近年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性精选教案理(2021年整理)

2019版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性精选教案理
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第6讲函数的奇偶性与周期性
考纲要求
考情分析命题趋势
1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．
2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．
3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．
2017·北京卷，5
2017·天津卷，6
2016·山东卷，9
2016·江苏卷，11
1．对函数的奇偶性与周
期性的考查主要有两种题
型：一是判断函数的奇偶性
与周期性;二是已知函数的
奇偶性与周期性求值或范
围，难度一般．
2．函数的单调性、奇偶
性、周期性的综合应用，题
型有根据性质判断图象、解
不等式、求方程根的个数
等，难度较大．
分值：5分
1．偶函数、奇函数的概念
一般地，如果对函数f（x)的定义域内任意一个x，都有__f（－x)＝f(x）__,那么函数f（x)就叫做偶函数．
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有__f(－x)＝－f （x）__，那么函数f(x)就叫做奇函数．
2．奇、偶函数的图象特征
偶函数的图象关于__y轴__对称，奇函数的图象关于__原点__对称．
3．函数奇偶性的常用结论
(1)如果函数f（x)是偶函数,那么f(x)＝f（|x|)．
(2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
（3)在公共定义域内有:奇±奇＝奇，偶±偶＝偶,奇×奇＝偶,偶×偶＝偶,奇×偶＝奇．
4．函数的周期性
(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T）＝f（x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．
(2)如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x）的__最小__正周期．
5．函数周期性的常用结论
对f（x）定义域内任一自变量x的值：
（1)若f(x＋a）＝－f（x)，则T＝2a（a>0);
（2)若f(x＋a)＝错误!，则T＝2a(a〉0)；
(3）若f(x＋a)＝－错误!，则T＝2a（a〉0)．
6．函数的对称性与周期性的关系
(1)如果函数f（x）(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a〈b），则函数f（x)是周期函数，且周期T＝2（b－a）(不一定是最小正周期,下同）．
(2)如果函数f（x)（x∈D)在定义域内有两个对称中心A（a,0），B（b，0）（a〈b)，那么函数f（x）是周期函数,且周期T＝2（b－a）．（3）如果函数f（x），x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称
中心B(b,0）(a≠b),那么函数f（x)是周期函数，且周期T＝4|b－a｜。

注：对于（1）（2）(3）中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．
1．思维辨析（在括号内打“√"或“×”）．
(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的．( √)
（2）若函数f（x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( ×)
（3)若函数y＝f(x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（√)
（4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数,则函数y＝f(x)关于点（b,0）中心对称．( √）
解析（1)正确．根据函数奇偶性的定义,f(x），f(－x）必须同时有意义,故具备奇偶性的函数首先其定义域关于坐标原点对称，但定义域关于坐标原点对称的函数未必具有奇偶性．
(2）错误．若函数f（x）在点x＝0处没有定义，如f（x）＝错误!，则f（0）不存在．
(3）正确．函数y＝f（x＋a)关于直线x＝0对称，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．
(4）正确．函数y＝f（x＋b）关于点（0,0）中心对称,则函数y＝f（x)关于点(b，0）中心对称．
2．下列函数为偶函数的是( D）
A．f(x)＝x－1 B．f（x）＝x2＋x
C．f(x）＝2x－2－x D．f（x)＝2x＋2－x
解析易判断A,B项中的函数为非奇非偶函数;对于C项，f(－x)＝2－x －2x＝－(2x－2－x)＝－f（x）为奇函数；对于D项，f（－x）＝2－x＋2x＝f(x)为偶函数，故选D．
3．已知函数f(x）为奇函数，且当x>0时，f（x）＝x2＋1
x
，则f（－1）
＝( A）
A．－2 B．0
C．1 D．2
解析∵f（x）为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2,故选A．
4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f（x＋4)＝f（x)，当x∈(0,2)时,f（x)＝2x2，则f(2 015）＝（A）
A．－2 B．2
C．8 D．－8
解析由f（x＋4)＝f(x),∴f(x)的周期为4，
∴f（2 015）＝f（503×4＋3)＝f(3）＝f(－1），
又函数为奇函数，∴f(－1）＝－f(1)＝－2×12＝－2，故选A．
5．若f(x）＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝!！！－错误!#＃#.
解析函数f（x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数,故f(－x)＝f（x)，即ln （e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1）＋ax,
故ln e－3x＋1
e3x＋1
＝2ax,即ln e－3x＝2ax，则－3x＝2ax,
∴a＝－错误!。

