上海延安中学八年级数学上册第三单元《轴对称》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．
①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝ED
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2．以下尺规作图中，点D 为线段BC 边上一点，一定能得到线段AD BD =的是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
3．下列命题正确的是（ ）
A ．全等三角形的对应边相等
B ．面积相等的两个三角形全等
C ．两个全等三角形一定成轴对称
D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 4．已知点A 是直线l 外的一个点，点B ，C ，D ，
E 是直线l 上不重合的四个点，再添加①AB AC =；②AD AE =；③BD CE =中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，组成真命题的个数为（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若a ，b 为等腰ABC 的两边，且满足350a b -+-=，则ABC 的周长为（ ）
A ．11
B ．13
C ．11或13
D ．9或15 7．如图，在ABC 中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交
BC 于点D ，则:DAC ABC S S 等于（ ）
A ．1:2
B ．2:3
C ．1:3
D ．1:3 8．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ） A ．A B C ∠=∠=∠ B ．,60AB AC B =∠=︒
C ．60,60A B ∠=︒∠=︒
D ．AB AC =，且B C ∠=∠ 9．三个等边三角形的摆放位置如图所示，若12100︒∠+∠=，则3∠的度数为（ ）
A ．80︒
B ．70︒
C ．45︒
D ．30︒
10．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）
A ．∠1＝2∠2
B ．∠1+∠2＝180°
C ．∠1+3∠2＝180°
D ．3∠2﹣∠1＝180° 11．如图，在ABC 中，18cm AC =，20cm BC =，点M 从点A 出发以每秒2cm 的速度向点C 运动，点N 从点C 出发以每秒1.6cm 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，则这时等腰三角形的腰长是（ ）
A ．5cm
B ．6cm
C ．7cm
D ．8cm
12．如图，是一个 3×4 的网格（由 12 个小正方形组成，虚线交点称之格点）图中有一个三角形，三个顶点都在格点上，在网格中可以画出（ ）个与此三角形关于某直线对称的格点三角形．
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
二、填空题
13．如图，点CD 在线段AB 的同侧，CA =6，AB =14，BD =12，M 为AB 中点，
∠CMD =120°．则CD 的最大值为____．
14．如图，点A 为线段BC 外一动点，4BC =，1AB =，分别以AC 、AB 为边作等边ACD △、等边ABE △，连接BD ．则线段BD 长的最大值为______．
15．如图，点C 在DE 上，,,45B E AB AE CAD BAE ∠=∠=∠=∠=︒，则ACB =∠_____________．
16．如图，等边ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边上一点．若2AE =，当EF CF +取最小值时，ECF ∠的度数为___________度．
17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．
18．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．
19．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．
20．如图，在等边△ABC 中，AC ＝9，点O 在AC 上，且AO ＝3，点P 是AB 上一动点，连接OP ，以O 为圆心，OP 长为半径画弧交BC 于点D ，连接PD ，如果PO ＝PD ，那么AP 的长是________．
三、解答题
21．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．
()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；
()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．
22．小明遇到这样一个问题：如图①，在ABC 中，12AB =，8AC =，AD 是中线，求AD 的取值范围．她的做法是：过点B 作//BE AC 交AD 的延长线于点E ，证明BED CAD △≌△，经过推理和计算就可以使问题得到解决．
按照上面的思路，请回答：
（1）小红证明BED CAD △≌△的判定定理是：______；
（2）AD 的取值范围是______；
方法运用：
（3）如图②，AD 是ABC 的中线，在AD 上取一点F ，连接BF 并延长交AC 于点E ，使AE EF =，求证：BF AC =．
23．如图，//AB CD ，点E 在CB 的延长线上，A E ∠=∠，AC ED =．
