湖北省黄冈中学高三上学期期中考试数学理试题

黄冈中学2014年秋季高三年级11月月考数学（理科）
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．） 1. 设集合，{}
|2,[0,2]x B y y x ==∈，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 2. 若是第三象限角，且，则（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ. 3. 函数的值域为（ ）
A. B. C.
D.
4. 已知向量与不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠，若三点共线，则实数满足的条件是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
5. 函数的零点所在的区间是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6. 若数列满足，*
,n N p ∈为非零常数，则称数列为“梦想数列”。

已知正项数列为“梦想数列”，且，则的最小值是（ ） A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
7.
已知函数2
(1)(10)
()1)
x x f x x ⎧+-≤≤⎪=<≤，则（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．下列四种说法中，
①命题“存在”的否定是“对于任意”；
②命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数的图象经过点，则的值等于； ④已知向量，，则向量在向量方向上的投影是. 说法正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
9. 定义在上的函数满足：，，是的导函数，
则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为( ) A ． B ． C ． D ．
10.已知函数是定义域为的偶函数. 当时，2
5(02)16
()1()1(2)2x x x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩ 若关于的方程
2[()]()0f x af x b ++=，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C. D ．
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
11.在等比数列中，，且，，成等差数列，则通项公式 . 12.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象如右图所示，则 ．
13.函数2
()(1)2ln(1)f x x x =+-+的单调增区间是 . 14.已知中的内角为，重心为，若
2sin 3sin 3sin 0A GA B GB C GC ⋅+⋅+⋅=，则 .
15.定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，则________．
三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16.（本小题满分12分）
若二次函数2
() (,,)f x ax bx c a b c R =++∈满足(1)()41f x f x x +-=+，且. （1)求的解析式；
（2)若在区间上，不等式恒成立，求实数的取值范围.
17.（本小题满分12分）
已知递增等比数列的前项和为，，且. （1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足*
21()n n b n a n N =-+∈，且的前项和，求证：.
18．（本小题满分12分） 已知向量，．
(1)当时，求的值；
(2)设函数，已知在中，内角的对边分别为， 若，，，求（）的取值范围.
19.（本小题满分12分）
北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。

该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件
时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．
20.（本小题满分13分）
已知函数
69
()ln cos ()2
f x x x x
π=+--的导数为，且数列满足
*1()3()6
n n a a nf n N π
+'+=+∈.
（1）若数列是等差数列，求的值；（2）当时，求数列的前项和； （3）若对任意都有成立，求的取值范围.
21.（本小题满分14分）
已知, ,)()1()(x g x f x F -+=,其中.
(1)若与的图像在交点处的切线互相垂直,求的值；
(2)若是函数的一个极值点,和是的两个零点,且，,求的值；
(3)当时,若,是的两个极值点,当时,求证:12()()34ln 2F x F x ->-.
参考答案
1.C.
2.C
3.A
4. C
5. C
6.【解析】B 依题意可得，则数列为等比数列。

又9999123
99502b b b b b ==，则。

8925024b b b +≥==，当且仅当即该数列为常数列时取等号.
7.B.
8．【答案】A
【解析】①命题“存在x ∈R ，x 2-x ＞0”的否定是“对于任意x ∈R ，x 2-x ≤0”，故①不正确；
②命题“p 且q 为真”，则命题p 、q 均为真，所以“p 或q 为真”．反之“p 或q 为真”，则p 、q 不见得都真，所以不一定有“p 且q 为真”所以命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故命题②不正确； ③由幂函数f （x ）=x α的图象经过点（2，），所以2α＝，所以α＝，所以幂函数为，所以，所以命题③正确；
cos 55
a b a b
θ⋅=
=
=，是
④向量在向量方向上的投影是
和的夹角，故④错误.
9.【解析】A 解析：由题意可知不等式为，
设()()()()()()()510x x x x x x g x e f x e g x e f x e f x e e f x f x '''=--∴=+-=+->⎡⎤⎣⎦所以函数在定义域上单调递增，又因为，所以的解集为
10.【解析】依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值。

要使关于的方程2
[()]()0f x af x b ++=，有且只有6个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（1），且，此时，则；（2
），，此时同理可得，综上可得的范围是.故选答案C. 11.【解析】设，带入，解得，则，.
12.【解析】依题意知，，又过点，则令，得。

