高考数学复习专题1.1集合(解析版)

专题1.1集合
集合是高考必考内容.命题特点是，集合由描述法呈现，转向由离散元素呈现．解决这类问题的关键在于正确理解集合中元素所具有属性的，明确集合中含有的元素（不等式的解、函数的定义域或值域），进一步进行交、并、补等运算．常见选择题，属容易题.
1.元素与集合
（1）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．
（2）集合与元素的关系：若a 属于集合A ，记作a A ∈；若b 不属于集合A ，记作b A ∉． （3）集合的表示方法：列举法、描述法、区间法、图示法． （4）常见数集及其符号表示
2.集合间的基本关系
（1）子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，也说集合A 是集合B 的子集．记为或．
（2）真子集：对于两个集合A 与B ，如果，且集合B 中至少有一个元素不属于集合A ，则称集合A 是集合B 的真子集．记为A B ⊂≠．
（3）空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集．
（4）若一个集合含有n 个元素，则子集个数为2n 个，真子集个数为21
n -
． 3.集合的基本运算
（1）三种基本运算的概念及表示
A B ⊆B A ⊇A B ⊆
（2）三种运算的常见性质
， ， ，，，．
，，．
， ， ， ．
【典例1】（全国高考真题（文））已知集合A ={x|x =3n +2,n ∈
N},B ={6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中的元素个数为( ) A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
【答案】D 【解析】
由已知得A ∩B 中的元素均为偶数，∴n 应为取偶数，故A ∩B ={8,14} ，故选D. 【易错提醒】
1.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 【典例2】（2019·山东济南市历城第二中学月考）集合{
}
2
4,A x x x R ==∈,集合{}
4,B x kx x R ==∈,若B A ⊆,则实数k =_________. 【答案】0,2,2- 【解析】
{}
{}24,2,2A x x x R ==∈=-.因为B A ⊆,所以{}{}{},2,2,2,2B B B B =∅==-=-.
当B =∅时,这时说明方程4kx =无实根,所以0k =；
当{}2B =时,这时说明2是方程4kx =的实根,故242k k =⇒=； 当{}2B =-时,这时说明2-是方程4kx =的实根,故242k k -=⇒=-；
A A A = A ∅=∅ A
B B
A = A A A = A A ∅= A
B B A =(
C A)A U U C =U C U =∅U C U ∅=A B A A B =⇔⊆A B A B A =⇔⊆()U U U C A B C A C B =()U U U C A B C A C B =
因为方程4kx =最多有一个实数根,故2,2B 不可能成立.
故答案为：0,2,2- 【释疑解惑】
(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．
(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．
(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题．
提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． 【典例3】（2018·全国高考真题（理））已知集合{
}
2
20A x x x =-->，则A =R
A ．{}
12x x -<< B ．{}
12x x -≤≤
C ．}{
}
{
|12x x x x <-⋃ D ．}{}{
|1|2x x x x ≤-⋃≥
【答案】B 【解析】
解不等式220x x -->得12x x -或， 所以{}
|12A x x x =<->或，
所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.
【典例4】（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B =（ ） A.（–1，1） B.（1，2） C.（–1，+∞） D.（1，+∞）
【答案】C 【解析】
∵A ={x|−1<x <2},B ={x|>1} ， ∴A ∪B =(1,+∞) ， 故选C.
【典例5】（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}
2
,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为
________ 【答案】1 【解析】
由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．
【典例6】（2015·湖北高考真题（理））已知集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}，定义集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}，则A ⊕B 中元素的个数为（ ）
A ．77
B ．49
C ．45
D ．30 【答案】C 【解析】
因为集合A ={(x,y)|x 2+y 2≤1, x,y ∈Z}，所以集合
中有9个元素（即9个点），即图中圆中的整点，
集合B ={(x,y)| |x|≤2 , |y|≤2, x,y ∈Z}中有25个元素（即25个点）：即图中正方形中的整点，集合A ⊕B ={(x 1+x 2,y 1+y 2)|(x 1,y 1)∈A, (x 2,y 2)∈B}的元素可看作正方形中
的整点（除去四个顶点），即
个．
【总结提升】
1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几点：
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提． (2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图． 2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：
(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；
(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，用区间法要注意端点值的情况．
3.解决集合新定义问题的着手点
(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口．
(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用． (3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．
1.集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是（ ）．
M B.0M ∉
C.1M ∈
D.π
2
M -
∈ 【答案】D 【解析】
由题意，集合M 是由大于2-且小于1的实数构成的，即{|21}M x x =-<<，
1>M ；由201-<<，故0M ∈；由1不小于1，故1M ∉； 由π212-<-<，故π
2
M -∈． 故选D ．
2．（2018·全国高考真题（文））已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =（ ）
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
【答案】C 【解析】
{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==, {}3,5A B ∴⋂=,
故选C
3．（2018·全国高考真题（文））已知集合{|10}A x x =-≥，{0,1,2}B =，则A B =（ ）
A ．{0}
B ．{1}
C ．{1,2}
D ．{0,1,2}
【答案】C 【解析】 由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C.
