2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二(上)段考数学试卷(二)

2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二（上）段考数学试卷（二）一．选择题（共12小题，每小题5分）
1. 已知集合A＝{x∈Z|−x2+x+2>0}，则集合A的子集个数为（）
A.4
B.5
C.6
D.8
2. 命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题是（）
A.两条平行直线垂直于同一个平面
B.不垂直于同一个平面的两条直线不平行
C.不平行的两条直线不垂直于同一个平面
D.不平行的两条直线垂直于同一个平面
3. 执行如图所示的程序框图，若输入的N值为8，则输出的结果s的值为（）
A.8
9B.4
9
C.9
10
D.5
11
4. 等差数列{a n}的前n项和为S n，S100>0，S101<0，则满足a n a n+1<0的n＝（）
A.50
B.51
C.100
D.101
5. 如果平面直角坐标系内的两点A(a−1, a+1)，B(a, a)关于直线l对称，那么直线l的方程为（）A.x−y+1＝0 B.x+y+1＝0 C.x−y−1＝0 D.x+y−1＝0
6. 一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30∘，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（）
A.π
3
B.π
2
C.2π
3
D.π
7. 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，若b=√3，B＝60∘，若△ABC仅有一个解，则a的取值范围是（）
A.(0, √3]∪{2}
B.(0, 3
2
) C.(0, 3
2
]∪{2} D.{2}
8. 已知f(x)＝log a(ax2−x)(a>0且a≠1)在(1
4
,1
2
)上是增函数，则实数a的取值范围是（）
A.[2, 4]
B.(2, 4)
C.(4, +∞)
D.[4, +∞)
9. 已知m>2，n>0，m+n＝3，则1
m−2
+1
n
的最小值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
10. 在△ABC中，D为边BC的中点，AD＝3，BC＝4，G为△ABC的重心，则GB
→
⋅GC
→
的值为（）
A.−12
B.−15
C.−3
D.−15
4
11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，且直线ax+cy−12＝0平分圆x2+y2−4x−6y＝0的周长，则△ABC的面积的最大值为（）
A.3√3
B.3√3
2
C.3
2
D.√3
12. 设锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c＝1，A＝2C，则△ABC周长的取值范围为（）
A.(0, 2+√2)
B.(0, 3+√3)
C.(2+√2, 3+√3)
D.(2+√2, 3+√3]
二．填空题（共4小题，每小题5分）
设函数f(x)={
a x,x≥0
f(x+4a),x<0(a>0且a≠1)，若f(2)＝4，则f(−2020)＝________．
正四棱锥P −ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于________．
一组数据x 1，x 2，…，x 5的平均数为5，x 12，x 22
，…，x 52的平均数为33，则数据x 1，x 2，…，x 5的方差为________．
已知数列{________． 三．解答题（共6小题） 已知p:
x+1x−2
>2，q:x 2
−ax +5>0．
（1）若￢p 为真，求x 的取值范围；
（2）若￢q 是￢p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
已知两个等差数列{a n }，{b n }，其中a 1=1，b 1=6，b 3=0，记{a n }前n 项和为T n ，T n =n 22
+n
2．
(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；
(2)记c n =a n +b n ，设S n =|c 1|+|c 2|+|c 3|+⋯+|c n |，求S n ．
如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上中点，点F 在边CD 上．
（1）若点F 是CD 上靠近C 的三等分点，设EF →
=λAB →
+μAD →
，求λ+μ的值．
（2）若AB ＝2，当AE →
⋅BF →
=1时，求DF 的长．
如图，在四棱锥
P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120∘，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PB ＝2√6，AB ＝AC ＝PA ＝2√3．
(Ⅰ)求证：BD ⊥平面PAC ；
(Ⅱ)过AC 的平面交PD 于点M ，若V M−PAC =1
2V P−ACD ，求三棱锥P −AMB 的体积．
已知点A(−2, −2)，B(−2, 6)，C(4, −2)，点P 在圆E:x 2+y 2＝4上运动． （1）求过点C 且被圆E 截得的弦长为2√2的直线方程；
（2）求|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．
已知向量a →
=(cos ωx,√3cos ωx)，b →
=(sin ωx ,cos ωx )（其中0<ω≤1），记f (x )=a →
⋅b →
−√3
2
，且满足f (x +π)=f (x )．
(1)求函数y =f (x )的解析式；
(2)若关于x 的方程3⋅[f (x )]2+m ⋅f (x )−1=0在[−π12,5π
12]上有三个不相等的实数根，求实数m 的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省鹤壁高级中学高二（上）段考数学试卷（二）
一．选择题（共12小题，每小题5分）
1.
