高中数学第一章统计1.5用样本估计总体1.5.2估计总体的
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5.2
估计总体的数字特征
1.能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基 本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. 2.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会 数字特征的随机性.
1.样本平均数和样本标准差 假设通过随机抽样得到的样本为x1,x2,…,xn,则
+(10 − 10)2 + (10.2 − 10)2] = 0.02(t2/hm4),
题型一
题型二
题型三
乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为
2 ������乙
1 = × [(9.4 − 10)2 + (10.3 − 10)2 + (10.8 − 10)2 + (9.7 5
2 则������甲
− 10)2 + (9.8 − 10)2] = 0.244(t2/hm4), 2 = 0.02(t2/hm4) < ������乙 = 0.244(t2/hm4),
题型一
题型二
题型三
解:甲种冬小麦的平均单位面积产量
乙种冬小麦的平均单位面积产量
9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2 ������甲 = = 10(t/hm2), 5
则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同. 甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为
2 ������甲
9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8 ������乙 = = 10(t/hm2), 5 1 = × [(9.8 − 10)2 + (9.9 − 10)2 + (10.1 − 10)2 5
(2)因为������甲 = 1(mm2). 2 2 = ������乙 , ������甲 > ������乙 ,
99 × 2 + 100 × 3 + 102 ������乙 = = 100(mm), 6
所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定. 因此应该选择甲种小麦进行推广.
反思平均数和方差是样本的两个重要的数字特征,方差越大,表 明数据越分散,相反地,方差越小,表明数据越集中稳定;平均数越大, 表明数据的平均水平越高;平均数越小,表明数据的平均水平越低.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右,下面是在 甲、乙两地六个时间测得的温度,你认为甲、乙两地哪个更适合母 鸡产蛋?
1 × 6 1 × 6
1 6
[(-5-4)2 + … + (-4-4)2 + (-3-4)2 ] [(1-4)2 + … + (2-4)2 + (0-4)2 ]≈3.5(℃).
≈8.4(℃), s乙 =
显然两地的平均温度相等,乙地温度的标准差较小,说明了乙地 温度波动较小,因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
题型一
题型二
题型三
用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例2】 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为了检 验产品的质量,从产品中各随机抽取6件进行测量,测得数据如下(单 位:mm): 甲:99,100,98,100,100,103; 乙:99,100,102,99,100,100. (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差; (2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合 要求. 分析:利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断.
时刻/时 甲/℃ 乙/℃ 4 -5 1 8 7 4 12 15 10 16 14 7 20 -4 2 24 -3 0
题型一
题型二
题型三
解:平均数: ������甲 = × (−5 + 7 + 15 + 14 − 4 − 3) = 4(℃),
标准差: s甲 =
1 ������乙 = × (1 + 4 + 10 + 7 + 2 + 0) = 4(℃). 6
解析: ������甲 =
1 (72 + 77 + 78 + 86 + 92) 5
= 81,
1 ������乙 = (78 + 88 + 88 + 91 + 90) = 87, 5
∴ ������甲 < ������乙 . =
108 ,∴ 5
2 又������甲 =
252 2 , ������乙 5
【做一做】 在高二的 5 次月考中,统计甲、乙两位同学的数学 成绩如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是������甲 , ������乙 , 则下列结论正确的是( ) A. ������甲 < ������乙 , 甲比乙成绩稳定 B. ������甲 > ������乙 , 乙比甲成绩稳定 C. ������甲 > ������乙 , 甲比乙成绩稳定 D. ������甲 < ������乙 , 乙比甲成绩稳定
题型一
题型二
题型三
解:(1)������甲 =
2 ������甲
1 = [(99 − 100)2 + (100 − 100)2 × 3 + (98 − 100)2 + (103 6 7 − 100)2] = (mm2), 3 1 2 ������乙 = [(99 − 100)2 × 2 + (100 − 100)2 × 3 + (102 − 100)2] 6
样本平均数为������ = 样本标准差为 s=
1 [(������1 -������ )2 ������
������1 +������2+…+������������ , ������
+ (������2 -������)2 + … + (������������ -������ )2 ].
2.估计总体的数字特征 利用随机抽样得到样本,从样本数据得到的分布、平均数和标准 差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体 真正的分布、平均数和标准差,而只是总体的一个估计,但这种估 计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息.
乙比甲成绩稳定.
答案:D
题型一
题型二
题型三
利用方差分析数据 【例1】 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产 量如下(单位:t/hm2):
品种 甲 乙 第一年 9 .8 9 .4 第二年 9 .9 10.3 第三年 10.1 10.8 第四年 10 9 .7 第五年 10.2 9 .8
根据这组数据判断应该选择哪一种小ห้องสมุดไป่ตู้进行推广? 分析:从平均数和方差两个角度去考虑.
估计总体的数字特征
1.能根据实际问题的需求合理地选取样本,从样本数据中提取基 本的数字特征(如平均数、标准差),并作出合理的解释. 2.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会 数字特征的随机性.