（1）求证：BC CD =；
（2）连接BD ，求证：ABD EBD ∠=∠．
24．如图，在ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥，垂足为G ，且AD AB =，60EDF ∠=︒，其两边分别交AB ，AC 于点E ，F ．
（1）求证：ABD △是等边三角形；
（2）若2DG =，求AC 的长；
（3）求证：AB AE AF =+．
25．已知，如图ABC ，AE 平分BAC ∠，EF AB ⊥，垂足为F ，点F 在AB 的延长线上，EG AC ⊥，垂足为点G ，ED 垂直平分BC ，D 为垂足，连结BE ，CE ． 求证：BEF CEG △≌△．
26．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt △ABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．
（1）画△ABC的角平分线CD交AB于点D；
（2）画AB边的垂直平分线l交直线CD于点P．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据三角形内角和定理求出∠CAB，求出∠CAD=∠BAD=∠B，推出AD=BD，AD=2CD即可．【详解】
解：∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD=30°，①正确；
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∴AD=BD，AD=2CD，②正确；
∴BD=2CD，③正确；
根据已知不能推出CD=DE，故④错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
2．D
解析：D
【分析】
点D到点A、点B的距离相等可知点D在线段AB的垂直平分线上，据此可得答案．
【详解】
解：∵点D到点A、点B的距离AD=BD，
∴点D在线段AB的垂直平分线上，
故选择：D．
【点睛】
本题主要考查作图−复杂作图，解题的关键是掌握线段中垂线的性质与尺规作图．
3．A
解析：A
【分析】
分别利用全等三角形的性质以及等腰三角形的性质判断得出即可．
【详解】
解：A、全等三角形的对应边相等，是真命题；
B、面积相等的两个三角形不一定全等，原命题是假命题；
C、两个全等三角形不一定成轴对称，原命题是假命题；
D、所有等腰三角形不一定都只有一条对称轴，如等边三角形有三条对称轴，原命题是假命题；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了命题与定理，熟练掌握几何性质与判定是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
写出所组成的三个命题，然后根据等腰三角形的判断与性质对各命题进行判断．
【详解】
解：根据题意吧，如图：
由等腰三角形的性质和全等三角形的判定定理，
易证△ABD≌△ACE；
命题1：若AB=AC，AD=AE，则BD=CE，此命题为真命题；
命题2：若AB=AC，BD=CE，则AD=AE，此命题为真命题；
命题3：若AD=AE，BD=CE，则AB=AC，此命题为真命题．
故选：D．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及命题真假的判断，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的判断命题的真假．
5．A
【分析】
对于此类问题，只要依据翻折变换，知道剪去了什么图形即可判断，也可动手操作，直观的得到答案．
【详解】
解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
6．C
解析：C
【分析】
根据非负数的意义列出关于a、b的方程并求出a、b的值，再根据b是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【详解】
解：根据题意得a-3=0，b-5=0，
解得a=3，b=5，
（1）若3是腰长，则三角形的三边长为：3、3、5，能组成三角形，
周长为：3+3+5=11；
（2）若3是底边长，则三角形的三边长为：3、5、5，
能组成三角形，
周长为3+5+5=13．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形作出判断．
7．D
解析：D
【分析】
先根据直角三角形的性质得出∠2=30°，CD=1
2
AD，再由三角形的面积公式即可得出结
论．
解：由作图过程可知：AP平分∠BAC，∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠1=∠2=∠B=30°，
∴CD=1
2
AD，AD=BD，
∴BC=BD+CD=AD+1
2AD=
3
2
AD，
S△DAC=1
2
AC•CD=
1
4
AC•AD，
∴S△ABC=1
2AC•BC=
1
2
AC•
3
2
AD=
3
4
AC•AD，
∴S△DAC：S△ABC=1：3，
故选D．
【点睛】
本题考查的是作图—基本作图，熟知角平分线的作法和性质，30°的直角三角形的性质是解答此题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
【详解】
A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
B、由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
