2022年普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷3 理

2022年普通高等学校招生全国统一考试（预测卷3）数学（理科）试
卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
参考公式：球的表面积公式：S=24R π，其中R 表示球的半径
第Ⅰ卷（共60分）
一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意要求的 1在复平面内，复数2)1(i -对应的点位于
A ．一、三象限的角平分线上
B ．二、四象限的角平分线上
C ．实轴上
D ．虚轴上
=I ，}12|{)},1ln(|{)2(<=-==-x x x N x y x M ，则右图中阴影部分表示的集合为
A ．{|1}x x ≥
B ．{|12}x x ≤<
C ．{|01}x x <≤
D ．{|1}x x ≤ 3已知实数列2,,,,1--z y x 成等比数列，则xyz =
A ．—4
B ．4
C ．22-
D ．22±
4已知),0(,,+∞∈c b a ，023=+-c b a ，则
b
ac
的 A ．最大值是 B ．最小值是 C ．最大值是33 D ．最小值是3
3
5一个简单多面体的三视图如图所示，其主视图与左视图是边长为
2的正三角形，俯视图轮廓为正方形，则其体积是
A ．3
2
4 B ．334 C 38 D 34
6 设1333,33332
5
74
3
76
1
76
73
4
75
2
77
+⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅+=C C C B C C C A ，则B A -=
A ．128
B ．129
C ．7
4
D ．0
7在ABC ∆中，已知向量)72cos ,18(cos =AB ，)27cos 2,63cos 2( =BC ，则ABC ∆的面积等于 A ．
2
2
B ．
4
2 C ．2
3 D ．2
8下列有关命题的说法正确的是
俯视图
主视图
左视图
A ．命题“若21x =，则”的否命题为：“若2
1x =，则”；
B ．命题“x R ∃∈，使得2
10x x ++<”的否定是：“x R ∀∈， 均有2
10x x ++<”；
C ．在ABC ∆中，“B A >”是“B A 2
2cos cos <”的充要条件；
D ．“2x ≠或1y ≠”是“3x y +≠”的非充分非必要条件
9 已知两点(1,0)M -，(1,0)N ，若直线340x y m -+=上存在点P 满足0PM PN ⋅=，则实数m 的取值范围是
A (,5][5,)-∞-+∞
B (,25][25,)-∞-+∞
C [25,25]-
D [5,5]- 10若],2
,2[π
πβα-
∈、且0sin sin >-ββαα，则下面结论正确的是 A βα> B 0>+βα C βα< D 22βα>
11如图，已知正三棱锥A —BCD 侧面的顶角为40°，侧棱长为a ， 动点E 、F 分别在侧棱AC 、AD 上，则以线段BE 、EF 、FB 长度和 的最小值为半径的球的体积为
A ．3
34a π
B ．
3332a π C ．33
4a π D ．3
4a π 12在正方体1111D C B A ABCD -的各顶点与各棱中点共20个点中，任取2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线1BD 垂直的概率为
A ．16621
B 19021
C 19018
D 166
27
第Ⅱ卷（共90分） 本卷包括必考题和选考题两部分，第13—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

第22—24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所
示，则()2
21log 82-⎛⎫
⊗= ⎪⎝⎭
___ ___．
14设O 为坐标原点，抛物线x y 22
=与过焦点的直线 交于B A 、两点，则=⋅OB OA k k 15
已
知
数
列
}
{n a 满足*)
,2(1
1
3121,113211N n n a n a a a a a n n ∈≥-++++==- 若1005=n a ，则=n _____________ 15已知点P 在直线012=-+y x 上，点Q 在直线032=++y x 上，PQ 中点为),(00y x M ，
且200+>x y ，则0
0x y
的取值范围为
开始 输入a 、b a b ≤
输出1b a -
输出1a b
+
结束
（第13题图）
是
否
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分12分）
设函数a x x x x f ++=2cos cos sin 3)( （I ）求函数的最小正周期及单调递减区间； （II ）当⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈3,6ππx 时，函数的最大值与最小值的和为23，求的图象、y
轴的正半轴及x 轴的正半轴三者围成图形的面积
18 （本小题满分12分）
如图，一圆形靶分成A ，B ，C 三部分，其面积之比为
1:1:2．某同学向该靶投掷3枚飞镖，每次1枚．假设他每
次投掷必定会中靶，且投中靶内各点是随机的． （Ⅰ）求该同学在一次投掷中投中A 区域的概率； （Ⅱ）设X 表示该同学在3次投掷中投中A 区域的次数，求
X 的分布列及数学期望；
（Ⅲ）若该同学投中A ，B ，C 三个区域分别可得3分，2分，
1分，求他投掷3次恰好得4分的概率． 19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P —ABCD 的底面为直角梯形，3,1,2
===∠=∠BC AD DCB ADC π
