2016届新课标高考理科数学第二轮知识点复习学案13

1．(2015·课标Ⅱ，3，易)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是( )
A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
【答案】 D A ，B ，C 均正确，对D ，2006年以来随年份增加，二氧化硫年排放量减少，不与年份正相关．
2．(2015·湖北，2，易)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为( )
A ．134石
B ．169石
C ．338石
D ．1 365石
【答案】 B 由题可知，谷占的比例约为28254，
所以米内夹谷约为28
254×1 534≈169(石)．
3．(2015·安徽，6，中)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1，2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )
A ．8
B ．15
C ．16
D ．32
【答案】 C 若x 1，x 2，…，x n 的标准差为s ，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的标准差为as .由题意s ＝8，则所求标准差为2×8＝16.
4．(2015·江苏，2，易)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．
【解析】 平均数x －
＝
4＋6＋5＋8＋7＋6
6
＝6.
【答案】 6
5．(2015·湖南，12，易)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示．
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．
【解析】35人抽取7人，则n＝35
7＝5，而在[139，151]上共有20人，应
抽取4人．
【答案】 4
6．(2015·课标Ⅱ，18，12分，中)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：A地区：627381929585746453767886956697 7888827689
B地区：738362519146537364829348658174 5654766579
(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；
(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：
记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．
解：(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：
通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于B 地区用户满意度评分的平均值；A 地区用户满意度评分比较集中，B 地区用户满意度评分比较分散．
(2)记C A1表示事件：“A 地区用户的满意度等级为满意或非常满意”； C A2表示事件：“A 地区用户的满意度等级为非常满意”； C B1表示事件：“B 地区用户的满意度等级为不满意”； C B2表示事件：“B 地区用户的满意度等级为满意”，
则C A1与C B1独立，C A2与C B2独立，C B1与C B2互斥，C ＝(C B1C A1)∪(C B2C A2)． P (C )＝P ((C B1C A1)∪(C B2C A2)) ＝P (C B1C A1)＋P (C B2C A2) ＝P (C B1)P (C A1)＋P (C B2)P (C A2)．
由所给数据得C A1，C A2，C B1，C B2发生的频率分别为1620，420，1020，8
20，故 P (C A1)＝1620，P (C A2)＝4
20， P (C B1)＝1020，P (C B2)＝8
20， P (C )＝1020×1620＋820×4
20＝0.48.
1．(2014·湖南，2，易)对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p 1，p 2，p 3，则( )
A ．p 1＝p 2<p 3
B ．p 2＝p 3<p 1
C ．p 1＝p 3<p 2
D ．p 1＝p 2＝p 3
【答案】 D 在简单随机抽样、系统抽样、分层抽样中每个个体被抽到的机会是均等的，即每个个体被抽到的概率是相等的，故p 1＝p 2＝p 3.
2．(2013·江西，4，易)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 B ．07 C ．02 D ．01
【答案】 D 由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体的编号为08，02，14，07，01(第2个02需剔除)，所以选出来的第5个个体的编号为01，选D.
3．(2013·安徽，5，易)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93.下列说法一定正确的是( )
A ．这种抽样方法是一种分层抽样
B ．这种抽样方法是一种系统抽样
C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差
D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】 C A 项，不是分层抽样，因为抽样比不同． B 项，不是系统抽样，因为随机询问，抽样间隔未知． C 项，五名男生成绩的平均数是
x －
＝
86＋94＋88＋92＋90
5
＝90，
五名女生成绩的平均数是
y －
＝88＋93＋93＋88＋935
＝91，
五名男生成绩的方差为 s 21
＝15(16＋16＋4＋4＋0)＝8， 五名女生成绩的方差为
s 22＝15
(9＋4＋4＋9＋4)＝6，
显然，五名男生成绩的方差大于五名女生成绩的方差．
D项，由于五名男生和五名女生的成绩无代表性，不能确定该班男生和女生的平均成绩．
4．(2013·重庆，4，易)以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．
已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为()
A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8
【答案】C由茎叶图及已知得x＝5，又乙组数据的平均数为16.8，
即9＋15＋（10＋y）＋18＋24
5＝16.8，
解得y＝8，选C.