C、由“∠A＝60°，∠B＝60°”可以得到“∠A＝∠B＝∠C＝60°”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断△ABC是等边三角形，故本选项不符合题意；
D、由“AB＝AC，且∠B＝∠C”只能判定△ABC是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三
角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
9．A
解析：A
【分析】
由平角的性质可得∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，可得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°，将∠1＋∠2＝100°代入可求解．
【详解】
∵∠3＋∠6＋60°＝180°，∠2＋∠4＋60°＝180°，∠1＋∠5＋60°＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝540°−180°=360°，
∵∠4＋∠5＋∠6＝180°，
∴∠1＋∠2＋∠3=360°-180°=180°，
∴∠3＝180°−（∠1＋∠2）＝80°，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，平角的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．
【详解】
解：∵2∠是ACD △的外角，
∴12C ∠+∠=∠，
∴∠C=∠2-∠1，
∵AB AC =，
∴B C ∠=∠，
∵AB BD =，
∴2BAD ∠=∠，
∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，
∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，
∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．
故选：D ．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 11．D
解析：D
【分析】
要求运动后得到的等腰三角形的腰长，首先要求出动点所运动的时间．我们可以设M 、N 运动的时间为x 秒．
【详解】
设M 、N 运动的时间为x 秒．
当CMN △是以MN 为底的等腰三角形时，,182, 1.6CM CN CM x CN x ==-= 即182 1.6x x -=，解得5x =．
∴腰长为5 1.68cm ⨯=
故选D ．
【点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度．
12．B
解析：B
【分析】
先确定对称轴，再找到对称点进而可以找到符合题意的对称三角形即可．
【详解】
解：如图，左右对称的有4个，
如图，上下对称的有1个，
如图，关于正方形的对角线对称的有2个，
∴一共有7个与原三角形关于某直线对称的格点三角形，
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称图形的性质，找到正确的对称轴，画出相应的对称三角形是解决本题的关键．
二、填空题
13．25【分析】作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B证明
△AMB为等边三角形在根据两点之间线段最短即可解决问题【详解】解：作点A关于CM的对称点A作点B关于DM的对称点B如下图所示：∴∠1=
解析：25
【分析】
作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，证明△A’MB’为等边三角形，在根据两点之间线段最短即可解决问题．
【详解】
解：作点A关于CM的对称点A’，作点B关于DM的对称点B’，如下图所示：
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵∠CMD=120°，
∴∠2+∠3=60°，
即∠A’MB’=120°-60°=60°，
又M为AB的中点，
∴AM=MA’=MB’=MB，
∴△A’MB’为等边三角形，
∴A’B’=AM=7，
由两点之间线段最短可知：
CD≤CA’+A’B’+B’D=CA+AM+BD=6+7+12=25，
故答案为：25．
【点睛】
本题主要考查了几何变换之折叠，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识点，解题的关键是作点A 关于CM 的对称点A’，作点B 关于DM 的对称点B’，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
14．5【分析】连接CE 根据等边三角形的性质得到AE ＝ABAC ＝AD ∠CAD ＝∠BAE ＝60°再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC 由全等三角形的性质得到BD ＝EC 由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值即可
解析：5
【分析】
连接CE,根据等边三角形的性质得到AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，再利用SAS 推出△BAD ≌△EAC ，由全等三角形的性质得到BD ＝EC ，由于线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，即可得到结果．
【详解】
解：连接CE ，
∵△ACD 与△ABE 是等边三角形，
∴AE ＝AB ，AC ＝AD ，∠CAD ＝∠BAE ＝60°，