4．（2019·全国高三月考（理））集合{
}
2
|(1)0A x x x =-=的子集个数是（ ） A.1 B.2 C.4 D.8
【答案】C 【解析】 因为{0,1}A =，
所以其子集个数是224=. 故选：C.
5.（2017·北京高考真题（文））已知全集U =R ，集合{|22}A x x x =<->或，则U
A =（ ）
A ．(2,2)-
B ．(,2)(2,)-∞-+∞
C ．[2,2]-
D ．(,2][2,)-∞-+∞
【答案】C 【解析】
因为{2A x x =<-或2}x >，所以
{}22U
A x x =-≤≤，故选：C ．
6．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合3922A x x ⎧⎫
=-
≤≤⎨⎬⎩⎭
，Z 为整数集，则集合A Z 中的元素的个数是（ ） A.4 B.5
C.6
D.7
【答案】C 【解析】
39
{|}{1,0,1,2,3,4}22
A Z x x Z ⋂=-≤≤⋂=-，共6个元素.
故选：C.
7.（2020届浙江省温州市11月适应测试）已知全集{1,2,3,4}U =，{1,3}A =，{,3}C 2U B =，则A B =
（ ） A ．{1} B ．{3}
C ．{4}
D ．{1,3,4}
【答案】A 【解析】
因为{1,2,3,4}U =,{,3}C 2U B = 所以由补集定义与运算可得{1,4}B = 又因为{1,3}A = 根据交集运算可得{1,3}14{}}{1,A B ==
故选:A
8.（2020届浙江省杭州地区（含周边)重点中学高三上期中）已知全集U =R ，{|11}M x x =-<<，
{|0}N y y =<，则U ()M
N =（ ）
A ．(1,0)-
B ．(1,0]-
C ．(0,1)
D ．[0,1)
【答案】D 【解析】
因为{|0}N y y =<，所以U
{|0}N y y =≥
所以U (){|01}M N x x =≤<
故选：D
9.（全国高考真题（理））已知集合{A =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ）
A.0
B.0或3
C.1
D.1或3
【答案】B 【解析】
因为A B A ⋃=,所以B A ⊆,所以3m =或m =
若3m =，则{{1,3}A B ==,满足A B A ⋃=.
若m =
0m =或1m =.若0m =，则{1,3,0},{1,3,0}A B ==，满足
A B A ⋃=.若1m =，{1,3,1},{1,1}A B ==显然不成立，综上0m =或3m =，选B.
10.（上海高考真题）设常数a∈R，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a 的取值范围为（ ） A.（﹣∞，2） B.（﹣∞，2]
C.（2，+∞）
D.[2，+∞）
【答案】B 【解析】 当
时，
，此时成立，当时，
，当时，，即
，当时，
，当
时，
恒成立，所
以a 的取值范围为
，故选B.
11.已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)
【答案】D
【解析】A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A . ①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2；
②当B ≠∅时，有321
14211m m m m -≤-⎧⎪
+≤⎨⎪-<+⎩
，
解得－1≤m ＜2.
综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．
12.（2019·江苏高考真题）已知集合{1,0,1,6}A =-，{}
0,B x x x R =∈，则A B ⋂=_____. 【答案】{1,6}. 【解析】
由题知，{1,6}A B ⋂=.
13.（2017·江苏高考真题）已知集合{}1,2A =，{}
2
,3B a a =+，若A B={1}⋂则实数a 的值为________
【答案】 1
【解析】
由题意1B ∈，显然233a +≥，所以1a =，此时234a +=，满足题意，故答案为1．
14．（2019·山西高一期中）已知集合M 满足{}1,2M ⊆⊂≠{}1,2,3,4,5 ，那么这样的集合M 的个数为_____________． 【答案】7 【解析】
用列举法可知M ＝{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}共7个． 故答案为：7.
15．（2019·新余市第六中学高一期中）设集合,A B 是非空集合，定义{|A B x x A B ⨯=∈⋃且}x A B ，
已知{}
25A x x =-<<，{}
3B x x =≤，则A B ⨯=__________. 【答案】{|35x x <<或2}x
【解析】 如图所示：
{}{}5,23A B x x A B x x ⋃=<⋂=-<≤，
因为{}
A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且， 所以{}
352A B x x x ⨯=<<≤-或. 故答案为：{}
352x x x <<≤-或.
16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k A ∈，如果1k A -∉，1k A +∉，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定{}1,2,3,4,5A =，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有______个． 【答案】13 【解析】
由题意可知,含有一个“孤立元”的集合有以下几种情形：
①只有一个元素,即{}1,{}2,{}3,{}4,{}5,符合题意；②有2个元素,则有两个“孤立元”,不符合题意；③有3个元素时,有{}1,2,4,{}1,2,5,{}1,3,4,{}1,4,5,{}2,3,5,{}2,4,5, ④有4个元素时,有{}1,2,3,5,{}1,3,4,5,综上,共13个. 故答案为：13。