5．(2012·山东，4，中)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为()
A．7 B．9 C．10 D．15
【答案】C由题意知应将960人分成32组，每组30人．设每组选出的
人的号码为30k＋9(k＝0，1，…，31)，由451≤30k＋9≤750，解得442
30≤k≤
741
30.
又k∈N，故k＝15，16，…，24.故选C.
6．(2014·江苏，6，易)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.
【解析】 由题意知在抽测的60株树木中，底部周长小于100 cm 的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.
【答案】 24
7．(2014·天津，9，易)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
【解析】 4
20×300＝60(名)． 【答案】 60
8．(2013·江苏，6，中)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：
则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________． 【解析】 设甲、乙两位射击运动员成绩的方差分别为s 2甲，s 2乙，由题意可得甲、乙两人的平均成绩都是90，
s 2甲＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4， s 2乙＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2. 【答案】 2
9．(2013·广东，17，12分，易)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．
(1)根据茎叶图计算样本均值；
(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？
(3)从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．
解：(1)样本均值为
17＋19＋20＋21＋25＋30
6＝22.
(2)由(1)知样本中优秀工人占的比例为
2 6＝1
3，故推断该车间12名工人中有
12×1
3＝4名优秀工人．
(3)设“从该车间12名工人中，任取2人，恰有1名优秀工人”为事件A，
则P(A)＝C14C18
C212＝
16
33.
考向1三种抽样方法及其应用三种抽样方法的比较
(1)(2013·课标Ⅰ，3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从
该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()
A．简单随机抽样
B．按性别分层抽样
C．按学段分层抽样
D．系统抽样
(2)(2014·广东，6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()
A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10
【解析】(1)因为男女生视力情况差异不大，而学段的视力情况有较大差异，所以应按学段分层抽样．
(2)由题意知，该地区中小学生共有10 000名，故样本容量为10 000×2%＝
200.由分层抽样知应抽取高中学生的人数为200×2 000
10 000＝40，其中近视人数为
40×50%＝20.
【答案】(1)C(2)A
【点拨】解题(1)的关键是了解样本特征的差异性；解题(2)的关键是从扇形统计图和条形统计图中读出相关数据并进行计算．
1.抽样方法的选择与判断
解决此类问题的关键是掌握这三种抽样方法的适用原则：
(1)简单随机抽样：总体中的个体性质相似，无明显层次；总体容量较小，
尤其是样本容量较小；用简单随机抽样法抽出的个体带有随机性，个体间无固定间距．
(2)系统抽样：元素个数很多且均衡的总体；各个个体被抽到的机会均等；总体分组后，在起始部分抽样时，采用简单随机抽样．
(3)分层抽样：总体由差异明显的几部分组成，如年龄、学段、性别、工种等；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．2．分层抽样中公式的运用
(1)抽样比＝样本容量
个体总量
＝
各层样本容量
各层个体数量
；
(2)层1的数量∶层2的数量∶层3的数量＝样本1的容量∶样本2的容量∶样本3的容量．
(1)(2013·陕西，4)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1，2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481，720]的人数为()
A．11 B．12 C．13 D．14
(2)(2015·湖北武汉联考，12)已知某单位有40名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1～40编号，并按编号顺序平均分成5组．按系统抽样方法在各组内抽取一个号码．若第1组抽出的号码为2，则所有被抽出职工的号码为________．
(1)【答案】B因为840∶42＝20∶1，故编号在[481，720]内的人数为240÷20＝12.
(2)【解析】由系统抽样知识知，第一组1～8号；第二组为9～16号；第三组为17～24号；第四组为25～32号；第五组为33～40号．
第一组抽出号码为2，则依次为10，18，26，34.
