人教版初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及答案解析

人教版初中数学方程与不等式之一元二次方程难题汇编及答案解析
一、选择题
1．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2
B ．x 1+x 2＞0
C ．x 1•x 2＞0
D ．x 1＜0，x 2＜0
【答案】A
【解析】
分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确；
B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确；
C 、根据根与系数的关系可得出x 1•x 2=﹣2，结论C 错误；
D 、由x 1•x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误．
综上即可得出结论．
详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0，
∴x 1≠x 2，结论A 正确；
B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，
∴x 1+x 2=a ，
∵a 的值不确定，
∴B 结论不一定正确；
C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，
∴x 1•x 2=﹣2，结论C 错误；
D 、∵x 1•x 2=﹣2，
∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误．
故选A ．
点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．
2．用配方法解一元二次方程
时，原方程可变形为（ ） A ．2(2)1x +=
B ．2(2)7x +=
C ．2(2)13+=x
D ．2(2)19+=x 【答案】B
【解析】
试题分析：243x x +=，24434x x ++=+，2(2)7x +=．故选B ．
考点：解一元二次方程-配方法．
3．若2245a a x -+-=，则不论取何值，一定有（ ）
A ．5x >
B ．5x <-
C ．3x ≥-
D ．3x ≤-
【答案】D
【解析】
【分析】
由﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3可得：x ≤﹣3．
【详解】
∵x =﹣2a 2+4a ﹣5=﹣2（a ﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a 取何值，x ≤﹣3．
故选D ．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
4．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）
A ．k ≠0
B ．k ＞4
C ．k ＜4
D ．k ＜4且k ≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k ＞0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x 的一元二次方程2x 4x k 0-+=有两个不相等的实数根，
∴2=(-4)40k ∆-＞
解得：k ＜4．
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
5．如图，AC ⊥BC ，:3:4AC BC =，D 是AC 上一点，连接BD ，与∠ACB 的平分线交于点E ，连接AE ，若83ADE S ∆=，323BCE S ∆=，则BC ＝（ ）
A ．3
B ．8
C ．3
D ．10
【答案】B
【解析】
【分析】
过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,,F G 由角平分线的性质可得：,EF EG =利用83ADE S ∆=，323BCE S ∆=可以求得,AD BC
进而求得,CDE BCD S S ∆∆的面积，利用面积公式列方程求解即可．
【详解】
解：如图，过E 作,,EF BC EG AC ⊥⊥垂足分别为,.F G
CE Q 平分,ACB ∠
,EF EG ∴=
:3:4AC BC =Q ，
设3,4,AC x BC x ==
Q 83ADE S ∆=，323
BCE S ∆=， 18132,,2323
AD EG BC EF ∴•=•= 1,,4
AD AD x BC ∴=∴= 2,CD AC AD x ∴=-= 162,3CDE ADE S S ∆∆∴==
163216.33
BCD S ∆∴=+= 12416,2
x x ∴••= 2,x ∴= （负根舍去）
48.BC x ∴==
故选B ．
【点睛】
本题考查的是三角形的平分线的性质，等高的两个三角形的面积与底边之间的关系，一元二次方程的解法，掌握相关知识点是解题关键．
6．为执行“均衡教育"政策，某县2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元．若每年投人教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是
（ ）
A ．()225001 1.2x +=
B ．()2
2500112000x += C ．()()225002********* 1.2x x
++++= D ．()()22500250012500112000x x ++++=
【答案】D
【解析】
【分析】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×（1+增长率）+2017年投入教育经费×（1+增长率）2=1.2亿元，据此列方程．
【详解】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，
由题意得，2500+2500×（1+x ）+2500（1+x ）2=12000．
故选：D ．
【点睛】
此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
7．下列方程中，有实数根的方程是（ ）
A ．x 4+16＝0
B ．x 2+2x +3＝0
C ．2402x x -=-
D 0= 【答案】C
【解析】
【分析】
利用在实数范围内，一个数的偶数次幂不能为负数对A 进行判断；利用判别式的意义对B 进行判断；利用分子为0且分母不为0对C 进行判断；利用非负数的性质对D 进行判断．
【详解】
解：A 、因为x 4＝﹣16＜0，所以原方程没有实数解，所以A 选项错误；
B 、因为△＝22﹣4×3＝﹣8＜0，所以原方程没有实数解，所以B 选项错误；
C 、x 2﹣4＝0且x ﹣2≠0，解得x ＝﹣2，所以C 选项正确；
D 、由于x ＝0且x ﹣1＝0，所以原方程无解，所以D 选项错误．
故选：C ．
【点睛】
此题考查判别式的意义，分式有意义的条件，二次根式，解题关键在于掌握运算法则
8．以3和4为根的一元二次方程是（ ）
A ．27120x x -+=
B ．27120x x ++=
C ．27120x x +-=
D ．27120x x --=
【答案】A
【解析】
【分析】
分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可．
【详解】
A 、在x 2﹣7x+12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=12，此选项正确；
B 、在x 2+7x+12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=12，此选项不正确；
C 、在x 2+7x ﹣12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；
D 、在x 2﹣7x ﹣12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确；
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a ，x 1•x 2=c a ．
9．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A ．2810x x --=配方变为2(4)1x -=
B ．21()1x x x x
÷+=+ C ．221090x x ++=配方变为2(25)16x += D ．22()()x y x y x y ---+=-
【答案】D
【解析】
【分析】
A 、C 选项，利用配方法的步骤进行计算即可，
B 、D 选项为根据整式的除法和乘法即可判断.