一函数奇偶性的判断
函数奇偶性的判断方法
(1）判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称，在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式,根据f（－x）与f(x）的关系作出判断．
（2）分段函数指在定义域的不同子集上有不同对应关系的函数．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x〈0来寻找等式f（－x)＝f（x)或f(－x)＝－f（x）成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时,分段函数才具有确定的奇偶性．
【例1】判断下列各函数的奇偶性．
(1)f（x）＝(x＋1)错误!;
(2）f(x）＝错误!；
(3）f（x）＝｛x2＋x x〈0，－x2＋x，x>0。

解析(1)由错误!得定义域为（－1,1］，关于原点不对称,故f（x)为非奇非偶函数．
(2)由错误!得定义域为（－1,0）∪(0，1），关于原点对称．
∴x－2<0，∴｜x－2｜－2＝－x，∴f(x）＝错误!。

又∵f(－x）＝错误!＝－错误!＝－f(x),
∴函数f(x)为奇函数．
（3）显然函数f(x)的定义域为(－∞,0）∪（0，＋∞)，关于原点对称．当x〈0时，－x〉0,则f(－x)＝－(－x）2－x＝－x2－x＝－f（x）；
当x>0时，－x<0，则f（－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f（x）．
综上可知，对于定义域内的任意x，总有f（－x)＝－f（x）成立，
∴函数f(x)为奇函数．
二函数奇偶性的应用
函数奇偶性问题的解决方法
(1）已知函数的奇偶性，求函数值．将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．
（2）已知函数的奇偶性求解析式．将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程(组），从而得到f（x)的解析式．
(3)已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值．常常利用待定系数法：由f（x)±f（－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解．
(4)应用奇偶性画图象和判断单调性．利用奇偶性可画出另一对称区间上
的图象并判断另一区间上的单调性．
【例2】 (1）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g（x)＝x3＋x2＋1，则f(1）＋g(1）＝（C)
A．－3 B．－1
C．1 D．3
(2）已知函数f(x）＝ax3＋b sin x＋4(a，b∈R)，f[lg(log210）］＝5，则f[lg（lg 2）］＝（C）
A．－5 B．－1
C．3 D．4
解析(1)用“－x”代替“x"，得f(－x)－g（－x)＝(－x）3＋(－x）2＋1,化简得f(x)＋g（x）＝－x3＋x2＋1，令x＝1，得f（1）＋g(1)＝1，故选C．
（2）∵f(x)＝ax3＋b sin x＋4,①
∴f(－x）＝a（－x)3＋b sin (－x)＋4，
即f(－x）＝－ax3－b sin x＋4，②
①＋②得f(x）＋f（－x)＝8，③
又∵lg(log210)＝lg错误!＝lg（lg 2)－1＝－lg（lg 2)，
∴f[lg(log210)］＝f［－lg(lg 2）］＝5，
又由③式知f［－lg(lg 2）]＋f［lg(lg 2)］＝8,
∴5＋f[lg(lg 2)］＝8,∴f[lg(lg 2)］＝3.
三函数的周期性
函数周期性的判定与应用
(1）判断函数的周期只需证明f（x＋T)＝f（x)(T≠0）便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2)根据函数的周期性,可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论:若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0）也是函数的周期．
【例3】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x〈－1
时,f（x)＝－（x＋2)2；当－1≤x〈3时，f(x）＝x.则f（1）＋f（2）＋f （3）＋…＋f（2 019)＝（B)
A．335 B．338
C．337 D．2 015
解析由f（x＋6）＝f（x)可知，函数f（x)的周期为6，所以f(－3）＝f(3)＝－1，f(－2)＝f（4）＝0，f（－1)＝f(5）＝－1，f（0)＝f(6）＝0，f（1）＝1，f（2)＝2，所以在一个周期内有f（1)＋f(2)＋…＋f（6）＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f（1）＋f（2)＋…＋f（2 019)＝f(1）＋f （2）＋f(3）＋336×1＝338。