【答案】2，10，18，26，34
考向2统计图表
1．频率分布直方图的特征
(1)各矩形的面积和为1.
(2)纵轴的含义为频率
组距
，矩形的面积＝组距×
频率
组距
＝频率．
(3)样本数据的平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘矩形底边中点横坐标之和．
(4)众数为最高矩形的底边中点的横坐标． 2．各种统计图表的优点与不足
茎叶图中茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．
(2014·广东，17，13分)随机观测生产某种零件的某工厂25名工
人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.
根据上述数据得到样本的频率分布表如下：
(1)确定样本频率分布表中n 1，n 2，f 1和f 2的值； (2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；
(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．
【思路导引】(1)根据题目中数据得n1，n2，利用频数
25得出f1，f2；(2)根据
分组、频率及组距画出频率分布直方图；(3)利用独立重复试验公式，根据对立事件求概率的方法即可求出．
【解析】(1)由所给数据知，落在区间(40，45]内的有7个，落在(45，50]
内的有2个，故n1＝7，n2＝2，所以f1＝7
25＝0.28，f2＝2
25＝0.08.
(2)频率分布直方图如图所示：
(3)工人们日加工零件数落在区间(30，35]的概率为0.2，设日加工零件数落在区间(30，35]的人数为随机变量ξ，则ξ～B(4，0.2)，故4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率为：1－C04(0.2)0(0.8)4＝1－0.409 6＝0.590 4.
解决统计图表问题的方法
解决图表类问题时，应正确理解图表中各量的意义，通过图表掌握信息是解决该类问题的关键．频率分布直方图直观形象地表示了样本的频率分布．
(2013·辽宁，5)某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直
方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是()
A．45 B．50 C．55 D．60
【答案】B由频率分布直方图可知[20，40)间的频率为0.005×20＝0.1，
[40，60)间的频率为0.01×20＝0.2.所以低于60分的频率为0.3，总人数为15
0.3＝50，选B.
考向3 用样本数字特征估计总体
1．众数、中位数、平均数
2.方差和标准差
方差和标准差反映了数据波动程度的大小．
(1)方差：s 2
＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2
＋…＋(x n －x －
)2]；
(2)标准差：s ＝1n [（x 1－x －）2＋（x 2－x －）2
＋…＋（x n －x －
）2].
3．关于平均数、方差的有关性质
(1)若x 1，x 2，…，x n 的平均数为x －
，那么mx 1＋a ，
mx 2＋a ，…，mx n ＋a 的平
均数为mx －
＋a .
(2)数据x 1，x 2，…，x n 与数据x ′1＝x 1＋a ，x ′2＝x 2＋a ，…，x ′n ＝x n ＋a 的方差相等，即数据经过平移后方差不变．
(3)若x 1，x 2，…，x n 的方差为s 2，那么ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2.
(2014·山东，7)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行
临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．下图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
( )
A ．6
B ．8
C ．12
D ．18
(2)(2014·陕西，9)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )
A ．1＋a ，4
B ．1＋a ，4＋a
C ．1，4
D ．1，4＋a
【解析】 (1)第一、二两组的频率为0.24＋0.16＝0.4， ∴志愿者的总人数为20
0.4＝50(人)． 第三组的人数为50×0.36＝18(人)， ∴有疗效的人数为18－6＝12(人)．
(2)y －
＝110(y 1＋y 2＋…＋y 10)＝110(x 1＋x 2＋…＋x 10＋10a )＝1
10(x 1＋x 2＋…＋x 10)
＋a ＝1＋a ，
S 2
＝110[(y 1－y －)2＋…＋(y 10－y －)2]＝110[(x 1－1)2＋…＋(x 10－1)2
]＝110[(x 1－x －
)2
＋…＋(x 10－x －
)2]＝4.