【答案】
A
【考点】
子集与真子集
【解析】
求出集合A＝{0, 1}，由此能求出集合A的子集个数．
【解答】
∵集合A＝{x|x∈Z|−x2+x+2>0}＝{x∈Z|−1<x<2}＝{0, 1}，
∴集合A的子集个数为22＝4．
2.
【答案】
C
【考点】
四种命题间的逆否关系
【解析】
本题根据“若p，则q”的逆否命题的形式是：“若￢q，则￢p”，可以解答．
【解答】
若p，则q的逆否命题的形式是：若￢q，则￢p．
因此命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的逆否命题为“不平行的两条直线不垂直于同一个平面”．3.
【答案】
B
【考点】
程序框图
【解析】
按照程序框图次序运行，可知i＝9时，退出循环，此时s=1
3+1
3×5
+1
5×7
+1
7×9
=4
9
．
【解答】
N＝8，i＝1，s＝0
s＝0+1
1×3=1
3
，i＝1+2＝3，否；
s=1
3+1
3×5
，i＝3+2＝5，否；
s=1
3+1
3×5
+1
5×7
，i＝5+2＝7，否；
s=1
3+1
3×5
+1
5×7
+1
7×9
，i＝7+2＝9，是，
∴s=1
3+1
3×5
+1
5×7
+1
7×9
=
1
3
+
1
2
(
1
3
−
1
5
+
1
5
−
1
7
+
1
7
−
1
9
)
=
4
9
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
【解析】
由题意和等差数列的性质可得a50+a51>0；a51<0，进而可得a50>0，据此分析可得答案．
【解答】
根据题意，等差数列{a n}中，S100>0，S101<0，
则有S100＝＝50(a1+a100)＝50(a50+a51)>0，则有a50+a51>0；
又由S101＝＝101a51<0，则有a51<0；
则有a50>0，
若a n a n+1<0，必有n＝50；
5.
【答案】
A
【考点】
与直线关于点、直线对称的直线方程
【解析】
利用垂直平分线的性质即可得出．
【解答】
∵k AB=a+1−a
a−1−a
=−1，线段AB的中点为(2a−1
2
, 2a+1
2
)，
两点A(a−1, a+1)，B(a, a)关于直线L对称，
∴k L＝1，其准线方程为：y−2a+1
2
=x−2a−1
2
，
化为：x−y+1＝0．
6.
【答案】
D
【考点】
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
求出底面圆的半径，可得底面圆的周长，再利用弧长公式求出圆锥侧面展开图的圆心角．
【解答】
圆锥轴截面的母线与轴的夹角为30∘，母线长为l，
所以底面圆的半径为r＝l sin30∘=1
2
l，所以底面圆的周长为c＝2πr＝πl，
所以圆锥侧面展开图的圆心角为α=c
l =πl
l
=π．
7.
【答案】
A
【考点】
正弦定理
【解析】
由题意可知，有两种情形满足题意①b＝a sin B；②b≥a，代入数据解之即可．
【解答】
因为B为锐角，所以△ABC仅有一个解，有两种情形：
①b＝a sin B，即√3=a×√3
2
，所以a＝2；
②b≥a，即0<a≤√3．
综上所述，a的取值范围是(0, √3]∪{2}．
8.