，
PC=CD=2，⊥PC 平面ABCD ，E 是线段AB 的中点。

（I ）求证：⊥DE 平面PAC ； （II ）求二面角B —PA —C 的大小
20（本小题满分12分）
A
B
C
已知两点1(2,0)F -，2(2,0)F ，曲线C 上的动点M 满足1212||||2||MF MF F F +=，直线2MF 与曲线C 交于另一点P ． （Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）设(4,0)N -，若22:MNF PNF S S ∆∆3:2=，求直线MN 的方程．
21（本小题满分12分）
设)0()
1ln()(>+=
x x
x x f Ⅰ判断函数)(x f 的单调性；
Ⅱ是否存在实数a ，使得关于x 的不等式ax x <+)1ln(
在0，∞+上恒成立，若存在，求出a 的取值范围，若不存在，试说明理由； Ⅲ求证：*∈<+N n e n
n
,)11( 其中e 为自然对数的底数
请考生在（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，C 点在圆O 直径BE 的延长线上，CA 切圆O 于A 点，∠ACB 平分线DC 交AE 于点F ，交AB 于D 点．
（I ）求ADF ∠的度数； （II ）若AB =AC ，求AC :BC ．
23 （本小题满分10分）
已知直线l 的参数方程为2cos sin x t y t αα
=+⎧⎨
=⎩，（t 为参数，α为倾斜角，且2π
α≠）与
曲线
22
1612
x y +=1交于,A B 两点 （I ）写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； （Ⅱ）求||||PA PB 的最大值
24 （本小题满分10分）
设函数21)(-+-=x x x f （Ⅰ）画出函数)(x f y =的图像；
（Ⅱ）若不等式)(x f a b a b a ≥-++，（R b a a ∈≠、,0）恒成立，求实数x 的范围
参考答案
二、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题意要求的 3 C
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 144- 16 5
12100-<<-
x y 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 解（1）,2
1
)62sin(22cos 12sin 23)(+++=+++=
a x a x x x f π……3分 .π=∴T ……4分
.3
26,2236222ππππππππk x kx k x k +≤≤++≤+≤+得由 故函数的单调递减区间是)(32,6Z ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++k k k ππππ。

…… 6分
（2）.1)6
2sin(21.656
26
,3
6
≤+≤-∴≤
+
≤-
∴≤
≤-
π
ππ
π
π
π
x x x ∴当⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，原函数的最大值与最小值的和)2121()211(++-+++a a
.2
1
)62sin()(,0,23++=∴=∴=
πx x f a ……8分 的图象与轴正半轴的第一个交点为)0,2(π
…… 9分
所以的图象、轴的正半轴及轴的正半轴三者围成图形的面积
⎰+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=.432|2)62cos(2121)62sin(2020ππππ
πx x dx x S
……12分 18 解：（Ⅰ）设该同学在一次投掷中投中A 区域的概率为()P A ，
依题意，()P A 1
=
4
………………… 2分 （Ⅱ）依题意知,)41
,3(~B X ，
k n k
k n C k X P --==)4
11()41()(（)3,2,1,0=k
从而X
4
3
=
=np EX …………………8分
（Ⅲ）设i B 表示事件“第i 次击中目标时，击中B 区域”，i C 表示事件“第i 次击中目标时，击中C 区域”，1,2,3i =
依题意知1231231231113
()()()342216
P P B C C P C B C P C C B =++=⨯⨯⨯=． …… 12分 19 解：（Ｉ）取ＣＤ中点Ｆ，连接ＥＦ， 则2)(2
1
,=+=
⊥BC AD EF CD EF ,2,1====EF CD DF AD ︒=∠=∠90EFD CDA
EFD CDA ∆≅∆∴FDE DAC ∠=∠∴
︒=∠+∠90FDE EDA ︒=∠+∠∴90DAC EDA AC DE ⊥∴ ……4分
DE PC ABCD PC ⊥∴⊥,平面
⊥∴DE 平面PAC ……6分
（II ）以点C 为坐标原点，分别以CD ，CB ，CP 为轴，轴，轴建立空间直角坐标系Oxyz ，
则)0,2,1(),0,1,2(),2,0,0(),0,3,0(),0,0,2(),0,0,0(E A P B D C ⊥DE 平面PAC )0,2,1(-=∴DE PAC 的一个法向量为平面 ……8分
设平面PAB 的一个法向量为),,(z y x n =，
由)2,3,0(),2,1,2(-=-=PB PA ，
得⎩
⎨⎧=-=-+023022z y z y x
不妨令2
3
,1,1=
==z y x 则，
即)2
3,1,1(=n ……10分
85
8522
17523
0121)1(,cos =⋅
⋅
+⋅+⋅->=
<∴n DE
.85
85
2arccos
的大小为二面角C PA B --∴ ……12分 20 解：（Ⅰ）因为12| |4F F =,1