【答案】 (1)C (2)A
【点拨】 解题(1)的关键是理解频率分布直方图中频率与频数的关系；题(2)根据公式直接求解．
有关样本数字特征问题的解题技巧
(1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据平均数不相等时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况．
(2)若给出图形，一方面可以由图形得到相应的样本数据，再计算平均数、
方差(标准差)；另一方面，可以从图形直观分析样本数据的分布情况，大致判断平均数的范围，并利用数据的波动性大小反映方差(标准差)的大小．
(2013·湖北，11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发
现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．
(1)直方图中x 的值为________；
(2)在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为________． 【解析】 (1)由频率分布直方图的性质知50×0.002 4＋50×0.003 6＋50×0.006 0＋50x ＋50×0.002 4＋50×0.001 2＝1，解得x ＝0.004 4.
(2)用电量落在区间[100，250)内的频率为50×(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)＝0.7，故用电量落在区间[100，250)内的户数为100×0.7＝70.
【答案】 (1)0.004 4 (2)70
考向4 统计与概率的综合应用
(2014·课标Ⅰ，18，12分)从某企业生产的某种产品中抽取500
件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x －
和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x －
，σ2近似为样本方差s 2.
①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用①的结果，求EX .
附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.
【解析】 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x －
和样本方差s 2分别为
x －
＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z ～N (200，150)，从而
P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.
②由①知，一个产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26.
【点拨】 第(1)问求平均数时注意利用区间中点值；第(2)问注意运用题干中所给数据，正确利用公式求解．
解答统计与概率综合问题的注意事项
(1)从统计图表中准确获取相关信息是解题关键． (2)明确频率与概率的关系，频率可近似代替概率．
(3)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成．
(2015·河南名校联考，18，12分)某班50名学生在一次百米测试
中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14)；第二组[14，15)；…；第五组[17，18]．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
(2)设m，n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知m，n∈[13，14)∪[17，18]，求事件“|m－n|>1”的概率．
解：(1)由频率分布直方图知，成绩在[14，16)内的人数为50×0.16＋50×0.38＝27(人)，
所以该班在这次测试中成绩良好的人数为27人．
(2)由频率分布直方图知，成绩在[13，14)的人数为50×0.06＝3(人)，设为x，y，z；成绩在[17，18]的人数为50×0.08＝4(人)，设为A，B，C，D.
当m，n∈[13，14)时，有xy，yz，xz，3种情况；
当m，n∈[17，18]时，有AB，AC，AD，BC，BD，CD，6种情况．
若m，n分别在[13，14)和[17，18]内时，如下表所示：
共有12种情况，所以基本事件总数为21种，事件“|m－n|>1”所包含的基
本事件有12种，∴P(|m－n|>1)＝12
21＝
4
7.
1．(2014·河北石家庄二模，3)某学校高三年级一班共有60名学生，现采用系统抽样的方法从中抽取6名学生做“早餐与健康”的调查，为此将学生编号为1，2，…，60.选取的这6名学生的编号可能是()
A．1，2，3，4，5，6 B．6，16，26，36，46，56
C．1，2，4，8，16，32 D．3，9，13，27，36，54
【答案】B由系统抽样知识知，所选取学生编号之间的间距相等且为10，所以应选B.
2．(2015·浙江杭州模拟，7)某校150名教职工中，有老年人20名，中年人50名，青年人80名，从中抽取30名作为样本．
①采用随机抽样法：抽签取出30个样本；
②采用系统抽样法：将教职工编号为00，01，…，149，然后平均分组抽取30个样本；
③采用分层抽样法：从老年人、中年人、青年人中抽取30个样本．
下列说法中正确的是()
A．无论采用哪种方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等
B．①②两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；③并非如此
C．①③两种抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率都相等；②并非如此
D．采用不同的抽样方法，这150名教职工中每个人被抽到的概率是各不相同的
【答案】A三种抽样方法中，每个人被抽到的概率都等于30
150＝
1
5，故选
A.
