【数学】陕西省留坝县中学2018届高三下学期数学(文)周四练习(2) 含答案

2018届下学期高三文科数学周四练习（2）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的）
1．已知集合}12|{},065|{2<=<--=x x B x x x A ，则图中阴影部分表示的集合是( )
A ．}32|{<<x x
B ．}01|{≤<-x x
C ．}60|{<≤x x
D ．}1|{-<x x
2．已知复数i
x i
z --=
2为纯虚数，其中i 为虚数单位，则实数x 的值为( ) A ．21- B ．21 C ．-3 D ．3
1
3．已知对某超市某月(30天)每天顾客使用信用卡的人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如
图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是( ) A ．44, 45, 56 B ．44，43, 57 C ．44，43, 56
D ．45, 43, 57
4．已知函数x x x f cos sin )(-=，且)(2
1
)(x f x f ='，则x 2tan 的值是( ) A ．3
2-
B ．3
4-
C ．34
D ．4
3
5．在等腰梯形ABCD 中，M ,2-=为BC 的中点，则=( )
A ．
21
21+ B ．
21
43+ C ．4
1
43+
D ．4
3
21+
6．已知41
log ,31log ,434
1
3
1
===c b a ，则( ) A ．c b a >> B ．a c b >> C ．a b c >>
D ．c a b >>
7．执行如图所示的程序框图，若输入的,2,3,1,43210-==-==a a a a
14=a ，则输出的t 的值为( )
A ．5
B ．10
C ．12
D ．14
8．已知c b a ,,是锐角ABC ∆中C B A ,,的对边，若ABC c a ∆==,6,4的面积为36，则
b 为( )
A ．13
B ．8
C ．72
D ．22
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．46+π B ．4+π C ．
2
5π
D ．π2
10．三棱锥ABC P -中，⊥PA 平面ABC 且ABC PA ∆=,2
是边长为3的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面 积为( ) A ．
3
4π
B ．π4
C ．π8
D ．π20
11．平行四边形ABCD 内接于椭圆12
42
2=+y x ，直线AB 的斜率1k =1，则直线AD 的斜率 2k =( )
A ．
2
1
B ．2
1-
C ．4
1-
D ．-2
12．在等差数列}{n a 中，4,253=-=a a ，若存在正整数m ，使得
m
m m a a a 2
1++为数列}{n a 中的项，则所有满足条件的m 的值的和为( ) A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．）
13．已知y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-+≤-+≤-0320620
y x y x y x ，则y x +3的最大值是____．
14．将函数x x x f sin cos 3)(-=的图象向右平移θ个单位后得到的图象关于直线6
π
=
x
对称，则θ的最小正值为 ．
15．已知直线1l 与直线0134:2=+-y x l 垂直且与圆32:2
2
+-=+y y x C 相切，则直线1l
的方程是 ．
16．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=-0
,0
,12)(2x x x x x f x ，则关于x 的不等式3)]([≤x f f 的解集为 ．
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）已知递增的等比数列}{n a 的前n 项和为64,6=a S n ，且54,a a 的等差中项为.33a
(1)求数列}{n a 的通项公式； (2)设1
2-=n n a n b ，求数列}{n b 的前n 项和.n T
18．（本小题满分12分）为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位千元／吨）和年利润z 的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
(1)求y 关于x 的线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=； (2)若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润z 取到最大值？（保留两位小数）
参考公式：x b y a
n x y
x n y
x x y
y x x b
n i i n
i i
i n
i i n
i i i ˆˆ,ˆ1
2
21
1
2
1
-=--=
---=∑∑∑
∑
====
19．（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面ABCD ，
E 是PD 的中点．
(1)证明：//PB 平面AEC ；
(2)设3,1==AD AP ，三棱锥ABD P -的体积4
3
=
V ，求A 到平面PBC 的距离．
20．（本小题满分12分）已知动点P 到直线1:-=x l 的距离等于它到圆014:22=+-+x y x C 的切线长 (P 到切点的距离）
．记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；
(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于B A ,两点，问是否存在常数λ使得2
||||||QC BC AC λ=⋅？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数)0().1()(≠+-=a x a e x f x
(1)讨论)(x f 的单调性；
(2)若,)(2
a a x f ->求a 的取值范围．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C 的参数方程为θθ
θ
(sin 4cos 6⎩⎨
⎧==y x 为参数）
，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎪⎩
⎪⎨
⎧==y
y x x 41'31'得到曲线'C ．
(1)求曲线'C 的普通方程；
(2)若点A 在曲线'C 上，点)3,1(D ．当点A 在曲线'C 上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知d c b a ,,,均为正数，且bc ad =.
(1)证明：若c b d a +>+，则||||c b d a ->-；
(2)44442222d b c a d c b a t +++=++⋅，求实数t 的取值范围．
参考答案
1．C 2．A 3．B 4．D
5．B
6．A 7．D
8．C
9．D
10．C 11．B
12．B
13．8
14．
3
π 15．01443=++y x 或3x +4y -6=0
16．}2|{≤x x
17．解：(1)设等比数列}{n a 的公比为)
0(>q q ，由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=2
14
13
1
51
664q
a q a q a q a ，
解得⎩⎨
⎧-===)
(322
1舍或q q a ，所以.2n n a =
(2)因为1
21
22--=
=
n n n n a n b ，所以,2
...2423222112753-+++++=
n n n T ,2
21...232221*********+-+-++++=n n n n
n T 所以1
212121275323343224
11411212212121212143+++-⨯+-=--⎪
⎭⎫
⎝⎛-=-+++++=n n n n n n n n n T ， 故.2
93498291216981212-+⨯+-=⨯+-=n n n n
n T
18．解：(1)55,7.62,25,15,
5,32
5
1
5
1
5
1
5
1
======∑∑∑∑====i i i i i i i i i x y x y x y x ， 解得69.8ˆ,23.1ˆ=-=a b
，所以x y 23.169.8ˆ-=. (2)年利润x x x x x z 69.623.12)23.169.8(2
+-=--=，所以当72.2=x 时，年利润z 最大.
19．(1)设BD 交AC 于点O ，连结EO 。