212| |||2||84MF MF F F +==>， 所以曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为8的椭圆．
曲线C 的方程为
22
11612
x y +=． ……4分 （Ⅱ）显然直线MN 不垂直于x 轴，也不与x 轴重合或平行 ……5分 设(,),(,)M M P P M x y P x y ，直线MN 方程为(4)y k x =+，其中0k ≠
由22
1,1612(4)x y y k x ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
得22(34)240k y ky +-= 解得0y =或2
2443
k
y k =
+ 依题意22443M k y k =+，22
11612
443
M M k x y k k -+=-=+ ……7分 因为22:3:2MNF PNF S S ∆∆=， 所以
22||3
||2
MF F P =，则2232MF F P =
于是 32(2),230(0),
2
M P M P
x x y y ⎧
-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩
所以 222
2242(2)2,343216.343P M P M k x x k k y y k ⎧+=-+=⎪⎪+⎨-⎪=-=⎪+⎩ ……9分
因为点P 在椭圆上，所以 222
22
242163()4()484343
k k k k +-+=++ 整理得 42
488210k k +-=， 解得2
712k =
或2
34
k =-（舍去）， 从而
6
k =±
……11分 所以直线MN
的方程为4)6
y x =±
+ ……12分
21 1∵)0(,)
1ln()(>+=
x x x x f ∴2
)1ln(1)(x x x x
x f +-+='， …… 1分 设)0(),1ln(1)(≥+-+=
x x x
x
x g ∴0)
1()1()1(111)1(1)(222≤+-=++-=+-+-+=
'x x
x x x x x x x g ， ∴)(x g y =在)[∞+,0上为减函数． …… 3分
∴0)0()1ln(1)(=≤+-+=
g x x x
x g ， ∴0)
1ln(1)(2<+-+='x x x x
x f ，
∴函数x
x x f )
1ln()(+=在),0(+∞上为减函数． …… 5分
2ax x <+)1ln(
在),0(+∞上恒成立， 0)1ln(
<-+⇔ax x 在),0(+∞上恒成立， …… 6分 设ax x x h -+=)1ln(
)(，则0)0(=h ， ∴a x
x h -+=
'11
)(， …… 7分 若1≥a ，则)[∞+∈,0x 时，011
)(≤-+=
'a x
x h 恒成立， ∴ax x x h -+=)1ln(
)(在)[∞+,0上为减函数 ∴0)0()1ln(
=<-+h ax x 在),0(+∞上恒成立， ∴ax x <+)1ln(
在),0(+∞上恒成立， …… 9分 若0≤a 显然不满足条件， 若10<<a ，则011)(=-+='a x x h 时，11
-=a
x ， ∴)11
,
0-⎢⎣⎡∈a
x 时0)(≥'x h ， ∴ax x x h -+=)1ln(
)(在)11
,0-⎢⎣⎡a
上为增函数，
当)11
,
0-⎢⎣⎡∈a
x 时，0)1ln()(>-+=ax x x h ， 不能使ax x <+)1ln(在),0(+∞上恒成立，
∴1≥a …… 10分 3由2可知
1)
1ln(<+x
x 在),0(+∞上恒成立, ∴1)1ln(1<+x
x ， 即e x x
<+1)1(，
取
n x =1，即可证得e n
n <+)1
1(对一切正整数n 成立． ……12分 22解：（I ） AC 为圆O 的切线,∴EAC B ∠=∠
又知DC 是ACB ∠的平分线, ∴DCB ACD ∠=∠
∴ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠即AFD ADF ∠=∠ 又因为BE 为圆O 的直径,
∴︒=∠90DAE ∴︒=∠-︒=∠45)180(2
1
DAE ADF ……………… 4分
（II ） EAC B ∠=∠,ACB ACB ∠=∠,∴ACE ∆∽ABC ∆∴AB
AE
BC AC =… 6分 又 AB=AC, ∴︒=∠=∠30ACB B , ……………… 8分
∴在RT△ABE 中
,tan tan30AC AE B BC AB ==∠=︒= ……………… 10分 23（I ）
2cos ,sin x t t t αα
=+⎧⎨
=⎩（t 为参数，α为倾斜角，且2πα≠） sin tan ,tan 2tan 0
2cos y t l x y x t l ααααα
∴==∴--=-直线的一般方程直线通过的定点P 的坐标为（2，0）
……4分 （Ⅱ）2cos ,sin x t l y t α
α
=⎧⎨=⎩的参数方程为
椭圆方程为
112
162
2=+y x ，右焦点坐标为)0,2(P ,048)sin (4)cos 2(322=-++∴ααt t 即036cos 12)sin 3(22=-++t t αα 直线l 过椭圆的右焦点，∴直线与椭圆有两个交点
α
2sin 336
||||+=∴PB PA ，又α
为倾斜角，且2πα≠ 1sin 02<≤∴α，||||PB PA ∴的最大值为12 …… 10分
241⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-<<≥-=)1( 23)
2(1 1)
2( 32)(x x x x x x f 图像如图 ……4分
2由|ab||a-b|≥|a|f
得)(|
|||||x f a b a b a ≥-++ 又因为
2||||||||||=-++≥-++a b a b a a b a b a ……7分 则有2≥f 解不等式 2≥|-1||-2|
得 2521≤≤x
……10分。