新北师大版高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试题(含答案解析)(2)

一、选择题
1．已知函数()()1,f x ax b a b R x =+
+∈，当1,22x ⎡∈⎤
⎢⎥⎣⎦
时，设()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为（ ）
A ．
1
8
B ．
14
C ．
12
D ．1
2．若对于任意的x ＞0，不等式231
x
a x x ≤++恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A ．a ≥
15
B ．a ＞
15 C ．a ＜
15
D ．a ≤
15
3．下列命题中正确的是（ ） A ．若ac bc >22，则a b >
B ．若a b >，则
11a b
< C ．若a b >，c d >，则a c b d ->- D ．若a b >，c d <，则
a b c d
> 4．已知实数x 、y 满足不等式组1
1x y x y ⎧+≤⎪⎨-≤⎪⎩
，则2x y +的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 5．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，0ac <，那么下列选项中正确的是（ ） A ．ab ac >
B ．ac bc <
C ．22ab cb >
D ．22ca ac >
6．下列命题中，正确的是（ ） A ．若a b >，c d >，则a c > B ．若ac bc >，则a b > C ．若
22
a b
c c <，则a b < D ．若a b >，c
d >，则ac bd >
7．已知01x y a <<<<，log log a a m x y =+，则有（ ） A ．0m <
B ．01m <<
C ．12m <<
D ．2m >
8．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）
A ．集合P 是集合Q 的真子集
B ．集合Q 是集合P 的真子集
C ．P Q =
D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集
9．若
1
12
a b <<<，01c <<，则下列不等式不成立．．．的是（ ） A ．log log a b c c < B ．log log b a a c b c < C ．c c ab ba <
D ．c c a b <
10．若实数a ＞b ，则下列结论成立的是（ ）
A ．a 2＞b 2
B ．11a b
＜
C ．ln 2a ＞ln 2b
D ．ax 2＞bx 2
11．已知0x y >> 0m <，则下列结论正确的是（ ） A ．mx my > B ．m m x y
>
C ．2
2
mx my >
D ．22m m x y
>
12．已知实数,a b ，且a b >，则以下不等式恒成立的是（ ） A ．33a b >
B ．22a b >
C ．1133a
b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D ．
11a b
< 二、填空题
13．已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，||1b =，()c a b a b -+≤-，则||c 的最大值为___________．
14．已知函数()|||2|f x x a x =++-．若()|4|f x x ≤-的解集包含[]1,2，则实数a 的取值范围为__________．
15．若规定
a b
ad bc c d
=-，则不等式1
0x
<的解集为__________. 16．某种商品在某一段时间内进行提价，提价方案有三种:第一种:先提价%m ，再提价
%n ；第二种:先提价
%2m n +，再提价%2
m n
+；第三种:一次性提价()%+m n .已知0m n >>，则提价最多的方案是第__________种.
17．已知不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，则实数a 的取值范围是__________．
18．设()f x x a x =-+，且|()|2f x ≤在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围为_________. 19．若函数()()01
a
f x ax a x =
+>-在()1,+∞上的最小值为15，则函数()1g x x a x =++-的最小值为___．
20．不等式
4
x x
>的解集为__________． 三、解答题
21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，数列{}n S n
是公差为1
2的等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21(1)n n
b n a =
+，求证：对于任意的*
n N ∈，123
41
n b b b +++<
.