四函数性质的综合应用
函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略（1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．
(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
【例4】（1）已知定义域为（－1，1）的奇函数f（x）是减函数，且f（a－3)＋f(9－a2）〈0，则实数a的取值范围是( A)
A．(22，3) B．(3，10）
C．（2错误!，4) D．（－2,3）
(2）已知奇函数f(x)在R上是增函数，g（x）＝xf(x)．若a＝g(－log25。

1)，b＝g（20。

8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为（C)
A．a<b<c B．c<b<a
C．b<a<c D．b<c〈a
解析(1）由f（a－3）＋f（9－a2)〈0，得f（a－3)<－f（9－a2）．又奇函数满足f（－x）＝－f(x），得f(a－3)<f(a2－9)．∵f(x）是定义域为
（－1，1)的减函数，
∴错误!解得2错误!<a<3.
（2)由f（x)为奇函数，知g(x)＝xf（x)为偶函数．因为f（x)在R上单调递增，f（0)＝0，所以当x>0时,f（x)〉0，所以g（x）在(0,＋∞)上单调递增,且g(x）〉0.又a＝g(－log25。

1）＝g(log25.1）,b＝g(20。

8)，c＝g(3）,20.8〈2＝log
4<log25.1<log28＝3,所以b〈a<c，故选C．
2
1．（2017·北京卷)已知函数f(x）＝3x－错误!x，则f（x）（A)
A．是奇函数，且在R上是增函数
B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数
D．是偶函数，且在R上是减函数
解析因为f（x)＝3x－错误!x，且定义域为R，所以f(－x）＝3－x－错误!－x＝错误!x－3x＝－错误!＝－f（x),即函数f（x)是奇函数．又y＝3x在R上是增函数，y＝错误!x在R上是减函数，所以f（x)＝3x－错误!x在R上是增函数，故选A．
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时，f(x）＝3x＋m(m为常数）,则f（－log35)＝（D）
A．－6 B．6
C．4 D．－4
解析因为f(x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x)＝3x＋m，所以f（0)＝1＋m＝0⇒m＝－1，则f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1）＝－4。

3．已知定义在R上的偶函数f（x),在x≥0时，f(x)＝e x＋ln（x＋1），若f(a)〈f(a－1）,则a的取值范围是（B）
A．(－∞，1) B．错误!
C．错误!D．(1，＋∞）
解析根据题中所给的函数解析式，可知函数在［0，＋∞)上是增函数，根据偶函数图象的对称性,可知函数在（－∞，0］上是减函数，所以f（a)<f
（a－1)等价于|a|<｜a－1｜，解得a<错误!,故选B．
4．若函数f(x)＝错误!在其定义域上为奇函数，则实数k＝__±1__。

解析根据奇函数的定义，当函数在x＝0有定义时，可知f（0）＝k－1 1＋k
＝0，解得k＝1,当函数在x＝0没有定义时,求得1＋k＝0，解得k＝－1．经验证，k＝1或－1时，函数f(x)都是奇函数,故k＝±1．
易错点不会判断函数的周期性
错因分析：对于定义域内的每一个x,都满足条件f(a＋x）＝±f（b＋x)或f（x＋a)＝±错误!的函数就是周期函数,简记为“x同向走就有周期性”．【例1】f（x)是定义在R上的偶函数,且对任意的x∈R恒有f（x＋1)＝f(x－1），已知x∈（0，1)时，f(x）＝错误!1－x，则x∈(3，4）时，f（x）＝__________。

