江西省吉安县中、泰和中学、遂川中学2012届高三第二次月考试题(数学理)

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

江西省吉安县中、泰和中学、遂川中学2012届高三第
二次月考试题（数学理）
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）． 1．已知集合{}{}2,3,2,4,P A B P A
B ===，则集合的子集的个数是
（ ）
A.2
B. 4
C. 8
D. 16
2．已知a 、b 是实数，则11
()()33a b <“”是“33log log a b
>”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3．定义行列式运算：12
1423
34
a a a a a a a a
=-，若将函数
3sin ()1
cos x f x x
=
的图象向左平移m （m>0）
个单位长度后，所得图象对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）
A.8π
B. 3π
C. 56π
D. 23π
4．若110||||2b a
a b ab a b a b a b
a b <<+<><+>，则不等式①②③④中，正确的不等式有
（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5．在A B C O A M ∆中，为中线上的一个动点，若AM=2，则()OA OB OC ⋅+的最小值是（ ）
A.4-
B. 4
C.2
D. 2-
6．设实数4100,
280,(0,0)12x y x y x y z ax by a b x y --⎧⎪
-+=+>>⎨⎪⎩≤、满足条件≥若目标函数的最大值为,
≥0,≥0,则
23
a b +
的最小值为（ ）
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

A.256
B. 83
C. 113
D.4
7．若sin 2tan()
3sin 2tan()ααββ
αβ-=+，则
=（ ）
A.1
2 B. 13
C. 23
D. 14
8．当直线|ln |
|2|x y kx y e x ==--与曲线有3个公共点时，实数k 的取值范围是（ ）
A.1∞（，＋）
B. 1∞［，＋）
C.(0,1)
D.01（，］
9．已知函数()f x 的图像如图所示，'()(),f x f x 是的导函数则下列数值排序正确的是（ ）
A.'(2)'(3)(3)(2)f f f f <<-
B. '(3)(3)(2)'(2)f f f f <-<
C. '(3)'(2)(3)(2)f f f f <<-
D. (3)(2)'(2)'(3)f f f f -<<
10．在平行四边形ABCD 中，120||1,||2,BAD AB AD ∠=︒==，且O ABCD 是平面内任一点，
OP OA xAB yAD =++，当点P 在以A 为圆心，||AC 为半径的圆上时，有（ ）
A.
22423x y xy +-= B.
22423x y xy ++=
C. 22
423x y xy +-=
D. 22
423x y xy ++=
第Ⅱ卷 （共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分）． 11．不等式22log (1)log 1x x -+<的解集是_________
12．已知A 、B 、C 是圆O ：22
1x y OA OB OC AB OA +=+=⋅=上三点且，则_________
13．奇函数()(2)(2)=0,(1)=9,f x x R f x f x f ∈++-满足对任意都有且
(2010)(2011)f f 则＋(2012)f ＋的值为__________
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

14．曲线
1
,,11x y y e x x =
==+直线所围成的区域的面积是____________
15．函数322
()(1)x x f x x -=+的值域为___________
三、解答题（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
16．（本小题满分12分）已知函数
1
()2x f x x +=
-的定义域是集合A ，
函数
()g x lg =2[(21)x a -+2
]x a a ++的定义域是集合B 。

（1）分别求集合A 、B ； （2）若A
B B =，求实数a 的取值范围。

17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A 、B 、C 所对应的边，且
4,5,tan a b c A =+=+tan B 3(1tan tan )A B =--，求A 的正弦值。

5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

18．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos 3,sin ),(,)
22ππ
ααα∈。

（1）若||||,AC BC α=求角的值；
（2）若sin sin21,tan AC BC αα
α+⋅=-22求的值；
1+
19．（本小题满分12分）定义：已知函数()[,](),,f x m n m n t t m <在上的最小值为若 ≤恒成立
则称函数()[,]()f x m n m n <在上具有“DK ”性质。

（1）判断函数2
()22[1,2]f x x x DK =-+在上是否具有“”性质，说明理由； （2）若2
()2[,1]f x x ax a a DK a =-++在上具有“”性质，求的取值范围。