∴∠CAD ＋∠BAC ＝∠BAE ＋∠BAC ，
即∠BAD ＝∠EAC ，
在△BAD 与△EAC 中，
AD AC BAD EAC AB AE ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△BAD ≌△EAC （SAS ），
∴BD ＝EC ；
∵线段BD 长的最大值＝线段EC 的最大值，
当线段EC 的长取得最大值时，点E 在CB 的延长线上，且BC ＝4，AB ＝1，
∴线段BD 长的最大值为BE ＋BC ＝AB ＋BC ＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，并正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
15．【分析】由条件可证得△ABC ≌△AED 则可求得∠ACB=∠ADEAD=AC 再利用等腰三角形的性质可求得答案【详解】解：
∵∠CAD=∠BAE ∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE 即∠BAC=∠DAE
解析：67.5
【分析】
由条件可证得△ABC ≌△AED ，则可求得∠ACB=∠ADE ，AD=AC ，再利用等腰三角形的性质可求得答案．
【详解】
解：∵∠CAD=∠BAE ，
∴∠CAD+∠CAE=∠BAE+∠CAE ，
即∠BAC=∠DAE ，
在△ABC 和△AED 中，
B E AB AE
BAC EAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△ABC ≌△AED （ASA ），
∴AD=AC ，∠ACB=∠ADE ，
∴∠ACD=∠ADC ，
∵∠CAD=45°，
∴∠ADC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°，
故答案为：67.5．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
16．30【分析】由等边三角形三线合一可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称连接BE 交AD 于点F 此时取得最小值进而求出的度数即可【详解】∵是等边三角形是边上的中线∴AD ⊥BCAD 平分∠BAC ∴点B 和点C 关于AD
解析：30
【分析】
由等边三角形三线合一，可知：点B 和点C 关于AD 成轴对称，连接BE 交AD 于点F ，此时，EF CF +取得最小值，进而，求出ECF ∠的度数即可．
【详解】
∵ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的中线，
∴AD ⊥BC ，AD 平分∠BAC ，
∴点B 和点C 关于AD 所在直线成轴对称，
连接BE 交AD 于点F ，则BF=CF ，
∴EF CF +=EF+BF=BE ，即：此时，EF CF +取得最小值，
∵等边ABC ∆的边长为4，2AE =，
∴E 是AC 的中点，
∴BE 平分∠ABC ，
∵点F 是角平分线AD 与BE 的交点，
∴CF 平分∠BCA ，
即：∠FCA=12∠ACB=12
×60°=30°， ∴∠ECC=30°．
故答案是：30．
【点睛】
本题主要考查等边三角形中，两线段和最小时，求角的度数，通过轴对称，把两线段和化为两点之间的一条线段的长，是解题的关键．
17．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有2
解析：90°，45°，135°
【分析】
此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．
【详解】
（1）若AO 作为腰时，有两种情况，
①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；
②当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；
（2）若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°． 综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，
故答案是：90°，45°，135°．
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．18．3cm【分析】过点P作PF⊥OB于F根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC根据两直线平行内错角相等可得∠AOC＝∠OPD两直线平行同位角相等可得∠
解析：3cm
【分析】
过点P作PF⊥OB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PF＝PE，根据角平分线的定义可得∠AOC＝∠BOC，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOC＝∠OPD，两直线平行，同位角相等可得∠PDF＝∠AOB，再求出∠BOC＝∠OPD，根据等角对等边可得PD
＝OD，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得PF＝1
2
PD，进而即
可求解．
【详解】
如图，过点P作PF⊥OB于F，
∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，
∴PE＝PF，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵PD∥OA，
∴∠AOC＝∠OPD，∠PDF＝∠AOB＝30°，∴∠BOC＝∠OPD，