【答案】
D
【考点】
对数函数的单调性与特殊点
【解析】
令z＝ax2−x(z>0)，则y＝log a z，讨论a>1，0<a<1，运用对数函数和二次函数的单调性，结合复合函数的单调性：同增异减，解不等式求得a的范围．
【解答】
f(x)＝log
a (ax2−x)(a>0且a≠1)在(1
4
,1
2
)上是增函数，
若0<a<1，则y＝log
a
z在(0, +∞)上递减，
可得z＝ax2−x(z>0)在(1
4, 1
2
)内递减，
即有1
4a−1
2
≥0，且1
2a
≥1
2
，
解得a≥2且a≤1，∴a∈⌀；
若a>1，则y＝log
a
z在(0, +∞)内递增，
可得z＝ax2−x(z>0)在(1
4, 1
2
)内递增，
即有1
16a−1
4
≥0，且1
2a
≤1
4
，
解得a≥4且a≥2，可得a≥4．
综上可得，实数a的取值范围是[4, +∞)．9.
【答案】B
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解答】
因为m>2，n>0，m+n＝3，
所以m−2+n＝1，
则1
m−2
+1
n
=(1
m−2
+1
n
)(m−2+n)＝2+n
m−2
+m−2
n
≥2+2＝4，
当且仅当n
m−2
=m−2
n
且m+n＝3即m＝2，n＝1时取等号，
10.
【答案】
C
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算
【解析】
特殊化，取△ABC为等腰三角形，由G为△ABC的重心，得GD＝1，易知AD⊥BC，∠BGC＝2∠BGD，GC＝
GB=√5，cos∠BGD=√5
5
，故cos∠BGC＝2cos2∠BGD−1=−3
5
．再结合平面向量数量积的运算，GB
→
⋅GC
→
= |GB
→
|⋅|GC
→
|⋅cos∠BGC，代入数据进行运算即可得解．
【解答】
不妨特殊化，取△ABC为等腰三角形，如图所示，
∵G为△ABC的重心，∴GD=1
3
AD＝1，
∵
D为BC的中点，∴AD⊥BC，∠BGC＝2∠BGD，∴GC＝GB=√GD2+BD2=√1+4=√5，
cos∠BGD=GD
GB
=√5
5
．
∴cos∠BGC＝2cos2∠BGD−1=−3
5
．
∴GB→⋅GC→=|GB→|⋅|GC→|⋅cos∠BGC=√5×√5×(−3
5
)=−3．
11.
【答案】
B
【考点】
直线与圆的位置关系 【解析】
根据等差中项和三角形内角和定理可得B =π
3，根据直线平分圆的周长，可知圆心在直线上，从而得到2a +3c ＝12，然后根据面积公式和基本不等式，求出面积的最大值． 【解答】
在△ABC 中，A +B +C ＝π，
∵ 角A ，B ，C 成等差数列，∴ 2B ＝A +C ， ∴ 2B ＝π−B ，∴ B =π
3．
∵ 直线ax +cy −12＝0平分圆x 2+y 2−4x −6y ＝0的周长， ∴ 圆心(2, 3)在直线ax +cy ＝12上，则2a +3c ＝12， ∵ a >0，c >0，∴ 12＝2a +3c ≥2√6ac ，即ac ≤6． 当且仅当2a ＝3c ，即a ＝3，c ＝2时取等号． ∴ S △ABC =1
2ac sin B ≤1
2×6×√32
=
3√3
2
， ∴ △ABC 的面积的最大值为3√3
2
．
12.