22．已知正实数,x y 满足21x y += （1）解关于x 的不等式52()||2
x y x y ++-≤； （2）证明：2
211
4136x y ⎛⎫⎛⎫--≥ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
. 23．设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，:q 实数x 满足31x -<. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；
（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 24．已知0a >，0b >，0c >，函数()||||f x x a x b c =++-+． （1）当1a =，2b =时，求不等式()5>+f x c 的解集；
（2）当()f x 的最小值为6时，证明：22222212a b a c b c
c b a
+++++．
25．设函数()212f x x x =-++． （1）求不等式()4f x ≥的解集；
（2）若不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，求实数m 的取值范围． 26．已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；
（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 考虑1
2
x =
，1，2的函数值的范围，运用绝对值不等式的性质，即可得到所求最小值． 【详解】 函数()()1,f x ax b a b R x
=+
+∈，当1
[2x ∈,2]时，()f x 的最大值为(,)M a b ，
可得1(,)(2)|2|2M a b f a b ≥=++
，11
(,)()|2|22
M a b f a b ≥=++，(,)(1)|1|M a b f a b ≥=++，
可得
1(3M a ,2
)(3
b M a +,)(b M a +,211124)1336333b a b a b a b ≥++++++++
2111241
13363332
a b a b a b ≥
+++++---=， 即()12,2M a b ≥，即有()1,4M a b ≥，则(,)M a b 的最小值为1
4
， 故选：B 【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是理解到最大值的含义，熟练掌握绝对值的三角不等式.
2．A
解析：A 【分析】
由于x ＞0，对不等式左侧分子分母同时除以x ，再求出左侧最大值即可求解. 【详解】
由题：对于任意的x ＞0，不等式
231
x
a x x ≤++恒成立，
即对于任意的x ＞0，不等式
1
13a
x x
≤++
恒成立，
根据基本不等式：10,335x x x >++
≥+=，当且仅当1x =时，取得等号， 所以1
13x x ++的最大值为1
5
，
所以1
5
a ≥.
故选：A 【点睛】
此题考查不等式恒成立求参数范围，通过转化成求解函数的最值问题，结合已学过的函数模型进行求解，平常学习中积累常见函数处理办法可以事半功倍.
3．A
解析：A 【分析】
对于选项A ，由不等式性质得该选项正确；对于选项B ，11b a a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误；通过举反例说明选项C 和选项D 错误. 【详解】
对于选项A ，若ac bc >22，所以20c >，则a b >，所以该选项正确；
对于选项B ，
11b a a b ab
--=符号不能确定，所以该选项错误； 对于选项C ，设1,0,1,3,2,3a b c d a c b d ===-=--=-=，所以a c b d -<-，所以该选项错误；
对于选项D ，设0,1,2,1,0,1,a b a b
a b c d c d c d
==-=-=-==∴<，所以该选项错误； 故选：A 【点睛】
本题主要考查不等式的性质，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．B
解析：B 【分析】 由题意得出1111
x y x y -≤+≤⎧⎨
-≤-≤⎩，利用待定系数法得出()()31
222x y x y x y +=++-，然后利
用不等式的基本性质可求得2x y +的取值范围，进而得解. 【详解】
由题意得出11
11
x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，设()()()()2x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-，
则21m n m n +=⎧⎨-=⎩，解得32
1
2m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，()()31222x y x y x y +=++-，
由于()()33
322211122
2x y x y ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩，可得222x y -≤+≤，因此，2x y +的最大值是2.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用不等式的基本性质求代数式的最值，解答的关键就是利用待定系数法求得
()()31
222
x y x y x y +=
++-，考查计算能力，属于中等题. 5．A
解析：A 【分析】
根据不等式的性质推理即可得出. 【详解】
c b a <<，且0ac <，
0c ∴<，0a >，0b a -<，
ab ac ∴>.
故选：A. 【点睛】
本题考查不等式与不等关系，解题关键是熟练掌握不等式的性质，属于基础题.
6．C
解析：C 【分析】
利用不等式的基本性质进行逐项判断即可,不成立的举反例. 【详解】
对于选项A:若2,3,1,2a b c d =-=-==-,满足a b >,c d >,但是a c >不成立,故选项A 错误;
对于选项B ：若1,3,2c a b =-=-=-,满足ac bc >,但a b >不成立,故选项B 错误; 对于选项C ：因为22
a b c c
<,整理化简可得20a b
c -<,因为20c >,所以0a b -<,即a b <成立,故选项C 正确;
对于选项D:若1, 1.1,2a b c d ==-=-=-,满足a b >,c d >,但是ac bd >不成立,故选项D 错误; 【点睛】
本题考查不等式与不等关系;不等式的基本性质的灵活运用是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
7．D
解析：D 【分析】
首先根据对数的运算得到()log a m xy =，再由不等式的性质及对数函数的性质即可得解. 【详解】
解：由题意得()log a m xy =，
01x y a <<<<，
201xy a ∴<<<，
2log 2a m a ∴>=.