∴PD＝OD＝6cm，
∴PF＝1
2PD＝
1
2
×6＝3cm，
∴PE＝PF＝3cm．
故答案为：3cm．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质并作辅助线是解题的关键．
19．100°【分析】作点A关于BC的对称点A′关于CD的对称点A″根据轴对称确
定最短路线问题连接A′A″与BCCD的交点即为所求的点MN利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″再根据轴对称的性质和三
解析：100°
【分析】
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A′+∠A″，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″），然后计算即可得解．
【详解】
解：如图，
作点A关于BC的对称点A′，关于CD的对称点A″，
连接A′A″与BC、CD的交点即为所求的点M、N，
∵∠BAD=130°，∠B=∠D=90°，
∴∠A′+∠A″=180°-∠130°=50°，
由轴对称的性质得：A′N= AN，A″M=AM
∴∠A′=∠A′AN，∠A″=∠A″AM，
∴∠AMN+∠ANM=2（∠A′+∠A″）=2×50°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点M、N的位置是解题的关键，要注意整体思想的利用．
20．6【分析】连接OD由题意可知OP＝DP＝OD即△PDO为等边三角形所以∠OPA＝∠PDB＝∠DPA=60°推出△OPA≌△PDB根据全等三角形的对应边相等知OA＝BP＝3则AP＝AB−BP＝6【详解
解析：6
【分析】
连接OD．由题意可知OP＝DP＝OD，即△PDO为等边三角形，所以∠OPA＝∠PDB＝
∠DPA=60°，推出△OPA≌△PDB，根据全等三角形的对应边相等知OA＝BP＝3，则AP＝AB−BP＝6．
【详解】
解：如图，连接OD ，
∵PO ＝PD ，
∴OP ＝DP ＝OD ，
∴△PDO 为等边三角形，即∠DPO ＝60°，
∵等边△ABC ，
∴∠A ＝∠B ＝60°，AC ＝AB ＝9，
∴∠OPA ＝180°−60°−∠DPA=120°−∠DPA
∠PDB ＝180°−∠DPA−60°=120°−∠DPA
∴∠OPA=∠PDB ，
∴ 在△OPA 和△PDB 中，
A B OPA PDB PO PD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OPA ≌△PDB （AAS ），
∵AO ＝3，
∴AO ＝PB ＝3，
∴AP ＝6．
故答案是：6．
【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质，关键在于求证
△OPA ≌△PDB ．
三、解答题
21．（1）证明见解析；（2）结论不成立．图见解析，三者关系为AF AB BD +＝或,BD AB AF +＝
【分析】
（1）易证∠FBA=∠FCE ，结合条件容易证到△FAB ≌△DAC ，从而有FA=DA ，就可得到AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2中，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ．如图3中，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ．证明方法类似（1）．
【详解】
解：（1）证明：如图1，
∵BE ⊥CD ，即∠BEC=90°，∠BAC=90°， ∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°．
∴∠FBA=∠FCE ．
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°，
∴∠FAB=∠DAC ．
∵AB=AC ，
∴△FAB ≌△DAC ．
∴FA=DA ．
∴AB=AD+BD=FA+BD ．
（2）如图2，当D 在AB 延长线上时，AF=AB+BD ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠BAF=90° ∴∠F+∠FBA=90°，∠F+∠FCE=90°
∴∠FBA=∠FCE ，
∵∠FAB=180°-∠DAC=90°
∴∠FAB=∠DAC
在△FAB 和△DAC 中，
FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴FA=DA ，
∴AF=AD=BD+AB ．
如图3，当D 在AB 反向延长线上时，BD=AB+AF ，
理由是：∵BE ⊥CD 即∠BEC=90°，∠BAC=∠CAD=90°
∴∠AFB+∠FBA=90°，∠EFC+∠FCE=90°，
∵∠AFB=∠EFC ，
∴∠FBA=∠FCE ，
在△FAB 和△DAC 中，
90FAB DAC AB AC
FBA DCA ∠∠=︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩
＝＝＝ ∴△FAB ≌△DAC （ASA ），
∴AF=AD ，
∴BD=AB+AD=AB+AF ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，当条件没有改变仅仅是图形的位置发生变化时，常常可以通过借鉴已有的解题经验来解决问题． 22．（1）角角边或者角边角（AAS 或ASA ）；（2）210AD <<；（3）见解析
【分析】
（1）由“ASA”或“AAS”可证△BED ≌△CAD ；
（2）由全等三角形的性质可得AC=BE=8，由三角形的三边关系可求解；
