甘肃省兰州第一中学2017-2018学年高二数学下学期第一次月考试题 文

甘肃省兰州第一中学2017—2018学年高二数学下学期第一次月考试
题 文
说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

答案写在答题卷(卡）上，交卷时只交答题卷（卡）.
第I 卷（选择题）
一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．
） 1．有一机器人的运动方程为s （t ）＝t 2
＋3t
(t 是时间,s 是位移），则该机器人在时刻t ＝2
时的瞬时速度为( ） A .错误!
B .错误!
C 。

错误!
D .错误!
2．函数cos sin y x x x =-的导数为( )
A ．cos x x
B ．sin x x -
C ．sin x x
D ．cos x x -
3．设曲线()ln 1ax y e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0，则a ＝（ ）
A .0
B .1
C .2
D 。

3
4．设函数f (x ）=2x
+ln x ， 则（ ）
A ．x =12为f (x ）的极大值点
B ．x =12
为f (x ）的极小值点 C ．x =2为 f （x ）的极大值点 D ．x =2为 f (x ）的极小值点
5．已知函数f （x )＝x 3
＋ax 2
＋（a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ )
A.（－1，2)
B.(－∞，－3）∪（6，＋∞) C 。

(－3,6）
D.（－∞,－1）∪(2，＋∞）
6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ ）
A B C D
7．若02
x π
<<
, 则下列不等式成立的是（ ）
2
.sin A x x π
<
2
.sin B x x π
>
3
.sin C x x π
<
3
.sin D x x π
>
8．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点， 则PQ 的最小值为 ( )
.0A 2
.
2
B .2
C .2
D 9．设函数()2
19ln 2
f x x x =-在区间[a －1，a ＋1］上单调递减，则实数a 的取值范围是( )
A 。

(1，2]
B.(4，＋∞］ C 。

［－∞，2）
D.(0，3］
10．若函数()()112
13
123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（ )
A ．[]5,7
B ．[)5,7
C ．()5,7
D ．(]5,7
11．函数y ＝f (x ）的导函数y ＝f ′（x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x ）的图象可能是（ ）
a
b a
b a
o x
o
x
y b a
o
x
y
o x
y
b y
12．已知y ＝f (x ）是可导函数，如图,直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f （x )在x ＝3处的切线，令
g (x ）＝xf （x )，g ′（x )是g （x ）的导函数，则g ′（3）＝（ ）
A 。

－1
B 。

0
C 。

2 D.4
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过曲线2y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线,当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 . 14．设函数()33,0
2,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f （x ）的最大值为________.
15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 。

16．定义域在R 上的可导函数y ＝f （x ）的导函数为()'f x ，满足()()'f x f x >，且()01f =，则不等式
()
1x
f x e <的解集为 。

三、解答题（本大题共6小题,共70分）
17。

（本小题满分10分）已知函数32()21f x x ax bx =+++,若函数()y f x '=的图象关于直线x ＝－错误!对称，且(1)0f '=. (1)求实数a ，b 的值；
(2)求函数()f x 在区间［－3,2]上的最小值．
18．（本小题满分12分)已知函数ln ()x
f x x
=。

（1）求函数f (x )的单调区间；
(2）已知R a b ∈、
, a b e >>（其中e 是自然对数的底数)， 求证：a b b a >.
19．（本小题满分12分）已知函数()ln a
f x x x
=+. 求f (x ）的单调区间和极值.
20．(本小题满分12分）已知函数f (x ）＝e x －x 2
＋2ax 。

（1）若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点（1，f (1))处的切线方程； (2）若f （x )在R 上单调递增，求实数a 的取值范围.
21．（本小题满分12分）已知函数f （x )＝（2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f (x )在区间
10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，求实数a 的最小值。

22．（本小题满分12分）已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R (1)当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；
(2）已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围；
兰州一中2017-—2018——2学期高二年级三月份月考试卷
文科数学
说明:本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷(非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟。

答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷(卡）.
第I 卷（选择题)
一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．
） 1．有一机器人的运动方程为s (t ）＝t 2
＋错误!(t 是时间，s 是位移），则该机器人在时刻t ＝2时的瞬时速度为（ ） A .错误!
B 。

错误!
C 。

错误!
D .错误!
解析 由题意知，机器人的速度方程为v (t )＝s ′(t ）＝2t －错误!,故当t ＝2时，机器人的瞬时速度为v （2)＝2×2－错误!＝错误!. 答案 D
2．函数cos sin y x x x =-的导数为( ）
A ．cos x x
B ．sin x x -
C ．sin x x
D ．cos x x -
答案：B
3．设曲线()ln 1ax y e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0,则a ＝( )
A .0
B 。

1
C 。

2
D .3
解析：()ln 1ax y e x =-+，'1
1
ax y ae x =-
+， 当x ＝0时，y ′＝a －1。

故曲线()ln 1ax y e x =-+在x ＝0处的切线方程为2x －y ＋1＝0, 从而a －1＝2，即a ＝3.故选D. 4．设函数f (x )=2x
+ln x ， 则（ ）
A ．x =12为f （x )的极大值点
B ．x =12
为f （x ）的极小值点 C ．x =2为 f (x )的极大值点 D ．x =2为 f (x ）的极小值点
解析:x
x x f x x x f 1
2)(',ln 2)(2+-=∴+=
，令0)('=x f ，则2=x ，当20<<x 时0)('<x f ,当2>x 时0)('>x f ，所以2=x 为)(x f 极小值点，故选D 。