因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点。

又E 为
PD 的中点，所以PB EO //又⊂EO 平面∉PB AEC ,平面AEC ，所以//PB 平面AEC 。

(2)AB AD AB PA V 63
6
1=⋅⋅=
由43=V ，可得.23=AB
作PB AH ⊥交PB 于H 。

由题设易知⊥BC 平面PAB ，所以AH BC ⊥ 故⊥AH 平面PBC ，又13133=⋅=PB
AB PA AH ，所以A 到平面PBC 的距离为13133.
20．解：(1)由已知得圆心为)0,2(C ，半径3=r ．设),(y x P ，依题意可得
=
+|1|x 3222-+-y x ，整理得.62x y =
故曲线E 的方程为.62x y =
(2)设直线AB 的方程为2-=x my 则直线CQ 的方程为)2(--=x m y ．可得)3,1(m Q -. 设),(),,(2211y x B y x A .
将2-=x my 代入x y 62=并整理得01262=--my y ，那么,1221-=y y 则)1(9||),1(12||)1(||||222212m QC m y y m BC AC +=+=+=⋅， 即2||34||||QC BC AC =⋅，所以存在.3
4=λ
21．解：(1)a e x f x -=)('若0<a ，则)(,0)(x f x f >'在R 上单调递增； 若0>a ，当a x ln =时，0)('=x f ；当a x ln <时，0)('<x f ； 当a x ln >，时0)('>x f .
故在)ln ,(a -∞上，)(x f 单调递减；在),(ln ∞+a 上，)(x f 单调递增.
(2)由(1)知若0>a ，只需a a a f ->2
)(ln ，即a a a a ->-2ln ，即.01ln <-+a a
令1ln )(-+=a a a g ，当0>a 时，)(a g 单调递增，又0)1(=g ，则.10<<a
若0<a ，则-=------=+---=-)()][ln(,2)ln(]1)[ln()][ln(2
a a a f a a a a a a a f
].1)[ln()ln(2++--=---a a a a a a a
因为01)ln(≤++-a a ，所以,0]1)[ln(≤++--a a a 则,)][ln(2
a a a f -≤-，不合要求． 综上所述，a 的取值范围是.10<<a
22．解：(1)将⎩⎨
⎧==θ
θ
sin 4cos 6y x 代入⎪⎩
⎪⎨
⎧==y
y x x 41'31'，得曲线'C 的参数方程为⎩
⎨⎧==θθ
sin 'cos 2'y x ，
∴曲线'C 的普通方程为.14
22
=+y x
(2)设点),(),,(00y x A y x P ，又)3,1(D ，且AD 的中点为P ，⎩⎨
⎧-=-=∴3
21
200y y x x ，
又点A 在曲线'C 上，∴代入'C 的普通方程14
22
=+y x ， 得4)32(4)12(22=-+-y x ，
∴动点P 的轨迹方程为.4)32(4)12(22=-+-y x
23．解：(1)由bc ad c b d a 44)()(22==+>+， 得22)()(c b d a ->-，即.||||c b d a ->-
(2)因为22222222222222222)(2))((bd ac d b abcd c a d b c b d a c a d c b a +=++=+++=++， 所以)(2222bd ac t d c b a t +=++⋅. 由于bd d b ac c a 2,24444≥+≥
+，
又已知44442222d b c a d c b a t +++=++⋅， 则)(2)(bd ac bd ac t +≥+，故2≥t ，当d b c a ==,时取等号.。