1.样本平均数和样本标准差 假设通过随机抽样得到的样本为x1,x2,…,xn,则
+(10 − 10)2 + (10.2 − 10)2] = 0.02(t2/hm4),
题型一
题型二
题型三
乙种冬小麦平均单位面积产量的方差为
2 ������乙
1 = × [(9.4 − 10)2 + (10.3 − 10)2 + (10.8 − 10)2 + (9.7 5
2 则������甲
− 10)2 + (9.8 − 10)2] = 0.244(t2/hm4), 2 = 0.02(t2/hm4) < ������乙 = 0.244(t2/hm4),
题型一
题型二
题型三
解:甲种冬小麦的平均单位面积产量
乙种冬小麦的平均单位面积产量
9.8 + 9.9 + 10.1 + 10 + 10.2 ������甲 = = 10(t/hm2), 5
则甲、乙两种冬小麦平均单位面积产量相同. 甲种冬小麦平均单位面积产量的方差为
2 ������甲
9.4 + 10.3 + 10.8 + 9.7 + 9.8 ������乙 = = 10(t/hm2), 5 1 = × [(9.8 − 10)2 + (9.9 − 10)2 + (10.1 − 10)2 5
(2)因为������甲 = 1(mm2). 2 2 = ������乙 , ������甲 > ������乙 ,
99 × 2 + 100 × 3 + 102 ������乙 = = 100(mm), 6
所以甲种小麦的平均单位面积产量比较稳定. 因此应该选择甲种小麦进行推广.
反思平均数和方差是样本的两个重要的数字特征,方差越大,表 明数据越分散,相反地,方差越小,表明数据越集中稳定;平均数越大, 表明数据的平均水平越高;平均数越小,表明数据的平均水平越低.
题型一
题型二
题型三
【变式训练1】 已知母鸡产蛋的最佳温度在10 ℃左右,下面是在 甲、乙两地六个时间测得的温度,你认为甲、乙两地哪个更适合母 鸡产蛋?
1 × 6 1 × 6
1 6
[(-5-4)2 + … + (-4-4)2 + (-3-4)2 ] [(1-4)2 + … + (2-4)2 + (0-4)2 ]≈3.5(℃).
≈8.4(℃), s乙 =
显然两地的平均温度相等,乙地温度的标准差较小,说明了乙地 温度波动较小,因此,乙地比甲地更适合母鸡产蛋.
题型一
题型二
题型三
用样本的数字特征估计总体的数字特征 【例2】 甲、乙两台机床同时加工直径为100 mm的零件,为了检 验产品的质量,从产品中各随机抽取6件进行测量,测得数据如下(单 位:mm): 甲:99,100,98,100,100,103; 乙:99,100,102,99,100,100. (1)分别计算上述两组数据的平均数和方差; (2)根据(1)的计算结果,说明哪一台机床加工的这种零件更符合 要求. 分析:利用平均数与方差公式分别进行计算,并作出判断.
时刻/时 甲/℃ 乙/℃ 4 -5 1 8 7 4 12 15 10 16 14 7 20 -4 2 24 -3 0
题型一
题型二
题型三
解:平均数: ������甲 = × (−5 + 7 + 15 + 14 − 4 − 3) = 4(℃),
标准差: s甲 =
1 ������乙 = × (1 + 4 + 10 + 7 + 2 + 0) = 4(℃). 6
解析: ������甲 =
1 (72 + 77 + 78 + 86 + 92) 5
= 81,
1 ������乙 = (78 + 88 + 88 + 91 + 90) = 87, 5
∴ ������甲 < ������乙 . =
108 ,∴ 5
2 又������甲 =
252 2 , ������乙 5
【做一做】 在高二的 5 次月考中,统计甲、乙两位同学的数学 成绩如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是������甲 , ������乙 , 则下列结论正确的是( ) A. ������甲 < ������乙 , 甲比乙成绩稳定 B. ������甲 > ������乙 , 乙比甲成绩稳定 C. ������甲 > ������乙 , 甲比乙成绩稳定 D. ������甲 < ������乙 , 乙比甲成绩稳定
题型一
题型二
题型三
解:(1)������甲 =
2 ������甲
1 = [(99 − 100)2 + (100 − 100)2 × 3 + (98 − 100)2 + (103 6 7 − 100)2] = (mm2), 3 1 2 ������乙 = [(99 − 100)2 × 2 + (100 − 100)2 × 3 + (102 − 100)2] 6
样本平均数为������ = 样本标准差为 s=
1 [(������1 -������ )2 ������
������1 +������2+…+������������ , ������
+ (������2 -������)2 + … + (������������ -������ )2 ].
2.估计总体的数字特征 利用随机抽样得到样本,从样本数据得到的分布、平均数和标准 差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体 真正的分布、平均数和标准差,而只是总体的一个估计,但这种估 计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息.
乙比甲成绩稳定.
答案:D
题型一
题型二
题型三
利用方差分析数据 【例1】 甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产 量如下(单位:t/hm2):
品种 甲 乙 第一年 9 .8 9 .4 第二年 9 .9 10.3 第三年 10.1 10.8 第四年 10 9 .7 第五年 10.2 9 .8
根据这组数据判断应该选择哪一种小ห้องสมุดไป่ตู้进行推广? 分析:从平均数和方差两个角度去考虑.