20．（本小题满分13分）如图，线段AB 过y 轴上一点N （0，m ），AB 所在直线的斜率为(0)k k ≠，两端点A ，B 到4y k 轴的距离之差为。

（1）求以y 轴为对称轴，过A ，O ，B 三点的抛物线方程；
（2）过抛物线的焦点F 作动弦CD ，过C ，D 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M ，
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

求点M 的轨迹方程，并求2
FC FD
FM
⋅的值。

21．（本小题满分14分）设函数
2
1()2ln ,,()12f x x ax x a R f x x =
++∈=已知函数在处有极值。

（1）求实数a 的值；
（2）当()(6)44
1
[,](e x e x x e e e x e -+-+∈其中是自然对数的底数)时,证明:≥；
（3）证明：对任意的
*
3221531
1,ln !12824n n n N n n n
n >∈<-+，不等式恒成立。

吉安县中、泰和中学、遂川中学2012届高三联考
数学(理)答题卡
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．___________________ 12．____________________ 13．___________________ 14．____________________
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

15．___________________
三、解答题（本题共6题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
16.（12分）
17.（12分）
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

18.（12分）
19.（12分）
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

20.（13分）
21.（14分）
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

吉安县中、泰和中学、遂川中学2012届高三联考
数学答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B D A A C B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．（1，2） 12．
3
2
-
13．-9 14．ln21
e-- 15．
11
[,]
44
-
三、解答题（本题共6题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤）
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

16．（1）要使函数1()2x f x x +=
-有意义，需102x x +-≥，且20x -≠，即(1)(2)020x x x +-⎧⎨-≠⎩≥，
解
得1x -≤或2x >，故}
{|12A x x x =->≤或，……………………3分
要使
22
()1(21)g x g x a x a a ⎡⎤=-+++⎣⎦
有意义，需22
(21)0x a x a a -+++>，即
1x a x a <>+或，故集合{}|1B x x a x a =<>+或.……………………………7分
（2）由
1
12a A
B B A B a >-⎧=⊆⎨
+⎩得，因此≤，所以11a -<≤，所以实数a 的取值范围是(
]11-，. ………………………………12分
17．tan tan 3(1tan tan )1tan tan 0A B A B A B +=---≠，显然
(tan tan 1,,tan tan 0,22A B A B C A B A B π
π
π=+=
=+=+=否则则，但由知，这不可能！）
tan tan 3,tan()tan 3,601tan tan A B
A B C C A B +=-+=-=-=︒
-故
……………………5分
2221cos ,4
22a b c C a ab +-===又，
所以22
4165b b c b c =+-+=，又
37sin 43
,,sin 227a C b c A c ====
所以………………………………………12分
18．（1）(cos 3,sin ),(cos sin 3),AC BC αααα=-=-、
22(cos 3)sin 106cos ,106sin AC BC αααα
∴=-+=-=-
35sin cos ,(,).224AC BC ππααααπ
==∈∴=由得又……………………5分 （2）1
(cos 3)cos sin (sin 3)1AC BC αααα⋅=--+⋅-=-由，得
2
sin cos 3αα∴+=①
222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos sin 1tan 1cos ααααα
αα
ααα++⋅==⋅++
又
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

由①式两边平方得
45
12sin cos ,2sin cos ,
99αααα+⋅=∴⋅=-
22sin sin 25
1tan 9ααα+∴=-
+………………………………12分 19．（1）
2min ()22,[1,2],()11f x x x x f x =-+∈∴=≤，
()[1,2]DK f x ∴函数在上具有“”性质.………………3分
（2）
2()2,[,1].
2a f x x ax x a a x =-+∈+=，其图象的对称轴方程为 ①当22min 0,()()22
2a
a a f x f a a a ==-+=≤，即≥时.
若函数()f x 具有“DK ”性质，则有2≤a 总成立，即a ≥2. ………………6分
②当2
min 120()=()2
224a a a a a a f x f <<+-<<=-+，即时，。

若函数()f x 具有“DK ”性质，则有2
2,.
4a a a -+≤总成立解得不存在…………9分
③当min 12,()=(1)32a
a a f x f a a +-+=+≥，即≤时。

若函数()f x 具有“DK ”性质，则有3,.a a a +≤解得不存在
综上所述，若
2
()2[,1]2f x x ax a a DK a =-++在上具有“”性质，则≥。