【答案】 C
【考点】
三角形的面积公式 解三角形 【解析】
由锐角三角形求得30∘<C <45∘，由正弦定理可得a
sin A =b
sin B =c
sin C =1
sin C ，求出a ，b 关于cos C 的函数，运用余弦函数的大小，可得所求范围． 【解答】
锐角△ABC 可得0∘<A <90∘，即0∘<2C <90∘，
B ＝180∘−A −
C ＝180∘−3C ，而0∘<180∘−3C <90∘， 可得30∘<C <45∘，
由正弦定理可得a
sin A =b
sin B =c
sin C =1
sin C ， 可得a =sin A
sin C =sin 2C sin C =2cos C ，
b =
sin B sin C =sin 3C sin C =sin 2C cos C +cos 2C sin C
sin C ＝2cos 2C +cos 2C ＝4cos 2C −1， 则a +b +c ＝4cos 2C +2cos C ＝4(cos C +1
4)2−1
4， 由30∘<C <45∘，可得
√22
<cos C <
√3
2
， 即有cos C =√2
2
时，可得a +b +c ＝2+√2，
cos C =
√3
2
时，可得a +b +c ＝3+√3，
则a +b +c 的范围是(2+√2, 3+√3)．
二．填空题（共4小题，每小题5分） 【答案】 16
【考点】 函数的求值 求函数的值 【解析】
由f(2)＝4，解得a ＝2，从而f(x)={2x ,x ≥0
f(x +8),x <0 ，则f(−2020)＝f(4)，由此能求出结果．
【解答】
∵ 函数f(x)={a x ,x ≥0
f(x +4a),x <0 (a >0且a ≠1)，f(2)＝4，
∴ 4＝f(2)＝a 2，解得a ＝2，（a ＝−2，舍）， ∴ f(x)={2x ,x ≥0f(x +8),x <0
，
则f(−2020)＝f(−2020+253×8)＝f(4)＝24＝16． 【答案】
√33
【考点】
异面直线及其所成的角 【解析】
根据异面直线所成角的定义先找出对应的平面角即可得到结论． 【解答】
连结AC ，BD 相交于O ， 则O 为AC 的中点， ∵ E 是PC 的中点，
∴ OE 是△PAC 的中位线， 则OE // 1
2PA ，
则OE 与BE 所成的角即可异面直线BE 与PA 所成的角， 设四棱锥的棱长为1，
则OE =1
2
PA =1
2
，OB =1
2
BD =
√2
2
，BE =
√32
， 则cos ∠OEB =
OE 2+BE 2−OB 2
20E⋅BE
=
14+34−242×12×√32
=
√33
， 【答案】 8
【考点】
极差、方差与标准差
【解析】
根据平均数以及方差的定义代入计算即可．
【解答】
∵x1+x2，…+x5＝25，x12+x22，⋯+x52=5×33，∴1
5
[(x1−5)2+(x2−5)2+⋯+(x5−5)2]
=1
5
[x12+x22, ⋯+x52−10(x1+x2, ...+x5)+5×25]
=1
5
(5×33−10×25+5×25)
＝8，
即数据x1，x2，…，x5的方差为8，
【答案】
a n}的是等差数列，a1≥−2，a2≤1，a3≥0，则a4≥3的概率是1
3
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
【解析】
设出等差数列的公差，把a2，a3分别用首项和公差表示，然后利用线性规划知识由a4的取值范围求得几何概型概率．
【解答】
设等差数列{a n}的公差为d，则a4＝a1+3d，
由已知得到{
a1≥−2 a1+d≤1
a1+2d≥0
设a1＝x，d＝y，则a4＝x+3y，
则不等式组等价为{
x≥−2
x+y≤1
x+2y≥0
，对应的可行域如图△ACD，
由a4＝x+3y≥3得到区域为△BCE，
由几何概型的公式得到使得a4≥3的概率是：$\frac{S_{igtriangleupBCE}}{S_{igtriangleupACD}} = \frac{\frac{1}{2} \times (3 - \frac{5}{3}) \times 2}{\frac{1}{2} \times (3 - 1) \times 4} = \frac{1}{3}$；
三．解答题（共6小题）
【答案】
p:x+1
x−2>2，化为：x−5
x−2
<0，即(x−2)(x−5)<0，解得：2<x<5，
由￢p为真，可得：x≤2或x≥5，
∴x的取值范围是(−∞, 2]∪[5, +∞)．
￢q是￢p的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．故q:x2−ax+5>0对于任意2<x<5恒成立，
故a<x+5
x ，∵x+5
x
≥2√5，当且仅当x=√5时取等号．
故a<2√5．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件【解析】
（1）p:x+1
x−2
>2，化为：(x−2)(x−5)<0，解得x范围，由￢p为真，可得x的取值范围．
（2）￢q是￢p的充分不必要条件，可得：q是p的必要不充分条件．于是q:x2−ax+5>0对于任意2<x<
5恒成立，转化为a<x+5
x
，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
p:x+1
x−2
>2，化为：x−5
x−2
<0，即(x−2)(x−5)<0，解得：2<x<5，
由￢p为真，可得：x≤2或x≥5，
∴x的取值范围是(−∞, 2]∪[5, +∞)．
￢q是￢p的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件．
故q:x2−ax+5>0对于任意2<x<5恒成立，
故a<x+5
x
，∵x+5
x
≥2√5，当且仅当x=√5时取等号．
故a<2√5．
【答案】
解：(1)由T n=n2
2
+n
2
，得
当n≥2时，a n=T n−T n−1=n2
2
+n
2
−(n−1)2
2
−n−1
2
=n，
a1=1适合上式，则a n=n.