故选：D 【点睛】
本题考查对数的运算及对数函数的性质，不等式的性质，属于中档题.
8．C
解析：C 【分析】
先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】
|||1|3x x +-<，
∴当0x 时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<；
当01x <时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；
当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．
{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，
P Q ∴=．
故选：C ． 【点睛】
本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．B
解析：B 【分析】
根据幂函数和对数函数的图象和性质，结合不等式的基本性质，对各选项逐一判断即可. 【详解】 对于A ：当1
12
a b <<<，01c <<，由对数函数的单调性知，0log log a b c c <<，故A 正确； 对于B ：当
1
12
a b <<<，01c <<，设函数log c y x =为减函数，则log log 0c c a b >>，
所以log log 0b a c c >>，因1
12
a b <<<，则log b a c 与log a b c 无法比较大小，故B 不正确； 对于C ：当
1
12
a b <<<，01c <<，则10c -<，由指数函数的单调性知，11c c b a --<，将不等式11c c b a --<两边同乘ab ，得c c ab ba <，故C 正确；
对于D ：当1
12
a b <<<，01c <<，由不等式的基本性质知，c c a b <，故D 正确. 故选: B 【点睛】
本题考查了幂函数和对数函数的图象和性质，不等式的基本性质，属于基础题.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
特值法排除A,B,D,单调性判断C
由题意，可知：
对于A ：当a 、b 都是负数时，很明显a 2＜b 2，故选项A 不正确； 对于B ：当a 为正数，b 为负数时，则有11
a b
＞
，故选项B 不正确； 对于C ：∵a ＞b ，∴2a ＞2b ＞0，∴ln 2a ＞ln 2b ，故选项C 正确； 对于D ：当x ＝0时，结果不成立，故选项D 不正确； 故选：C ． 【点评】
本题主要考查不等式的性质应用，特殊值技巧的应用，指数函数、对数函数值大小的比较．本题属中档题．
11．B
解析：B 【分析】
由不等式的性质逐项分析判定即可 【详解】
对A,
0x y >> 0m <,则mx my <,故A 错误； 对B,0x y >>，∴.
11x y <，又0m <，∴m m
x y
>,故B 正确； 对C,
0x y >>则22,x y >又0m <，则22mx my <,故C 错误； 对D,
0x y >>，∴. 11,x y < ∴22
m m x y
<,故D 错误 故选B 【点睛】
本题考查不等式性质，熟记基本性质，准确推理是关键，是基础题
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据幂函数的单调性判断A ；令1a =，1b =-判断,B D ，根据指数函数的单调性判断
C ．
【详解】
因为()3
f x x =是增函数，所以由b a >可得33b a >，选项A 正确；
当1a =，1b =-时，22a b >不成立，选项B 错误；
因为1y ()3x =是减函数,由a b >可得11()()33
a b
<，选项C 错误，
1a =，1b =-时，
11
a b
<不成立，选项D 错误，故选A ．
本题主要考查不等关系与不等式的性质，属于中档题．利用条件判断不等式是否成立主要从以下几个方面着手：（1）利用不等式的性质直接判断；（2）利用函数式的单调性判断；（3）利用特殊值判断.