解析由f（x＋1）＝f(x－1）得f（x＋2)＝f(x)，
可知f（x)是周期为2的周期函数，
∴f(x)＝f（x－4)．
设x∈（－1,0），
则－x∈（0，1），f（－x）＝错误!1＋x.
∵f(x)是偶函数，
∴x∈（－1，0）时，f（x)＝错误!1＋x。

∵当x∈(3，4)时，x－4∈（－1,0），
∴f(x）＝f(x－4)＝错误!1＋（x－4）＝错误!x－3.
答案错误!x－3
【跟踪训练1】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x＋2）＝－错误!，当2≤x≤3时，f(x）＝x，则f(1．5)＝__2。

5__。

解析由已知得f(x＋4)＝f（x），即周期是4，于是f（1．5）＝f（－1．5）＝f（－1．5＋4)＝f（2。

5）＝2.5.
课时达标第6讲
[解密考纲]本考点考查函数的奇偶性、周期性．单独命题多以选择题的形式呈现，排在中间靠前的位置，题目难度系数属于中等或中等偏上；另外，函数的性质也常常与三角函数、向量、不等式、导数等相结合出解答题,有一定难度．
一、选择题
1．下列函数是奇函数的是（A)
A．f（x)＝x|x| B．f（x)＝lg x
C．f（x）＝2x＋2－x D．f（x)＝x3－1
解析B项，f（x）＝lg x的定义域是x〉0,所以不是奇函数，所以B 项错；C项，f(－x)＝2－x＋2x＝f（x），f（x）是偶函数，所以C项错;D项，f(x)＝x3－1不过原点，所以f(x)是非奇非偶函数，所以D项错．只有A项,满足定义域关于原点对称，并且f（－x)＝－f（x），是奇函数．2．已知f（x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数,且其定义域为［6a－1，a］,则a＋b＝( A）
A．错误!B．－1
C．1 D．7
解析因为偶函数的定义域关于原点对称,所以6a－1＋a＝0，所以a＝错误!。

又因为f(x)为偶函数，所以3a（－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，所以a＋b＝错误!，故选A．
3．若函数f(x）(x∈R）是奇函数，函数g（x）(x∈R)是偶函数，则（C) A．函数f(g(x）)是奇函数B．函数g（f(x）)是奇函数
C．函数f（x）·g（x)是奇函数D．函数f(x)＋g（x）是奇函数
解析令h(x）＝f(x)·g（x）,∵函数f（x）是奇函数，函数g（x）是偶函数，∴f(－x）＝－f(x），g(－x）＝g(x），∴h（－x）＝f（－x)·g(－x)＝－f（x)·g（x）＝－h（x)，∴h（x)＝f(x)·g(x)是奇函数,故选C．4．（2018·重庆模拟）已知函数y＝f(x)是奇函数，当x>0时，f（x）＝lg x，则f错误!＝（D）
A．错误!B．－错误!
C．lg 2 D．－lg 2
解析因为当x〉0时，f(x)＝lg x，所以f错误!＝lg错误!＝－2，
则f错误!＝f（－2）＝－f(2)＝－lg 2。