（3）延长AD 至H ，使AD=DH ，连接BH ，由“SAS”可证△BHD ≌△CAD ，可得AC=BH ，∠CAD=∠H ，由等腰三角形的性质可得∠H=∠BFH ，可得BF=BH=AC ；
【详解】
解：（1）∵AD 是中线，
∴BD=CD ，
又∵∠ADC=∠BDE ，
∵//BE AC ，
∴EBD C ∠=∠，E CAD ∠=∠，
∴△BED ≌△CAD （ASA ），或△BED ≌△CAD （AAS ），
故答案为：SAS 或AAS ；
（2）∵△BED ≌△CAD ，
∴AC=BE=8，
在△ABE 中，AB-BE ＜AE ＜AB+BE ，
∴4＜2AD ＜20，
∴2＜AD ＜10，
故答案为：2＜AD ＜10；
（3）过点B 作//BG AC 交AD 的延长线于点G ，则CAD BGD ∠=∠
∵AD 是中线，
∴BD CD =
在ADC 和GDB △中
∵CAD BGD ∠=∠，ADC GDB ∠=∠，BD CD =，
∴ADC GDB ≌△△
∴BG CA =
∵AE EF =
∴EAF AFE ∠=∠
又∵CAD BGD ∠=∠，AFE BFG ∠=∠
∴BGD BFG ∠=∠
∴BG BF =，
又∵BG CA =，
∴BF AC =；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
23．（1）见解析；（2）见解析．
【分析】
（1）根据平行线的性质可得∠ABC=∠ECD ，则可利用AAS 证明△ABC ≌△ECD ，再由全等三角形的性质可证得结论；
（2）根据“等边对等角”可得∠DBC=∠BDC ，结合∠ABC=∠ECD ，可得∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，再利用三角形的外角性质得∠EBD =∠ECD+∠BDC ，即可证明
∠ABD=∠EBD ．
【详解】
证明：（1）∵AB ∥CD ，
∴∠ABC=∠ECD ，
在△ABC 和△ECD 中，
ABC ECD A E
AC ED ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABC ≌△ECD （AAS ），
∴BC=CD ．
（2）证明：如图，
∵BC=CD ，
∴∠DBC=∠BDC ，
∵∠ABC=∠ECD ，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC =∠ECD+∠BDC ，
又∵∠EBD =∠ECD+∠BDC ，
∴∠ABD=∠EBD ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）4AC =；（3）见解析
【分析】
（1）连接BD 由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝
12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可得出结论；
（2）由等边三角形三线合一可得，122DG AG AD ==
=，可得4AD AB AC ===，即可求解；
（3）由△ABD 是等边三角形，得出BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由ASA 证明△BDE ≌△ADF ，得出AF ＝BE ，即可求解．
【详解】
证明：（1）AB AC =，AD BC ⊥，
12
BAD DAC BAC ∴∠=∠=∠， 120BAC ∠=︒，1120602
BAD DAC ∴∠=∠=⨯︒=︒， =AD AB ，ABD ∴是等边三角形．
（2）ABD 是等边三角形，
AD AB BD ∴==，
AD BC ⊥，122
DG AG AD ∴===，
4AD AB AC ∴===，即4AC =；
（3）
ABD 是等三角形，
60ABD ADB ∴∠=∠=︒，BD AD =，
60EDF ∠=︒，ADB ADE EDF ADE ∴∠-∠=∠-∠，
即BDE ADF ∠=∠．
在BDE 和ADF 中，
60ABD DAC ∠=∠=︒，BD AD =，BDE ADF ∠=∠，
(ASA)BDE ADF ∴△≌△， BE AF ∴=，
AB AE BE =+，AB AE AF ∴=+．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
25．见解析
【分析】
利用角平分线的性质得出EF EG =，再利用线段垂直平分线的性质得出BE CE =，最后证明Rt △BEF ≌Rt △CEG 即可．
【详解】
证明：AE ∵平分FAC ∠，EF AF ⊥，EG AC ⊥，
EF EG ∴=， DE 垂直平分BC ，
BE CE ∴=，
EF AF ⊥，EG AC ⊥，
90BFE CGE ∴∠=∠=︒，
在Rt BEF 和Rt CEG △中，
BE CE EF EG =⎧⎨=⎩
Rt Rt (HL)BEF CEG ∴△≌△．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质, 角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用性质解决问题．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）取格点T ，连接CT 交AB 于点D ，线段CD 即为所求．
（2）取格点G ，R ，作直线GR 交直线CT 于点P ，点P 即为所求．
【详解】
解：（1）如图，线段CD 即为所求．
（2）如图，直线l 即为所求．
【点睛】
本题考查作图的应用与设计，线段的垂直平分线，角平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。