二、填空题
13．【分析】只有不等号左边有当为定值时相当于存在的一个方向使得不等式成立适当选取使不等号左边得到最小值且这个最大值不大于右边【详解】当为定值时当且仅当与同向时取最小值此时所以因为所以所以所以当且仅当且与
解析：【分析】
只有不等号左边有c ，当||c 为定值时，相当于存在c 的一个方向使得不等式成立． 适当选取c 使不等号左边得到最小值，且这个最大值不大于右边． 【详解】
当||c 为定值时，|()|c a b -+当且仅当c 与a b +同向时取最小值， 此时|()|||||||c a b c a b a b -+=-+-，
所以||
||||c a b a b ++-．
因为||||1a b ==，所以2222()()2()4a b a b a b ++-=+=，
所以22222(||||)()()2||||2[()()]8a b a b a b a b a b a b a b a b ++-=++-++-++-= 所以||
||||22c a b a b ++-，当且仅当a b ⊥且c 与a b +同向时取等号．
故答案为 【点睛】
本题考察平面向量的最值问题，需要用到转化思想、基本不等式等，综合性很强，属于中档题．
14．【解析】f(x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|当x ∈12时|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|⇔4－x －(2－x)≥|x ＋a|⇔－2－a≤x≤2－a 由条件得－2－a≤1且2－a≥2即 解析：[]-3,0
【解析】
f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a | ⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2， 即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[]-3,0.
15．【分析】先由题中定义将不等式化为等价于解出该不等式组可得出所求不等式的解集【详解】所以不等式即为则解不等式得；解不等式即解得因此不等式的解集为故答案为【点睛】本题考查新定义运算考查对数不等式绝对值不
解析：()
()0,11,2..
先由题中定义将不等式化为log 10-<，等价于011x <-<，解出该不等式组可得
出所求不等式的解集. 【详解】
a b
ad bc
c d
=-，所以不等式11
01x
<即为log 10-<，则
011x <-<，
解不等式10x ->，得1x ≠；解不等式11x -<，即111x -<-<，解得02x <<.
因此，不等式1
0x
<的解集为()()0,11,2，故答案为()()0,11,2.
【点睛】
本题考查新定义运算，考查对数不等式、绝对值不等式的解法，在求解对数不等式时，一般要化为同底数的对数，利用对数函数的单调性得出两个真数的大小，同时要注意真数大于零，考查计算能力，属于中等题.
16．二【分析】设原商品价格为1三种提价方案后的价格分别为：第一种：；第二种：；第三种：展开利用基本不等式的性质即可得出【详解】设原商品价格为1三种提价方案后的价格分别为：第一种：；第二种：；第三种：因此
解析：二 【分析】
设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：第一种：(1%)(1%)m n ++；第二种：
(1%)(1%)22
m n m n
+++
+；第三种：1()%m n ++．展开利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】
0m n >>，设原商品价格为1，三种提价方案后的价格分别为：
第一种：(1%)(1%)1%%%%m n m n m n ++=+++； 第二种：(1%)(1%)1%%%%222222
m n m n m n m n m n m n
+++++++
+=+++⨯ 1()%%%1()%
22
m n m n m n m n ++=+++⨯>++
1()%%%m n m n =+++；
第三种：1()%m n ++． 因此提价最多的方案是第二种． 故答案为：二． 【点睛】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17．【分析】先将不等式对任意恒成立转化为不等式对任意恒成立再令转化为对任意恒成立求解即可【详解】因为不等式对任意恒成立所以不等式对任意恒
成立令所以对任意恒成立令所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查不等 解析：[6,)-+∞
【分析】
先将不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，转化为不等式
2
2y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立，再令[]2,5=∈y t x ，转化为 22a t t ≥-，对任意[2,5]t ∈恒成立求解即可.
【详解】
因为不等式222xy ax y +，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立， 所以不等式22y y a x x ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭
，对任意[1,2],[4,5]x y ∈∈恒成立， 令[]2,5=∈y t x
， 所以 22a t t ≥-，对任意[2,5]t ∈恒成立， 令211248
⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭y t ， 所以 max 6y =-，
所以 6a ≥-
故答案为：[6,)-+∞
【点睛】
本题主要考查不等式恒成立问题以及不等式的性质，二次函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
18．【分析】针对的取值情况进行分类讨论去绝对值转化为最值问题处理【详解】若则所以所以无解；若则所以；若则所以；综上所述故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式的应用考查根据不等式恒成立求参数的取值范围难度 解析：[0,2]
【分析】
针对a 的取值情况进行分类讨论，去绝对值，转化为最值问题处理.
