面积为________．
11．如图K －22－5，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF 变形为以点A 为圆心，AB 长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形AFB (阴影部分)的面积为________．
图K －22－5
12．如图K －22－6，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠C ＝120°，点E 在AD ︵
上．若
AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边，∠DAE 的度数为________．
图K －22－6
三、解答题
13．如图K －22－7所示，⊙O 中，AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FA ︵
.求证：六边形ABCDEF 是正六边形．
图K －22－7
14．如图K－22－8所示，已知等边三角形ABC的外接圆⊙O的半径为R，求△ABC的边长a，周长P，边心距r及面积S.链接听课例3归纳总结
图K－22－8
15．如图K－22－9，在正五边形ABCDE中，连结AC，AD，CE，CE交AD于点F，连结BF.小颖得出了下列四个结论：
(1)△CDF的周长等于AD＋CD；
(2)FC平分∠BFD；
(3)AC2＋BF2＝4CD2；
(4)DE2＝EF·CE.
你认为这四个结论正确吗？请说明理由．
图K－22－9
16．如图K －22－10，已知⊙O 和⊙O 上的一点A . (1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；
(2)在(1)题的作图中，如果点E 在AD ︵
上，求证：DE 是⊙O 的内接正十二边形的一边． 链接听课例4归纳总结
图K －22－10
阅读探究阅读材料并解答问题：
与正三角形各边都相切的圆叫做正三角形的内切圆，与正四边形各边都相切的圆叫做正四边形的内切圆，…，与正n (n ≥3)边形各边都相切的圆叫做正n 边形的内切圆．设正n 边形的面积为S 正n 边形，其内切圆的半径为r ，试探索正n 边形的面积．
图K －22－11
(1)如图K －22－11所示，当n ＝3时，设AB 切⊙O 于点C ，连结OC ，OA ，OB ， 则OC ⊥AB ，OA ＝OB ， ∴∠AOC ＝1
2
∠AOB ，AB ＝2AC .
在Rt △AOC 中，∵∠AOC ＝12×360°
3＝60°，OC ＝r ，
∴AC ＝r ·tan60°，AB ＝2r ·tan60°， ∴S △OAB ＝12·r ·2r ·tan60°＝r 2
tan60°，
∴S 正三角形＝3S △OAB ＝3r 2
tan60°.
(2)如图K －22－12①，当n ＝4时，仿照(1)中的方法和过程可求得：S 正四边形＝4S △OAB ＝__________；
(3)如图②，当n ＝5时，仿照(1)中的方法和过程求S 正五边形； (4)如图③，根据以上探索过程，请直接写出S 正n 边形＝________．
图K －22－12
教师详解详析
[课堂达标] 1.
[解析] B 连结OA ，OB ，如图．
∵四边形ABCD 为正方形，∴∠AOB ＝90°. 设OA ＝OB ＝r ，则r 2
＋r 2
＝42
，解得r ＝2 2. ∴S 阴影＝S ⊙O －S 正方形ABCD ＝π×(2 2)2
－42
＝8π－16. 故选B . 2．[答案] A 3．[答案] A
4．[解析] D 因为OA ＝OB ＝AB ，所以△OAB 是等边三角形．又因为OC⊥AB，所以∠AOC＝∠BOC ＝30°，所以∠BAC＝15°，AC ︵＝BC ︵
，所以A ，B ，C 正确，D 不正确． 5．[答案] A
6．[解析] B 如图，设正六边形的边长是a ，则其半径长也是a.
过正六边形的中心O 作边AB 的垂线段OC ，连结OA ，OB ，则AC ＝12AB ＝1
2
a ，
∴OC ＝OA 2
－AC 2
＝
3
2
a ， ∴正六边形的边心距与边长之比为3
2
a∶a＝3∶2.故选B .
7．[答案] C
8．[解析] B 正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为3∶2，则半径之比为3∶2. 如图，设AB 是正多边形的一边，O 为正多边形内切圆与外接圆的圆心，OC ⊥AB 于点C ，OC ＝3k ，则OA ＝OB ＝2k ，
在Rt △AOC 中，
cos ∠AOC ＝OC AC ＝
32
， ∴∠AOC ＝30°， ∴∠AOB ＝60°，
则正多边形的边数是360°
60°
＝6.故选B .