【详解】
A 选项，x 2-8x-1=0利用配方法得，x 2-8x+16-16=1整理得（x-4）2=17，选项错误
B 选项，整式的除法，()221(1)1
x x x x x x x x x x ÷+===+++，选项错误 C 选项，2x 2+10x+9=0 将x 2系数化为1得，29502x x ++
=，利用配方法得2252595442x x ++-=-，整理得，2
5724x ⎛⎫-= ⎪⎝
⎭，故该选项错误； D 选项，易观察到两多项式中存在相同项及互为相反数项，满足平方差公式，其中相同项为-x ，y 与-y 互为相反数，即有（-x-y ）（-x+y ）=x 2-y 2，正确
故选：D ．
【点睛】
此题主要考查一元二次方程中配方法的运算及整式除法，平方差公式，掌握整式混合运算的法则及配方法的步骤是解题的关键．此题为基础题型，比较简单．
10．聪聪、明明、伶伶、俐俐四人共同探究代数式2235x x -+的值的情况他们做了如下分工，聪聪负责找值为0时x 的值，明明负责找值为4时x 的值，伶伶负责找最小值，俐俐负责找最大值，几分钟，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）聪聪认为找不到实数x ，使2235x x -+的值为0；
（2）明明认为只有当1x =时，2235x x -+的值为4；
（3）伶伶发现2235x x -+有最小值；（4）俐俐发现2235x x -+有最大值
A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（1）（4）
D ．（1）（2）（4） 【答案】B
【解析】
【分析】
解一元二次方程，根据判别式即可判断（1）（2），将式子2x 2﹣3x +5配方为2（x ﹣34）2+
318
，根据平方的非负性即可判断（3）（4）． 【详解】 解：（1）2x 2﹣3x +5＝0，△＝32﹣4×2×5＜0，方程无实数根，故聪聪找不到实数x ，使2x 2﹣3x +5的值为0正确，符合题意，
（2）2x 2﹣3x +5＝4，解得x 1＝1，x 2＝
12
，方程有两个不相等的实数根，故明明认为只有当x ＝1时，2x 2﹣3x +5的值为4错误，不符合题意， （3）∵2x 2﹣3x +5＝2（x ﹣
34）2+318， 又∵（x ﹣
34）2≥0， ∴2（x ﹣34
）2+318≥318， ∴2x 2﹣3x +5有最小值，故伶伶发现2x 2﹣3x +5有最小值正确，符合题意，
（4）由（3）可知2x 2﹣3x +5没有最大值，故俐俐发现2x 2﹣3x +5有最大值错误，不符合题意，
故选：B ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程和配方法的应用，掌握一元二次方程求根公式和配方法是解决本题的关键．
11．若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥
B ．0k ≥且2k ≠
C ．32k ≥
D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．
【详解】
（k-2）x 2-2kx+k-6=0，
∵关于x 的一元二次方程（k-2）x 2-2kx+k=6有实数根，
∴220(2)4(2)(6)0k k k k V -≠⎧⎨=----⎩…
， 解得：32k ≥
且k≠2． 故选D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式△≥0，列出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．
12．某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%，2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，则x 满足（ ）
A ．100（1+x ）2＝144
B ．100（1+8.1%）（1﹣x ）＝144
C ．100（1+8.1%）+x ＝144
D ．100（1+8.1%）（1+x ）＝144 【答案】D
【解析】
【分析】
由题意知，2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ），然后根据2018年底产量达到144吨列方程即可.