【详解】
若1a ≤-，则()||2f x x a x x a =-+=-，所以22022
a a a -≤⎧⇒=⎨--≥-⎩，所以无解； 若1a ≥，则()||f x x a x a =-+=，所以12a ≤≤；
若11a -<<，则,[1,]()2,(,1]
a x a f x x a x x a x a ∈-⎧=-+=⎨
-∈⎩，所以01a ≤<； 综上所述，02a ≤≤.
故答案为：[0,2].
【点睛】
本题考查绝对值不等式的应用，考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，难度一般. 19．6【分析】首先利用基本不等式求函数的最小值解得的值再根据含绝对值三角不等式求函数的最小值【详解】当且仅当时即时取等号此时满足所以函数的最小值是6故答案为：6【点睛】方法点睛：本题考查基本不等式求最值 解析：6
【分析】
首先利用基本不等式求函数的最小值，解得a 的值，再根据含绝对值三角不等式求函数()g x 的最小值.
【详解】
()
11131f x a x a a x ⎛⎛⎫=-++≥= ⎪ -⎝⎭⎝
， 当且仅当111
x x -=-时，即2x =时取等号， 此时满足3155a a =⇒=，
()()()51516g x x x x x =++-≥+--=，
所以函数()g x 的最小值是6.
故答案为：6
【点睛】
方法点睛：本题考查基本不等式求最值以及含绝对值不等式求最值，其中基本不等式求最值需注意一下几点：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
20．【分析】由题意可化为根据不等式性质化简即可求解【详解】由题意可知即解得所以不等式的解集故答案为：【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法一元二次不等式的解法属于中档题
解析：()0,2
【分析】
由题意可化为
4,0x x x
>>，根据不等式性质化简即可求解. 【详解】 由题意可知40
x x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩，
即2
40x x ⎧>⎨>⎩
，解得02x <<， 所以不等式的解集()0,2，
故答案为：()0,2.
【点睛】
本题主要考查了含绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，属于中档题.
三、解答题
21．（Ⅰ）*3(N )n a n n =+∈；（Ⅱ）证明见解析.
【分析】
（1）由1141
S a ==，所以17=22n S n n +，可得217=22n S n n +， 当2n ≥时有-1n n n a S S =-，又14a =，即可得解；
（2） 首先由22
11(1)(1)(3)n n b n a n n ==+++，通过放缩和裂项可得： 1111[](1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)
n b n n n n n n n <=-+++++++，求和即可得解. 【详解】
（Ⅰ）数列{}n S n 是公差为12的等差数列，且 1141S a ==， 可得17=22n S n n +，217=22
n S n n +， ∴-13(2)n n n a S S n n =-=+≥，又14a =，
∴*3(N )n a n n =+∈
（Ⅱ）
22111111[](1)(1)(3)(1)(2)(3)2(1)(2)(2)(3)n n b n a n n n n n n n n n =
=<=-++++++++++ 11=32
b ， 当2n ≥时，12n b b b +++ 11111111[]32234454556(1)(2)2(3)
n n n n <
+-+-++-⨯⨯⨯⨯++++（） 1111=[]322342(3)n n +-⨯++（） 1117<3223496
+=⨯ ，
又737419631=0964196419641
⨯-⨯-=-<⨯⨯ ∴12341n b b b ++
+<， 又113=3241
b <， ∴*123N .41n b b b n ++
+<∈， 【点睛】
本题考查了等差数列通项公式，考查了数列不等式的证明，有一定的计算量属于中档题. 本题涉及的方法有： （1）放缩法，放缩法是数列不等式证明中的重要方法，难度相对较大；
（2）裂项相消法，裂项相消法是数列求和的常用方法.