由b1=6，b3=0，得公差d=b3−b1
3−1
=0−6
2
=−3，
则b n=6+(n−1)×(−3)=9−3n.
(2)由(1)知，c n=a n+b n=9−2n，
|c n|={
9−2n,1≤n≤4,
2n−9,n>4.
当1≤n≤4时，S n=n×7+9−2n
2
=8n−n2；
当n>4时，S n=(7+5+3+1)+1+2n−9
2
×(n−4)=n2−8n+32．
∴S n={8n−n2,1≤n≤4,
n2−8n+32,n>4.
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
（1）由T n=n2
2
+n
2
，结合a n＝T n−T n−1求得n≥2时的通项公式，验证a1＝1适合，即可求解a n；由b1＝6，b3＝0，得公差d，再由等差数列的通项公式可得{b n}的通项公式；
（2）由（1）知，c n＝a n+b n＝9−2n，分类写出|c n|，然后分类利用等差数列的前n项和求S n．
【解答】
解：(1)由T n =
n 22
+n
2
，得
当n ≥2时，a n =T n −T n−1=n 22
+n
2−
(n−1)2
2
−
n−12
=n ，
a 1=1适合上式，则a n =n .
由b 1=6，b 3=0，得公差d =
b 3−b 13−1
=
0−62
=−3，
则b n =6+(n −1)×(−3)=9−3n . (2)由(1)知，c n =a n +b n =9−2n ， |c n |={9−2n,1≤n ≤4,
2n −9,n >4.
当1≤n ≤4时，S n =n ×
7+9−2n
2
=8n −n 2；
当n >4时，S n =(7+5+3+1)+1+2n−9
2
×(n −4)=n 2
−8n +32．
∴ S n ={8n −n 2,1≤n ≤4,
n 2−8n +32,n >4.
【答案】
∵ 点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点， ∴ CF →
=−13DC →
=−13AB →
，EC →
=12BC →
=12AD →
， ∴ EF →
=EC →
+CF →
=−13
AB →
+12
AD →
，
∴ λ=−13，μ=1
2， 故λ+μ=−1
3+1
2=1
6．
设CF →
=λCD →
，则BF →
=BC →
+CF →
=AD →
−λAB →
，又AE →
=AB →
+BE →
=AB →
+12AD →
，AB →
⋅AD →
=0， ∴ AE →
⋅BF →
=(AB →
+12
AD →
)⋅(AD →
−
λAB →
)＝−λAB →
2
+12AD
→2=−4λ+2＝1，
故λ=1
4
，
∴ DF ＝(1−λ)×2=3
2
．
【考点】
平面向量数量积的性质及其运算 【解析】
（1）用AB →
,AD →
表示出EF →
，得出λ，μ的值即可得出λ+μ的值；
（2）设CF →
=λCD →
，用AB →
,AD →
表示出AE →
,BF →
，根据AE →
⋅BF →
=1计算λ，从而可得DF 的长． 【解答】
∵ 点E 是BC 边上中点，点F 是CD 上靠近C 的三等分点，
∴ CF →
=−13DC →=−13AB →
，EC →
=12BC →=12AD →
，
∴ EF →=EC →+CF →
=−13AB →+12AD →
， ∴ λ=−1
3，μ=1
2， 故λ+μ=−1
3
+1
2
=1
6
．
设CF →=λCD →，则BF →=BC →+CF →=AD →−λAB →，又AE →=AB →+BE →=AB →
+12
AD →
，AB →⋅AD →
=0，
∴ AE →⋅BF →=(AB →
+12AD →
)⋅(AD →−λAB →)＝−λAB →
2+12AD →
2=−4λ+2＝1， 故λ=14
，
∴ DF ＝(1−λ)×2=3
2
．
【答案】
（1）证明：∵ 底面ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120∘， PB ＝2√
6，AB ＝AC ＝PA ＝2√3．
∴ 四边形ABCD 是菱形，PA 2+AB 2＝PB 2， ∴ BD ⊥AC ，AB ⊥PA ，
∵ 侧面PAB ⊥底面ABCD ，侧面PAB ∩底面ABCD ＝AB ， ∴ PA ⊥底面ABCD ，∵ BD ⊂底面ABCD ，∴ BD ⊥PA ， ∵ PA ∩AC ＝A ，∴ BD ⊥平面PAC ．
（2）∵ 过AC 的平面交PD 于点M ，V M−PAC =1