………12分
20．（1）依题意，设AB 所在直线方程为y kx m =+，抛物线方程为2
2(0),x py P =>且
1122(,),(,)A x y B x y ，由题设知12120,0|||4x x x x k ><∴-=，｜，即124.x x k +=
22,2202y kx m
y x pkx pm x py =+⎧--=⎨=⎩由消去并整理得，
1224,2x x pk k p ∴+==∴=。

故所求抛
物线方程为2
4x y =。

………………………5分
（2）由（1），得
211,'42y x y x =
=，求导数得。

设22334411
(,),(,),
44
C x x
D x x ,C 则过抛物线上
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

D 两点的切线方程分别为223334441111
(),(),
4242y x x x x y x x x x -=--=-
即
22
33441111,2424y x x x y x x x =-=-。

联立上述两个方程，3434,24x x x x x y +⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
得。

3434M (,).24x x x x +∴两条切线的交点的坐标为 设CD 所在直线方程为22
1,4,44=0y nx x y x nx =+=--代入得。

344x x ∴=-，
34
(
,1)2x x M +∴-的坐标为，故点M 的轨迹方程为1y =-， ……………………10分
2331(,1),4FC x x =-又2441
(,1)
4FD x x =-. 2222343434111
()1
444FC FD x x x x x x ∴⋅=+⋅-++=
2222343411
41()1()2
44x x x x -+-++=-+-
而222
2223434343421()44()2,244x x x x x x FM x x +++=+=+=++2
1FC FD FM ⋅∴=-。

(13)
分
21．（1）由题知
2
'()01,'(1)0f x x a f x =++
=∴=的一个根为.
120,=-3a a ∴++=即…………………………2分
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

22221
(2)()32l n (0)
2
32(1)(2)
'()(0)
32
'()0,20 1.
32
'()0,1 2.
1[,],
1
(),12(1,2)15
[,],()(1).
2()f x x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x x x
x e e
f x e e
x e f x f e f e =-+>-+--∴==>-+=>><<-+=<<<∈∴∴∈=-由解得或由解得函数的单调递增区间为()、(、），单调递减区间为。

当时的极大值为又4
2222min 222222()(6)4ln ()(1
=32,
2
191
()(1)3(3)022211
[,]()=()=3 2.
211
32()32ln 22
6464ln 6644ln )(6)44ln ,e x e x x e x e e e f e f e e e x e f x f e e e e e e f x x x x e e x x x e x x e x e x e x x e e e
-+---+-=-+=->∴∈-∴-=-+-+-+-+-+-+-+∴＋，
当时，＋＋≥，即≥，即≥，即(≥即≥，
6)4
4.8x x +-＋≥…………………………分
（3）由（2）可知，函数())f x ∞的单调递减区间为(1,2），单调递增区间为(2,+,
5.方茴说：“那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。

我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。

”
6.方茴说：“我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。

”
7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。

8.这些孩子都很活泼与好动，即便吃饭时也都不太老实，不少人抱着陶碗从自家出来，凑到了一起。

9.石村周围草木丰茂，猛兽众多，可守着大山，村人的食物相对来说却算不上丰盛，只是一些粗麦饼、野果以及孩子们碗中少量的肉食。

222222(1,),()22ln 24
1
()32ln 2ln 24(1),
21
342ln 22ln (1).2
13
ln 2ln 2(1).
4213
ln 2ln 2222,
4213
ln 2ln 3332,
42
13
ln 2ln 2
42
ln 2ln(1x f x x f x x x x x x x x x x x x x n n n n ∴∈+∞=-∴=-+->-+->∴--+>∴-⨯-⨯+-<⨯-⨯+-<-+-当时函数在处取得最小值≥即≥≤≤……
把上述各式相加，变形得：
22232*
3213
23)(12)124213
1ln 2,
42
2113(1)3ln (1)(21)2ln 2!46224113(1)1531(1)(21)2.462212824
215311ln .1!12824n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n N n n n n ⋅⋅⋅⋅<++--+-++<⋅++-⋅++-
+<⋅++-⋅+=-+∴>∈<-+……+（＋＋…+）
+ 2（）即对任意的，，不等式恒成立…………4分。