22．（1）
11102x ≤<；（2）证明见解析. 【分析】 （1）用x 表示y 并求得x 的取值范围，结合绝对值不等式的解法求得原不等式的解集. （2）化简221141x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭后利用基本不等式证得不等式成立. 【详解】
（1）21x y +=，且0,0x y >>，故112,02y x x =-<<
. 11005222()5122(1)3131222x x x y x y x x x x ⎧⎧<<<<⎪⎪⎪⎪∴++-≤⇔⇔⎨⎨⎪⎪-+-≤-≤+⎪⎪⎩⎩
10211231222x x x x ⎧<<⎪⎪⇔⎨⎪--≤-≤+⎪⎩
， 解得11102x ≤<. （2）
21,x y +=且 0,0x y >>， 2222221114141x y x y x y ⎛⎫--⎛⎫∴--=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2222
(12)(12)(1)(1)(12)(1)2x x y y x y y x x y x y +-+-++⋅=⋅=⋅ 1222x y xy xy +++=⨯
248844436(2)22xy x y x y =+=+≥+=+⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 当且仅当122x y ==
时等号成立. 【点睛】 解绝对值不等式，可利用公式法，如a b b a b ≤⇔-≤≤.证明不等式，可利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
. 23．（1）{}|23x x <<（2）
423
a ≤≤ 【分析】
（1）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，解绝对值不等式求得q 中x 的取值范围，根据p q ∧为真，即,p q 都为真命题，求得x 的取值范围.
（2）解一元二次不等式求得p 中x 的取值范围，根据p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列不等式组，解不等式组求得实数a 的取值范围.
【详解】
对于q ：由31x -<得131x -<-<，解24x <<
（1）当1a =时，对于p ：()()243310x x x x -+=--<，解得13x <<，由于p q ∧为真，所以,p q 都为真命题，所以2413x x <<⎧⎨<<⎩
解得23x <<，所以实数x 的取值范围是{}|23x x <<.
（2）当0a >时，对于p ：()()224303x ax a x a x a =---+<，解得3a x a <<.由于
p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，所以p 是q 的必要不充分条件，所以234a a ≤⎧⎨
≥⎩，解得423a ≤≤.所以实数a 的取值范围是423
a ≤≤. 【点睛】 本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查根据含有逻辑连接词命题真假性求参数的取值范围，考查根据充分、必要条件求参数的取值范围，属于中档题.
24．（1）{|3x x
或2}x <-；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将1a =，2b =代入()f x 中，然后根据()5f x c >+，利用零点分段法解不等式即可；
（2）先利用绝对值三角不等式求出()f x 的最小值，然后利用基本不等式，即可证明结论成立.
【详解】
（1）当1a =，2b =时，21,2()123,1221,1x c x f x x x c c x x c x -+>⎧⎪=++-+=+-⎨⎪-++<-⎩
．
()5f x c >+，
∴2152x c c x -+>+⎧⎨>⎩或3512c c x +>+⎧⎨-⎩或2151
x c c x -++>+⎧⎨<-⎩， 3x ∴>或x ∈∅或2x <-，
∴不等式的解集为{|3x x 或2}x <-；
（2）证明：()()6f x x a x b c x a x b c a b c =++-++--+=++=， ∴222222a b a c b c c b a
+++++ 222()()()ab ac bc b c a c a b a b c c b a c b c a b a
++=+++++ 2()12a b c ++=，当且仅当2a b c ===时等号成立，
∴22222212a b a c b c c b a
+++++． 【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式，基本不等式和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题.
25．（1）4(,0][,)3-∞⋃+∞；（2）(,1)
(5,)-∞-+∞
【详解】
在解答含有绝对值不等式问题时，要注意分段讨论来取绝对值符号的及利用绝对值的几何意义来求含有多个绝对值的最值问题． （Ⅰ）()3,(2)
{4,(21)3,(1)
x x f x x x x x -≤-=-+-<≤>，令44x -+=或34x =，
得0x =，43x =，所以，不等式()4f x ≥的解集是4{|0}3
x x x ≤≥或． （Ⅱ）()f x 在(,1]-∞上递减，[1,)+∞递增，所以，
， 由于不等式()2f x m <-的解集是非空的集合，所以23m ->，
解之，1m <-或5m >，即实数m 的取值范围是(,1)(5,)-∞-⋃+∞．
26．（1）(0,2)；（2）[2,)+∞
【分析】
(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立
等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，
2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
，求其最大值即可. 【详解】
解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112
x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)
(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩
， 则max 1()12g x g ⎛⎫==
⎪⎝⎭
，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞ 【点睛】
考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。