9．[解析] D 因为圆心角与它所对弧的度数相等，所以求出AQ ︵
的度数就求出了∠AOQ 的大小，而AQ ︵＝PQ ︵－AP ︵.根据题意，得PQ ︵所对的圆心角为120°，AP ︵所对的圆心角为1
8×360°＝45°，
所以AQ ︵
所对的圆心角为120°－45°＝75°，所以∠AOQ＝75°. 10．[答案] 3πa
2
4
11．[答案] 18
[解析] 由题意可得，正六边形的边长AB 就是扇形的半径，正六边形的边长BC ，CD ，DE ，EF 的和就是扇形的弧长，所以扇形AFB 的半径AB ＝3，弧BDF 的长为12， 所以扇形AFB(阴影部分)的面积为S ＝12rl ＝1
2×3×12＝18.故答案为18.
12．[答案] 42°
[解析] 连结BD ，OA ，OE ，OD ，如图所示．
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠BAD ＋∠C＝180°. ∵∠C ＝120°，∴∠BAD ＝60°. 又∵AB＝AD ，∴△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD ＝60°，∴∠AOD ＝2∠ABD＝120°. ∵AE 恰好为⊙O 的内接正十边形的一边， ∴∠AOE ＝360°÷10＝36°，
∴∠DOE ＝120°－36°＝84°，∴∠DAE ＝42°.
13．[解析] 由弧相等得到弦相等，从而证得该六边形的六条边相等，由弧相等也可以证得该六边形的六个内角相等．
证明：∵AB ︵＝BC ︵＝CD ︵＝DE ︵＝EF ︵＝FA ︵
，
∴AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ＝FA(等弧所对的弦相等)． ∵BCF ︵＝CEA ︵＝BED ︵＝CAE ︵＝DAF ︵＝ACE ︵，
∴∠A ＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F(等弧所对的圆周角相等)， ∴六边形ABCDEF 是正六边形．
14．解：如图，连结OB ，OC ，过点O 作OD⊥BC 于点D ，则OB ＝R ，∠OBD ＝1
2∠ABC＝30°，
∴OD ＝12OB ＝12
R ，
∴a ＝2·
R 2
－⎝ ⎛⎭
⎪⎫12R 2
＝2·32R ＝3R ，
P ＝3a ＝33R ，
r ＝OD ＝12
R ， S ＝3·12ar ＝3×12×3R×12R ＝334
R 2. 15．解：结论(2)错误，其他三个结论都正确．
理由：正五边形的每一个内角均为108°，
由AE ＝DE ，可求得∠EAD＝∠EDA＝36°，
同理可得∠ECD＝36°.
又因为∠FED＝∠DEC，
所以△EFD∽△EDC，可得DE 2
＝EF·CE；
由角的关系可得AF ＝CF ，
所以△CDF 的周长＝CF ＋DF ＋CD ＝AF ＋DF ＋CD ＝AD ＋CD.
所以(1)和(4)正确．
易知∠AFB＝∠BFC＝54°，而∠CFD＝72°，
所以(2)是错误的．
由条件可得AB ＝BC ＝AF ＝CF ，
所以四边形ABCF 是菱形，
则AC 垂直平分BF ，
设AC 与BF 交于点M ，
由勾股定理可得CM 2＋MF 2＝CF 2，
从而可得AC 2＋BF 2＝4CD 2，
所以(3)正确．
16．解：(1)作法：
①作⊙O 的直径AC ；
②作直径BD⊥AC；
③依次连结A ，B ，C ，D 四点，则四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形；
④分别以A ，C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于点E ，H 和F ，G ；
⑤顺次连结AE ，EF ，FC ，CG ，GH ，HA ，则六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形．
(2)证明：如图，
连结OE ，DE.
∵∠AOD ＝360°4
＝90°， ∠AOE ＝360°6
＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD－∠AOE＝90°－60°＝30°，
∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边．
[素养提升]
解：(2)4r 2
tan 45°
(3)如图，当n ＝5时，设AB 切⊙O 于点C ，连结OC ，OA ，OB ，则OC⊥AB，OA ＝OB ，
∴∠AOC＝12∠AOB＝12×360°5
＝36°，AB ＝2AC. ∵OC ＝r ，
∴AC ＝r ·tan 36°，AB ＝2r·tan 36°，S △OAB ＝12
·r ·2r ·tan 36°＝r 2tan 36°， ∴S 正五边形＝5S △OAB ＝5r 2tan 36°.
(4)nr 2tan 180°n。