3．(2015·湖北武汉第二次调研，8)如图是依据某城市年龄在20岁到45岁的居民上网情况调查而绘制的频率分布直方图，现已知年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45)的上网人数呈现递减的等差数列分布，则年龄在[35，40)的网民出现的频率为()
A．0.04 B．0.06 C．0.2 D．0.3
【答案】 C 由频率分布直方图的知识得，年龄在[20，25)的频率为0.01×5＝0.05，[25，30)的频率为0.07×5＝0.35，设年龄在[30，35)，[35，40)，[40，45]的频率为x ，y ，z ，又x ，y ，z 成等差数列，所以可得⎩⎨
⎧x ＋y ＋z ＝1－0.05－0.35，
x ＋z ＝2y ，解得y ＝0.2，
∴年龄在[35，40)的网民出现的频率为0.2.故选C.
4．(2015·湖北十校联考，6)已知某次期中考试中，甲、乙两组学生的数学成绩如下：
甲：88 100 95 86 95 91 84 74 92 83 乙：93 89 81 77 96 78 77 85 89 86 则下列结论正确的是( )
A.x －
甲>x －
乙，s 甲>s 乙 B.x －
甲>x －
乙，s 甲<s 乙
C.x －
甲<x －
乙，s 甲>s 乙 D.x －
甲<x －
乙，s 甲<s 乙
【答案】 A 由平均数公式得：x －
甲＝1
10(88＋100＋…＋92＋83)＝88.8，
x －
乙＝
1
10
(93＋89＋…＋89＋86)＝85.1， 由标准差公式得：s 甲＝
110[（88－88.8）2＋…＋（83－88.8）2] ＝1
10×501.6≈7.08，
s 乙＝1
10[（93－85.1）2＋…＋（86－85.1）2]
＝1
10×410.9≈6.41，
∴x －
甲＞x －
乙，s 甲＞s 乙．
5．(2015·豫北十校联考，13)2015年的NBA 全明星赛于北京时间2015年2月14日举行．如图是参加此次比赛的甲、乙两名篮球运动员以往几场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是________．
【解析】应用茎叶图的知识得，甲、乙两人这几场比赛得分的中位数分别为28，36，因此甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.
【答案】64
6．(2015·山东滨州一模，13)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)．
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
【解析】由分层抽样知识得12∶(45＋15)＝(30－12)∶(30＋10＋a＋20)，∴a＝30.
【答案】30
7．(2015·江西南昌一模，13)一所中学共有4 000名学生，为了引导学生树立正确的消费观，需抽样调查学生每天使用零花钱的数量(取整数元)情况，分层抽取容量为300的样本，作出频率分布直方图如图所示，请估计在全校所有学生中，一天使用零花钱在6元～14元的学生大约有________人．
【解析】根据频率分布直方图得：
一天使用零花钱在6元～14元的学生频率是1－(0.02＋0.03＋0.03)×4＝1－0.32＝0.68，
∴对应的频数是4 000×0.68＝2 720，
∴估计全校学生中，一天使用零花钱在6元～14元的大约有2 720人． 【答案】 2 720
8．(2015·山东济南二模，19，12分)国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如下：
(1)试根据上面的统计数据，判断甲、乙两个城市的空气质量指数的方差的大小关系(只需写出结果)；
(2)试根据上面的统计数据，估计甲城市某一天空气质量等级为2级良的概率；
(3)分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率．
(注：s 2
＝1n [(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2
]，其中x －
为数据x 1，x 2，…，x n
的平均数)
解：(1)甲城市的空气质量指数的方差大于乙城市的空气质量指数的方差． (2)根据题中的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为2级良的频率为35，则估计甲城市某一天的空气质量等级为2级良的概率为35.
(3)设事件A 为“从甲城市和乙城市的统计数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同”，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任
取一个，共有C 15·C 15＝25个结果，分别记为：(29，43)，(29，41)，(29，55)，
(29，58)，(29，78)，(53，43)，(53，41)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，43)，(57，41)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，(75，43)，(75，41)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，(106，43)，(106，41)，(106，55)，(106，58)，(106，78)．
其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29，乙41，乙43，同为2级良的为甲53，甲57，甲75，乙55，乙58，乙78.