故3(2)sin(2)44f ππ=⨯-=13.【解析】函数的定义域为，又，则增区间为.
14.【解析】解析 ：设为角所对的边，由正弦定理得2330aGA bGB cGC ++= ，则
2333()a G A b G B c G C c G A G B
+
=-=--- 即()(
)
23330a c GA b c GB -+
-=，又因为不共线，则, ,即所以，
2221
cos 212
a c
b B a
c +-∴==. 15．定义函数，其中表示不小于的最小整数，如，.当，时，函数的值域为，记集合中元素的个数为，
则________． 【答案】
【解析】易知：当时，因为，所以，所以，所以； 当时，因为，所以，所以，所以；
当时，因为，所以，所以，所以{}331,3,4,7,8,9,6A a ==；
当时，因为，所以，所以{}{}
{}(]412,16x x x =∈，所以{}441,3,4,7,8,9,13,14,15,16,10A a ==； 当
时
，
因
为
，
所
以
，
所
以
{}{}{}(]
520,25x x x =∈，所以
{}551,3,4,7,8,9,13,14,15,16,21,22,23,24,25,15A a ==，
由此类推：，所以，所以
121
12(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭
，所以 12
11
121
n n a a a n +++
=+ 16．【解析】 (1)由得，. ∴.
又(1)()41f x f x x +-=+，∴2
2
(1)(1)3(3)41a x b x ax bx x ++++-++=+，
即， ∴，∴.∴.
(2)等价于，即在上恒成立，
令，则，∴.
17.【解析】（1）设公比为q ，由题意：q>1, 11=a ，则2a q =，23a q =，
∵，∴
1
)(221321++=++a a a a a
则1)1(212
++=++q q q 解得：或（舍去），∴12n n a -=
（2）
1
21212n n n b n a n -=-+=-+
()()1
13.....2112......2n n T n -=+++-+++⎡⎤⎣⎦
2[1(21)]1221
212n n n n n +--=+=+--
又∵在上是单调递增的 ∴∴
18．【答案】（2）
()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++≤-πA x f 解析：（1）33
//,cos sin 0,tan 44a b x x x ∴+=∴=-
22
222cos 2sin cos 12tan 8cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++
（2）()2()2sin(2)4
f x a b b x π
=+⋅=
++
由正弦定理得
sin ,,sin sin 24
a b A A A B π===可得所以或 因为，所以
()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++62cos 4πA x f , ,
所以
()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++≤-πA x f 19.解：(1)设每件定价为t 元，依题意得⎝⎛⎭
⎫8－t －25
1×0.2t ≥25×8，
整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意知当x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋1
5
x 有解，
等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋1
5有解．
由于150x ＋1
6
x ≥2
150x ×16x ＝10，当且仅当150x ＝x
6
，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2. 当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 20.解：169
()sin 2
f x x x π'=
--+，则，故 （1）若数列是等差数列，则.,)1(111nd a a d n a a n n +=-+=+ 由得11()[(1)]43a nd a n d n +++-=+，解得：
（2）由*
143().n n a a n n N ++=+∈得 两式相减，得
故数列是首项为，公差为4的等差数列．数列是首项为，公差为4 的等差数列，
由2112
7,2,5,a a a a +===得 所以2,21,.n n n a n n ⎧=⎨+⎩
为奇数
为偶数 ①当
212341()()()n n n n S a a a a a a a --=++++
+++
21
(457)
2312715(45)2222
n n n n n n n -⨯-++-=++
+-+=+= ②当为偶数时，
n n a a a a S ++++= 321
21234123()()()715(41)2
n n n n a a a a a a n -+=++++++=++
+-=
（3）由（2）知，1122,23,n n a n a n a n -+⎧=⎨+-⎩为奇数
为偶数
①当为奇数时，11122,25.
n n a n a a n a +=-+=+-
由22221111
4148417.n n n n a a a a n n a a +++≥-≥-+-+得2 令22133()84178(),42
f n n n
n =-+-=
---
2max 11()(1)21,21421.f n f a a ∴==-∴-≥-解得a a ≥
≤ ②当为偶数时，11123,2.n n a n a a n a +=+-=+
由22221111
4684 3.n n n n a a a a n n a a +++≥-≥-+++得2 令2217()8438(),42
g n n n n =-++=-++
2max 11()(2)21,2621g n g a a ∴==-∴-≥- 解得
综上，的取值范围是77
([,).+-∞+∞ 21.【答案】(1),
由题知,即 解得⎪⎩⎪⎨⎧
-=-
=2
21b a
(2))()1()(x g x f x F -+==,
由题知,即⎪⎩⎪⎨⎧=+=--0
10
42b b a
解得,
∴2
()6ln ()F x x x x =--,=
∵,由,解得;由,解得
∴在上单调递增,在单调递减, 故至多有两个零点,其中,
又>=0, =6(-1)>0, =6(-2)<0 ，∴∈(3,4),故=3 (3)当时, =])2([ln 2x a x x a -+-,
)2(2)(---=
'a x x
a
x F , 由题知=0在(0,+∞)上有两个不同根, ,则<0且≠-2,此时=0的两根为,1, 由题知|--1|>1,则++1>1, +4>0
又∵<0,∴<-4,此时->1
极大值极小值设141)2ln()(2-+
-=a a a a ϕ,则12
1
)2ln()(++-='a a a ϕ ,∵,∴,∴
∴在(―∞,―4)上是增函数, <
从而在(―∞,―4)上是减函数,∴>=3-4
所以12()()34ln 2F x F x ->-.。