2V P−ACD ，
∴ V
M−ACD V P−ACD
=
V P−ACD −V M−PAC
V P−ACD
=1
2，∴ M 是PD 中点，
∵ B 到平面PAD 的距离d =√(2√3)2−(√3)2=3， ∴ 三棱锥P −AMB 的体积为：
V P−AMB ＝V B−PAM =1
3×S △PAM ×d =1
3×(1
2×1
2×PA ×AD)×3
=13×12×1
2×2√3×2√3×3=3．
【考点】
直线与平面垂直
棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】
(Ⅰ)推导出四边形ABCD是菱形，BD⊥AC，AB⊥PA，得到PA⊥底面ABCD，则BD⊥PA，由此能证明BD⊥平面PAC．
(Ⅱ)推导出V M−ACD
V P−ACD =V P−ACD−V M−PAC
V P−ACD
=1
2
，三棱锥P−AMB的体积为V P−AMB＝V B−PAM，由此能求出结果．
【解答】
（1）证明：∵底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝120∘，
PB＝2√
6，AB＝AC＝PA＝2√3．
∴四边形ABCD是菱形，PA2+AB2＝PB2，
∴BD⊥AC，AB⊥PA，
∵侧面PAB⊥底面ABCD，侧面PAB∩底面ABCD＝AB，∴PA⊥底面ABCD，∵BD⊂底面ABCD，∴BD⊥PA，∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．
（2）∵过AC的平面交PD于点M，V M−PAC=1
2
V P−ACD，
∴V M−ACD
V P−ACD =V P−ACD−V M−PAC
V P−ACD
=1
2
，∴M是PD中点，
∵B到平面PAD的距离d=√(2√3)2−(√3)2=3，∴三棱锥P−AMB的体积为：
V P−AMB＝V B−PAM=1
3×S△PAM×d=1
3
×(1
2
×1
2
×PA×AD)×3
=1
3×1
2
×1
2
×2√3×2√3×3=3．
【答案】
依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为2√2，所以圆心到直线的距离为√2，
设直线方程为y+2＝k(x−4)，即kx−y−4k−2＝0，
所以√2=
√k2+1，解得k=−1
7
或k＝−1，
所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y−2＝0；
设P点坐标为(x, y)，则x2+y2＝4，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x−4)2+(y+2)2＝3(x2+y2)−4y+68＝80−4y，
因为−2≤y≤2，所以72≤80−4y≤88，
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．【考点】
直线与圆的位置关系
【解析】
（1）设直线方程为y+2＝k(x−4)，由题意可知圆心到直线的距离为√2，利用点到直线距离公式即可求出k 的值，从而得出直线方程；
（2）P点坐标为(x, y)，则x2+y2＝4，利用两点间距离公式化简|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80−4y又−2≤
y≤2，从而得到|PA|2+|PB|2+|PC|2的最值．
【解答】
依题意，直线的斜率存在，因为过点C的直线被圆E截得的弦长为2√2，
所以圆心到直线的距离为√2，
设直线方程为y+2＝k(x−4)，即kx−y−4k−2＝0，
所以√2=
2
，解得k=−1
7
或k＝−1，
所以直线方程为x+7y+10＝0或x+y−2＝0；
设P点坐标为(x, y)，则x2+y2＝4，
所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝(x+2)2+(y+2)2+(x+2)2+(y−6)2+(x−4)2+(y+2)2＝3(x2+y2)−4y+68＝80−4y，
因为−2≤y≤2，所以72≤80−4y≤88，
即|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值为88，最小值为72．
【答案】
解：(1)f(x)=a
→
⋅b
→
−√3
2
=sinωx cosωx+√3cos2ωx−
√3
2
=
1
2sin2ωx+
√3
2cos2ωx
=sin(2ωx+π
3
).