5．（2018·河南南阳模拟)函数f（x）是周期为4的偶函数,当x∈［0，2］时，f（x)＝x－1，则不等式xf(x）〉0在［－1,3]上的解集为（C) A．（1，3）B．(－1，1）
C．（－1，0)∪(1,3）D．(－1，0)∪（0，1）
解析f（x)的图象如图．
当x∈［－1,0）时,由xf（x）>0得x∈(－1,0)；
当x∈[0，1）时，xf(x)〉0无解；
当x∈［1，3]时，由xf（x)〉0得x∈（1,3）．
故x∈(－1,0）∪（1,3)．
6．已知f（x）是偶函数，且f（x）在［0,＋∞）上是增函数，如果f(ax ＋1)≤f（x－2)在x∈错误!时恒成立,则实数a的取值范围是( D）A．[－2，1］B．［－5，0]
C．［－5,1] D．［－2，0］
解析因为f(x）是偶函数，在［0,＋∞）上是增函数，如果f(ax＋1)≤f(x －2)在x∈错误!时恒成立，则｜ax＋1|≤2－x，即x－2≤ax＋1≤2－x.由ax ＋1≤2－x，得ax≤1－x，a≤错误!－1，而错误!－1在x＝1时取得最小值0，故a≤0.同理，x－2≤ax＋1时，a≥－2,所以a的取值范围是[－2，0］．
二、填空题
7．已知偶函数f（x）在[0,＋∞）上单调递减，若f(2x－1）>f错误!成立,则x的取值范围是！！！错误!##＃。

解析因为偶函数f(x）在区间(0,＋∞）上单调递减，所以由f(2x－1)〉f错误!，得f(|2x－1|)>f错误!，∴|2x－1|〈错误!,
即－错误!〈2x－1<错误!，即－错误!〈x<错误!.
8．已知f（x）＝ax3＋bx＋2 017，且f(2 017)＝2 018，则f（－2 017）
＝__2_016__.
解析f（x）＝ax3＋bx＋2 017,令g(x)＝ax3＋bx，则g(x）为奇函数，f（x）＝g（x)＋2 017，f（2 017)＝g(2 017)＋2 017＝2 018，g(2 017）＝1，故f(－2 017)＝g(－2 017)＋2 017＝－g（2 017)＋2 017＝－1＋2 017＝2 016。

9．设函数f(x)＝错误!，则使得f(x2－2x)>f(3x－6）成立的x的取值范围是__(－∞,2)∪(3,＋∞)__.
解析函数f(x)＝错误!为奇函数，当x〉0时，f(x）＝1－错误!，可得f （x)在（0，＋∞)上单调递增，由奇函数的性质,可得f（x）在R上单调递增，则由f(x2－2x）>f(3x－6),可得x2－2x〉3x－6，解得x〈2或x〉3。

三、解答题
10．已知函数f（x）＝错误!是奇函数．
（1)求实数m的值；
（2）若函数f（x)在区间[－1,a－2]上单调递增,求实数a的取值范围．解析（1)设x〈0，则－x〉0,
所以f(－x)＝－（－x)2＋2（－x）＝－x2－2x，
又f(x）为奇函数,所以f(－x）＝－f（x)，
于是当x〈0时，f（x）＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2。

(2）要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
结合f(x)的图象知错误!
所以1〈a≤3，故实数a的取值范围是（1，3］．
11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数,f（0）＝0，当x>0时，f(x)＝错误!x。

(1）求函数f(x）的解析式；
(2)解不等式f(x2－1）>－2。

解析(1）当x<0时，－x〉0，
所以f（x）＝f(－x）＝错误!（－x），
故函数f(x)的解析式为f（x）＝错误!
(2）因为f(4)＝错误!4＝－2，f(x）是偶函数,所以不等式f（x2－1)〉－2可化为f(｜x2－1|）>f（4)．又因为函数f(x)在（0，＋∞）上是减函数，所以|x2－1｜〈4,解得－5<x<错误!，
即不等式的解集为(－错误!，错误!）．
12．已知定义在R上的奇函数f（x)有最小正周期2,且当x∈(0,1）时，f（x）＝错误!.
(1）求f（1）和f(－1)的值;
（2)求f(x）在[－1，1］上的解析式．
解析（1）∵f(x）是周期为2的奇函数，
∴f（1)＝f(1－2)＝f（－1)＝－f（1)，∴f(1）＝0，f(－1)＝0。

(2）由题意知，f(0）＝0.当x∈（－1，0）时，－x∈（0，1）．
由f(x)是奇函数，得f（x)＝－f(－x）＝－错误!＝－错误!，
综上，在[－1,1]上，f(x)＝错误!。