【详解】
解：∵某种植基地2016年蔬菜产量为100吨，2017年比2016年产量增长8.1%， ∴2017年蔬菜产量为：100（1+8.1%），
∵2018年比2017年产量的增长率为x ，2018年底产量达到144吨，
∴2018年蔬菜产量为：100（1+8.1%）（1+x ）＝144，
故选D ．
【点睛】
本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程的应用，熟练掌握这些知识是解题的关键.
13．已知关于x 的一元二次方程3x 2+4x ﹣5=0，下列说法正确的是（ ）
A ．方程有两个相等的实数根
B ．方程有两个不相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
【答案】B
【解析】
试题分析：先求出△=42﹣4×3×（﹣5）=76＞0，即可判定方程有两个不相等的实数根．故答案选B.
考点：一元二次方程根的判别式．
14．关于x 的一元二次方程x 2+ax ﹣1=0的根的情况是（ ）
A ．没有实数根
B ．只有一个实数根
C ．有两个相等的实数根
D ．有两个不相等的实数根
【答案】D
【解析】
∵△=24a +＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D ．
15．目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系，某校去年上半年发放给每个经济困难学生389元，今年上半年发放了438元．设每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ）
A ．438（1+x ）2=389
B ．389（1+x ）2=438
C ．389（1+2x ）=438
D ．438（1+2x ）=389
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：因为每半年发放的资助金额的平均增长率为x ，
去年上半年发放给每个经济困难学生389元，去年下半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) 元，
则今年上半年发放给每个经济困难学生389 (1＋x) (1＋x) ＝389(1＋x)2元．
据此，由题设今年上半年发放了438元，列出方程：389（1+x ）2=438．
故选B ．
16．用配方法解方程2890x x ++=，变形后的结果正确的是( )
A ．()249x +=-
B ．()247x +=-
C ．()2425x +=
D ．()2
47x += 【答案】D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.【详解】
2890
x x
++=，
289
x x
+=-，
222
8494
x x
++=-+，
所以()247
x+=，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
17．如图，有一长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 18 米），另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长为 35 米，与墙平行的边留有 1 米宽的门（门用其它材料做成），若鸡场的面积为160 平方米，则鸡场与墙垂直的边长为（）
A．7.5 米B．8米C．10米D．10米或8米
【答案】C
【解析】
【分析】
设长为x，则根据图可知一共有三面用到了篱笆，长用的篱笆为（x−1）米，与2倍的宽长的总和为篱笆的长35米，长×宽＝面积160平方米，根据这两个式子可解出长和宽的值．【详解】
解：设鸡场的长为x，因为篱笆总长为35米，由图可知宽为：35(1)
2
x
--
米，
则根据题意列方程为：
35(1)
160
2
x
x
--
=
g，
解得：x1＝16，x2＝20（大于墙长，舍去），
宽为：35(161)
2
--
=10（米），
所以鸡场的长为16米，宽为10米，
即鸡场与墙垂直的边长为10米．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，理解题意，正确的列方程，牢记长方形的面积=长×
宽，一元二次方程的求解是本题的关键与重点．
18．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A ．x 2﹣2x ＝0
B ．x 2﹣2x +1＝0
C ．2x 2﹣x ﹣1＝0
D ．2x 2﹣x +1＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
根据判别式即可求出答案．
【详解】
A.△＝4，故选项A 有两个不同的实数根；
B.△＝4﹣4＝0，故选项B 有两个相同的实数根；
C.△＝1+4×2＝9，故选项C 有两个不同的实数根；
D.△＝1﹣8＝﹣7，故选项D 没有实数根；
故选D ．
【点睛】
本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的根的判别式，本题属于基础题型．
19．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整幅挂图的面积是25400cm ，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．213014000x x +-=
B ．2653500x x +-=
C ．213014000x x --=
D ．2653500x x --=
【答案】B
【解析】
【分析】 根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程.
【详解】
由题意，设金色纸边的宽为xcm ，
得出方程：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
整理后得：2653500x x +-=
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了由实际问题得出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式，然后根据等量关系列出方程是解题关键.
20．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
试题分析：设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．
解：设这个小组有x人，
则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，
解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．
故选C．。