2019_2020学年高中数学第3章三角恒等变换3.3二倍角的三角函数课件北师大版必修4

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(1)求 f(x)的最小正周期;
(2)求
f(x)在区间
-
π 3
,
π 4
上的最大值和最小值.
思路点拨:先化简三角函数式,再利用正弦型三角函数的性质求
最小正周期和最值.
规范解答(1)由已知,有
f(x)=1-co2s2������

1-cos 2������-π3 2
=
1 2
1 2
cos2������
+
3 2
探究一
探究二
探究三
答题模板
解:(1)原式=1+cos(22������+30°) + 1-cos(22������-30°)+cos θsin θ =1+12(cos 2θcos 30°-sin 2θsin 30°-cos 2θcos 30°-
sin 2θsin 30°)+12sin 2θ=1-sin 2θsin 30°+12sin 2θ=1.
= 13,则 cos
2π 3
+
2������
=
D.
2 4
D.43 .
探究一
探究二
探究三
答题模板
解析:(1)sin 105°sin 165°=sin 75°cos 75°=12sin 150°=14, 故选 B.
(2)由已知得ttaann������������+-11
=
12,解得
tan
α=-3,于是
1-tan2������=tan
2θ.
(2)证明:左边=(cos2α+sin2α)(cos2α-sin2α)=cos2α-sin2α=cos 2α=右
边,所以等式成立.
探究一
探究二
探究三
答题模板
倍角公式在研究三角函数性质中的应用
【典例】
已知函数 f(x)=sin2x-sin2
������-
π 6
,x∈R.
答案:D
B.1-cos 2α=2sin2α
D.tan
2α=
2tan������ 1+tan2������
【做一做2】 化简或求值:
(1)cos215°-sin215°=
;
(2)12-ttaann26600°°=
.
解析:(1)cos215°-sin215°=cos 30°= 23; (2)原式=tan1120° = - 13=- 33.
探究一
探究二
探究三
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反思感悟利用半角公式进行求值和化简时,要正确选用降幂公式 和升幂公式.
当待化简式中含有根式时,应选用升幂公式去根号;当待化简式 中含有高次式时,应选用降幂公式减少运算量,同时注意隐含条件 中角的范围.
探究一
探究二
探究三
答题模板
变式训练 2 已知 sin α=-187,且 π<α<32π,求 sin���2���,cos���2���,tan���2���的值.
=
2sin������(sin������+cos������) 2cos������(sin������+cos������)
=
sin������
cos������=tan
θ=右边,所以等式成立.
探究一
探究二
探究三
答题模板
反思感悟1.对于三角函数式的化简,注意以下两点: (1)三角函数式的化简有四个方向,即分别从“角”“函数 名”“幂”“形”着手分析,消除差异. (2)三角函数式的化简,主要有以下几类:①对三角的和式,基本思 路是降幂、消项和逆用公式;②对三角的分式,基本思路是分子与 分母的约分和逆用公式,最终变成整式或数值;③对二次根式,则需 要运用倍角公式的变形形式.在具体过程中体现的则是化归的思想, 是一个“化异为同”的过程,涉及切弦互化,即“函数名”的“化同”;角 的变换,即“单角化倍角”“单角化复角”“复角化复角”等具体手段.
(2)左边=((11+-ccooss22������������))++ssiinn22������������
=
2sin2������+sin2������ 2cos2������+sin2������
=
2sin2������+2sin������cos������ 2cos2������+2sin������cos������
§3 二倍角的三角函数
课标阐释
思维脉络
1.掌握二倍角公式及其推导过程. 2.能运用二倍角公式推导半角公式. 3.能运用二倍角公式及其变形解决 三角函数的求值、化简与证明问题. 4.能综合运用三角函数的相关公式 解决综合问题.
一二
一、正弦、余弦、正切的倍角公式
1.S2α:sin 2α=2sin αcos α.
探究一
探究二
探究三
答题模板
运用半角公式求值
【例 2】 (1)若 cos θ=13,且 270°<θ<360°,则 cos���2���的值为( )
A.
3 3
B.
6 3
C.±
6 3
D.-
6 3
(2)已知等腰三角形顶角的余弦值为
2 3
,那么这个三角形一底角的
余弦值为
.
解析:(1)∵270°< θ<360°,∴135°< ���2��� <180°,



的二倍角,������

������ 的
24
二倍角,3α
是3������
2
的二倍角等.
3.一般情况下,sin 2α≠2sin
α.例如,sinπ≠2sinπ,只有当
α=nπ,n∈Z
3
6
时,sin 2α=2sin α 才成立.同样在一般情况下,cos 2α≠2cos α,tan
2α≠2tan α.
答案:(1)A (2)B (3)34
探究一
探究二
探究三
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反思感悟 运用倍角公式时的注意事项
在运用倍角公式时,要注意以下两点: (1)明确式子结构,观察角与角之间的关系,当单角是非特殊角,而 其倍角是特殊角时,常利用倍角公式及其变形公式化为特殊角求值; 当式子中涉及的角较多,要先变角,化异角为同角;对根式形式的化 简,以去根号为目的,化简时注意角的范围. (2)注意公式的正用、逆用及变形用,要注意从“角”和“函数名称” 两个角度去分析,合理选择公式.
∴cos α-sin α=- 23.
(2)∵sin
π 2
+
������
= 13,∴cos α=13.
∴cos(π+2α)=-cos
2α=1-2cos2α=1-
2 9
=
79.
(3)∵11+-ttaann������������=2,∴tan α=13.
∴tan 2α=12-ttaann2������������ = 34.
解:∵sin α=-187,π<α<32π,
∴cos α=- 1-sin2������=- 1- - 8 2=-15.
17
17
又π
2
<
������ 2
<
3π 4
,
∴sin������ = 1-cos ������ = 1+1157 = 4 17,
2
2
2
17
cos���2���=-
1+cos 2
������=-
2.C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=1-2sin2α=2cos2α-1. 3.T2α:tan 2α=12-ttaann2������������.
名师点拨 1.二倍角公式中 S2α,C2α 对任意角 α 均成立,但在 T2α 中,
需 α≠kπ+π,且 α≠kπ±π(k∈Z).
2
4
2.正确理解“二倍角”含义的相对性,如
探究一
探究二
探究三
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变式训练 1(1)计算 sin 105°sin 165°的值是( )
A.12
B.14
C.
2 2
(2)若ssiinn������������+-ccooss������������ = 12,则 tan 2α=(
)
A.-34
B.34
C.-43
(3)若 sin
π 6
-������
探究一
探究二
探究三
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变式训练 3(1)化简:1-t1an������ − 1+t1an������;
(2)求证:cos4α-sin4α=cos 2α.
(1)解:1-t1an������

1 1+tan������
=
1+tan������-1+tan������ 1-tan2������
=
2tan������
探究一
探究二
探究三
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2.对于无条件的恒等式证明,常采用的方法有化繁为简和左右归 一,关键是分析等式两边三角函数式的特点、角度和函数关系,找 出差异,寻找突破口;有条件的等式证明,常先观察条件及式中左右 两边三角函数式的区别与联系,灵活使用.另外,需注意二倍角公式 本身是“升幂公式”,其变形是“降幂公式”,在证明中应灵活选择.
4.由公式 C2α 可得 sin2α=1-co2s2 ������,cos2α=1+co2s2 ������,这两个公式称为降 幂扩角公式,应用广泛,应熟记.
一二
【做一做1】 下列各式中,不一定成立的是( )
A.sin 8α=2sin 4αcos 4α C.(sin α+cos α)2=1+sin 2α
sin2������
− 12cos 2x= 43sin 2x-14cos 2x
=12sin
2������-
π 6
.
所以 f(x)的最小正周期 T=22π=π.
tan���2���
=
sin cos
������
2������=-4.
2
1-1157=- 17,
2 17
探究一
探究二
探究三
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运用倍角、半角公式进行化简、证明 【例3】 (1)化简:cos2(θ+15°)+sin2(θ-15°)+sin(θ+90°)cos(90°-θ);
(2)证明:11++ssiinn22������������+-ccooss22������������=tan θ. 思路分析:(1)将前两项进行降幂处理,后两项运用诱导公式,展开 整理化简即得;(2)将左边分子、分母中的1-cos 2θ与1+cos 2θ运用 公式先化简,后约分结合同角关系证明.
答案:(1)
3 2
(2)-
3 3
一二
二、半角公式
1.sin���2���=± 1-c2os������; 2.cos���2���=± 1+c2os������; 3.tan���2���=± 11+-ccooss������������. 名师点拨 1.“半角”是相对而言的,不仅���2���是 α 的半角,其他如 2α 是 4符α号 2的.在确半半定角角,若,32公������角是式���2���3所中α在,的根的半 号象角前限等面无也的法可 符确以 号定应 由,则 用角应 半���2���所保 角在留 公象根 式限号. 的前三面角的函正数、值负的两 个符号.
π 4
,
π 2
,则 cos α-sin α=(
)
A.-
3 2
B.34
C.
3 2
(2)已知 sin
π 2
+
������
= 13,则 cos(π+2α)的值为(
A.-79
B.79
C.29
(3)已知 tan
π 4
+
������
=2,则 tan 2α=
.
D.-
3 4
)
D.-23
探究一
探究二
探究三
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解析:(1)∵π4<α<π2,∴sin α>cos α. 又(cos α-sin α)2=1-sin 2α=1-14 = 34,
一二ห้องสมุดไป่ตู้
【做一做 3】 设 5π<θ<6π,cos���2���=a,则 sin���4���等于
.
解析:由
5π<θ<6π,则52π
<
���2���<3π,54π
<
������ 4
<
32π,
则 sin���4���=- 1-c2os���2���=- 12-������.
答案:-
1-������ 2
一二
α=-43. (
)
(3)若函数f(x)=A1sin(ωx+φ1),g(x)=A2sin(ωx+φ2)(其中 A1>0,A2>0,ω>0),则m(x)=f(x)+g(x)的周期与f(x)和g(x)的一致. ( )
答案:(1) (2)× (3)
探究一
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运用倍角公式求值
【例 1】
(1)已知 sin 2α=14,α∈
∴cos������=- 1+cos ������=- 1+13=- 6.
2
2
23
(2)设等腰三角形的底角为
α,顶角为
β,则
α=π2

������ 2
,cos
β=23,
故 cos α=cos
π 2
-
������ 2
=sin���2��� =
答案:(1)D
(2)
6 6
1-cos ������ 2
=
66.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画
“×”.
(1)若
α≠kπ,k∈Z,则 tan���2���
=
sin������ 1+cos������
=
1-cos������ sin������
恒成立.
(
)
(2)在等腰三角形中,已知顶角为 α,底角为 β,且 tan β=13,则有 tan
tan
2α=
2×(-3) 1-(-3)2
=
34.
(3)已知
sin
π 6
-������
= 13,且
π 6
-������
+
π 3
+
������
= π2,
则 cos
π 3
+
������
=sin
π 6
-������
= 13,故 cos
2π 3
+
2������
=2cos2
π 3
+
������
-1=-79.
答案:(1)B (2)B (3)-79
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