∵f(x+π)=f(x)，
∴π是函数f(x)的一个周期，
∴f(x)的最小正周期T=2π
2ω
≤π，
解得：ω≥1.
又∵0<ω≤1，
∴ω=1，
∴f(x)=sin(2x+π
3
).
(2)由−π
12
≤x≤5π
12
，得π
6
≤2x+π
3
≤7π
6
，
∴−1
2
≤sin(2x+π
3
)≤1，
∴函数y=f(x)的值域为[−1
2
, 1].
设t=f(x)=sin(2x+π
3
)，
要使关于x 的方程3⋅[f(x)]2+mf(x)−1=0 在[−π
12, 5π
12]上有三个不相等的实数根， 即关于t 的方程3t 2+mt −1=0 在[1
2, 1)和[−12, 1
2)上分别有一个实数根， 或有一个实数根为1，另一实数根在区间[1
2, 1)上. 令g(t)=3t 2+mt −1，
①当关于t 的方程3t 2+mt −1=0 在(1
2
, 1)和[−12, 1
2
)上分别有一个实数根时，
则{g(−1
2)≥0,
g(12
)<0,g(1)>0,
解得：−2<m ≤−1
2
；
②当方程3t 2+mt −1=0的一个根是1
2时， 解得：m =1
2，
则另一个根为−2
3∉[−12, 1
2)，不满足条件； ③当方程3t 2+mt −1=0的一个根是1时， 解得：m =−2，
则另一个根为−1
3∉[12, 1)，不满足条件.
综上，满足条件的实数m 的取值范围是(−2, −1
2]．
【考点】
二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 正弦函数的周期性 平面向量数量积 正弦函数的定义域和值域 根的存在性及根的个数判断
【解析】
（1）利用平面向量的数量积和三角恒等变换化f(x)为正弦型函数，从而求出ω和f(x)的解析式； （2）由题意求得函数y ＝f(x)的值域，设t ＝f(x)，把问题转化为关于t 的方程3t 2+mt −1＝0在两个区间上
分别有实数根，再构造函数g(t)＝3t 2+mt −1，讨论该函数的零点应用问题，从而求得实数m 的取值范围． 【解答】
解：(1)f(x)=a →⋅b →−√3
2
=sin ωx cos ωx +√3cos 2ωx −√3
2
=12sin 2ωx +√32cos 2ωx =sin (2ωx +π
3).
∵ f(x +π)=f(x)，
∴ π是函数f(x)的一个周期， ∴ f(x)的最小正周期T =2π
2ω≤π， 解得：ω≥1.
又∵ 0<ω≤1， ∴ ω=1，
∴ f(x)=sin (2x +π
3).
(2)由−
π12
≤x ≤
5π12
，得π6
≤2x +π3
≤
7π6
，
∴ −12
≤sin (2x +π3
)≤1， ∴ 函数y =f(x)的值域为[−1
2, 1]. 设t =f(x)=sin (2x +π
3)，
要使关于x 的方程3⋅[f(x)]2+mf(x)−1=0 在[−π
12, 5π
12]上有三个不相等的实数根， 即关于t 的方程3t 2+mt −1=0 在[1
2
, 1)和[−12, 1
2
)上分别有一个实数根，
或有一个实数根为1，另一实数根在区间[1
2, 1)上. 令g(t)=3t 2+mt −1，
①当关于t 的方程3t 2+mt −1=0 在(1
2
, 1)和[−12, 1
2
)上分别有一个实数根时，
则{g(−1
2)≥0,
g(12
)<0,g(1)>0,
解得：−2<m ≤−1
2；
②当方程3t 2
+mt −1=0的一个根是12
时， 解得：m =1
2， 则另一个根为−23∉[−12, 1
2)，不满足条件； ③当方程3t 2+mt −1=0的一个根是1时，
解得：m=−2，
则另一个根为−1
3∉[1
2
, 1)，不满足条件.
综上，满足条件的实数m的取值范围是(−2, −1
2
]．。