人教A版数学必修一广东省湛江一中高一数学必修1《4.函数的奇偶性》测试题.docx

自主梳理
1．函数奇偶性的定义：如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有______________，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内任意一个x ，都有____________，则称f (x )为偶函数．
2．奇偶函数的性质：(1)f (x )为奇函数⇔f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝____；
f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (－x )＝f (|x |)⇔f (x )－f (－x )＝____.
(2)f (x )是偶函数⇔f (x )的图象关于____轴对称；f (x )是奇函数⇔f (x )的图象关于_____ ___
对称．
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有________的单调性．
基础练习
1．已知函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．如果奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数且最大值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上
是
A ．增函数且最小值是－5
B ．增函数且最大值是－5
C ．减函数且最大值是－5
D ．减函数且最小值是－5
3．函数y ＝x －1x 的图象 A ．关于原点对称 B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称
4已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值为( )
A ．－13 B.13 C.12 D ．－12
5已知定义域为{x |x ≠0}的函数f (x )为偶函数，且f (x )在区间(－∞，0)上是增函数，若f (－
3)＝0，则f (x )x
<0的解集为 ( ) A ．(－3,0)∪(0,3) B ．(－∞，－3)∪(0,3)
C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
D ．(－3,0)∪(3，＋∞)
7． 设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)
等于
A ．3
B ．1
C ．－1
D ．－3
8设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)
(1)证明f (x )是偶函数；(2)画出这个函数的图象；
(3)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；
(4)求函数的值域．
9．已知函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；
(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围．
答案 自主梳理
1．f (－x )＝－f (x ) f (－x )＝f(x )
2．(1)0 0 (2)y 原点 (3)相反
基础练习
1．B [因为f(x )为偶函数，所以奇次项系数为0，即m －2＝0，m ＝2.]
2．A [奇函数的图象关于原点对称，对称区间上有相同的单调性．]
3．A [由f(－x)＝－f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称．]
4．B [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝－2a b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13b ＝0
，∴a ＋b ＝13.] 5．D[由已知条件，可得函数f (x )的图象大致为右图，故f (x )x
<0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．]
6．D [由f (x ＋2)＝－1f (x )，得f (x ＋4)＝－1f (x ＋2)
＝f (x )，那么f (x )的周期是4，得f (6.5)＝f (2.5)．因为f (x )是偶函数，则f (2.5)＝f (－2.5)＝f (1.5)．而1≤x ≤2时，f (x )＝x －2， ∴f (1.5)＝－0.5.由上知：f (6.5)＝－0.5.]
7．D [因为奇函数f (x )在x ＝0有定义，所以f (0)＝20＋2×0＋b ＝b ＋1＝0，b ＝－1. ∴f (x )＝2x ＋2x －1，f (1)＝3，从而f (－1)＝－f (1)＝－3.]
8解 (1)f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )．∴f (x )是偶函数．
(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，当x <0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2
－2，
即f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
(x －1)2－2， x ≥0，(x ＋1)2－2， x <0.根据二次函数的作图方法，可得函数图象如下图． (3)由(2)中函数图象可知，函数f (x )的单调区间为[－3，－1]，[－1,0]，[0,1]，[1,3]．
f (x )在区间[－3，－1]和[0,1]上为减函数，在[－1,0]，[1,3]上为增函数． (4)当x ≥0
时，函数f (x )＝(x －1)2－2的最小值为－2，最大值为f (3)＝2；
当x <0时，函数f (x )＝(x ＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f (－3)＝2；故函数f (x )的值域为[－2,2]．
10．解 (1)当a ＝0时，f (x )＝x 2对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，有f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，
∴f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x
(x ≠0，常数a ∈R )， 若x ＝±1时，则f (－1)＋f (1)＝2≠0；∴f (－1)≠－f (1)，又f (－1)≠f (1)
∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．
综上所述，当a ＝0时，f (x )为偶函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．
(2)设2≤x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝x 1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2
)－a ]， 要使f (x )在x ∈[2，＋∞)上为增函数，必须使f (x 1)－f (x 2)<0恒成立．∵x 1－x 2<0，x 1x 2>4，即a <x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立．又∵x 1＋x 2>4，∴x 1x 2(x 1＋x 2)>16，∴a 的取值范围为(－∞，16]．。