则空气质量等级相同的为：(29，41)，(29，43)，(53，55)，(53，58)，(53，78)，(57，55)，(57，58)，(57，78)，(75，55)，(75，58)，(75，78)，共11个结果．
由古典概型可得P (A )＝11
25.
所以这两个城市空气质量等级相同的概率为11
25.
1．(2015·福建，4，易)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归直线方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
，其中b ^
＝0.76，a ^
＝y －
－b ^x －
.据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )
A ．11.4万元
B ．11.8万元
C ．12.0万元
D ．12.2万元 【答案】 B 由题意知，
x －
＝
8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.9
5
＝10，
y －
＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85
＝8.
又∵b ^＝0.76，∴a ^＝0.4，∴y ^＝0.76x ＋0.4，∴当x ＝15时，y ^
＝11.8.
2．(2015·课标Ⅰ，19，12分，中)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
表中w i ＝x i ，w －
＝18∑i ＝1
w i . (1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x ，根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β^
＝
∑n
i ＝1
（u i －u －）（v i －u －
）
∑n
i ＝1
（u i －u －
）2
，α^
＝v －
－β^
u －
解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．
(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于
d ^
＝∑8
i ＝1
（w i －w －）（y i －y －
）∑8
i ＝1
（w i －w －）2
＝108.81.6＝68， c ^
＝y －
－d ^w －
＝563－68×6.8＝100.6，
所以y 关于w 的线性回归方程为y ^
＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^
＝100.6＋68x .
(3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^
＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值 z ^
＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.
所以当x ＝13.6
2＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．
1．(2014·湖北，4，易)根据如下样本数据
得到的回归方程为y ^
＝bx ＋a ，则( ) A ．a >0，b >0 B ．a >0，b <0 C ．a <0，b >0 D ．a <0，b <0
【答案】 B 画出散点图，知a >0，b <0.
2．(2014·重庆，3，易)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均
数x －＝3，y －
＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )
A.y ^＝0.4x ＋2.3
B.y ^
＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^
＝－0.3x ＋4.4
【答案】 A 因为变量x 与y 正相关，故C ，D 错误．又线性回归方程必
过点(x －
，y －
)，即过(3，3.5)，代入验证可知选A.
3．(2012·湖南，4，易)设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^
＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )
A ．y 与x 具有正的线性相关关系
B ．回归直线过样本点的中心(x －
，y －
)
C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kg
D ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【答案】 D ∵0.85>0，∴y 与x 正相关，∴A 正确；∵线性回归方程经
过样本点的中心(x －
，y －
)，∴B 正确；∵Δy ＝0.85(x ＋1)－85.71－(0.85x －85.71)＝0.85，∴C 正确；体重58.79 kg 为估计值，故选D.
4．(2011·山东，7，易)某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：
根据上表可得回归方程y ^
＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
【答案】 B 由表可计算x －
＝4＋2＋3＋54＝72，y －＝49＋26＋39＋544
＝42.因
为点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
72，42在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上，且b ^为9.4，所以42＝9.4×72＋a ^，解得a ^＝
9.1，故回归方程为y ^＝9.4x ＋9.1，令x ＝6，得y ^
＝65.5.
5．(2011·湖南，4，易)通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项
运动，得到如下的列联表：
由K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，
K 2
＝110×（40×30－20×20）260×50×60×50
≈7.8.
附表：
参照附表，得到的正确结论是 ( )
A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
B ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
【答案】 C 由K 2
＝110×（40×30－20×20）2
60×50×60×50
≈7.8及P (k 2≥6.635)＝
0.010可知，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”，也就是有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故选C.
考向1 线性回归方程及其应用
1．两个变量的线性相关
(1)正相关：在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域．对于两个变量的这种相关关系，将它称为正相关．
(2)负相关：在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域．对于两个变。