5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
＋（a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ )
A.（－1，2） B 。

(－∞，－3)∪(6，＋∞) C 。

（－3，6)
D 。

(－∞，－1）∪（2，＋∞）
解析:∵f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋(a ＋6)，由已知可得f ′（x ）＝0有两个不相等的实根. ∴Δ＝4a 2
－4×3(a ＋6）>0，即a 2
－3a －18〉0，∴a 〉6或a 〈－3。

答案：B
6．若函数()y f x =的导函数．．．在区间[],a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[],a b 上的图象可能是（ )
A B C D
解析：因为函数()y f x =的导函数．．．
()'
y f x =在区间[],a b 上是增函数,即在区间[],a b 上各点处函数的变化率是递增的，故图像应越来越陡峭．由图易知选A 。

点评：这是一道非常精彩的好题，题目考察了导数的概念—-函数的变化率以及图像的变化规律，是以高等数学中函数图象的凹凸性为背景命制的，虽然试题的设计来源于高等数学，但考察的还是中学所学的初等数学知识．这也是近年来高考命题的一大特色． 7．若02
x π
<<
, 则下列不等式成立的是( ）
2
.sin A x x π
< 2
.sin B x x π
>
3
.sin C x x π
<
3
.sin D x x π
>
a
b a
b a
o
x
o
x
y
b a
o
x
y
o x
y
b y
8．P 为曲线ln y x =上一动点, Q 为直线1y x =+上一动点， 则min ||PQ =( ）
.0A 2
.
2
B .2
C .2D
9．设函数()2
19ln 2
f x x x =-在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A 。

（1，2] B 。

（4，＋∞] C 。

[－∞，2） D.（0,3］
解析：()()'90f x x x x =-
>，当9
0x x
-≤x －9x ≤0时，有0<x ≤3，即在(0，3]上函数()f x 是减函数，从而［a －1,a ＋1]⊆（0，3］，即a －1>0且a ＋1≤3，解得1<a ≤2. 故选A 。

10．若函数()()112
13
123+-+-=x a ax x x f 在区间()4,1上是减函数，在区间()+∞,6上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．[]5,7
B ．[)5,7
C ．()5,7
D ．(]5,7
解析：()()12-+-=a ax x x f ，令()0='x f 得1=x 或1-=a x ，结合图像知614≤-≤a ,故[]7,5∈a ．
点评：本题也可转化为()()4,10∈≤'x x f ，恒成立且()()+∞∈≥',60x x f ，恒成立来解．
11．函数y ＝f （x )的导函数y ＝f ′（x )的图象如图所示,则函数y ＝f (x ）的图象可能是( ）
解析:利用导数与函数的单调性进行验证.f ′(x )＞0的解集对应y ＝f (x )的增区间，f ′（x
）＜0的解集对应y ＝f （x )的减区间，验证只有D 选项符合。

答案:D
12．已知y ＝f （x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x ）在x ＝3处的切线，令g (x ）＝xf (x ),g ′（x ）是g (x ）的导函数，则g ′（3)＝( ）
A.－1
B.0
C.2 D 。

4
解析：由题图可知曲线y ＝f （x ）在x ＝3处切线的斜率等于－错误!,∴f ′（3）＝－
错误!,∵g (x ）＝xf (x ）,
∴g ′（x ）＝f (x ）＋xf ′（x )，∴g ′（3)＝f (3)＋3f ′（3)，又由题图可知f (3）＝1，所以g ′（3）＝1＋3×错误!＝0. 答案：B
二、填空题
13．过曲线2y x =上两点()2,4A 和()2,4B x y +∆+∆作割线，当0.1x ∆=时，割线AB 的斜率为 . 解析：()()2
2
2
22
44AB
x x x y k x x x x
∆+-∆+∆∆====∆+∆∆∆,所以当0.1x ∆=时,AB 的斜率为4。

1。

14．设函数()33,0
2,0
x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则f (x )的最大值为________.
解析:当x 〉0时，f (x )＝－2x 〈0；当x ≤0时，f ′(x )＝3x 2
－3＝3（x －1)(x ＋1）， 当x 〈－1时，f ′(x ）>0，f (x ）是增函数，当－1<x <0时，f ′(x ）〈0,f (x )是减函数. ∴f （x ）≤f （－1）＝2,∴f （x )的最大值为2. 答案：2
15．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为 。

解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2
l ＝27π，∴227l R
=
， 要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小。

由题意，S ＝πR 2
＋2πRl
＝πR 2
＋2π·
27R。

∴S ′＝2πR －错误!,令S ′＝0,得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小. 答案：3
16．定义域在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为()'f x ,满足()()'f x f x >，且()01f =,则不
等式()
1x f x e
<的解集为 .
答案：}{0x x >
解析：令()()x f x g x e =,()()()()
()()'''
20x x x x f x e f x e f x f x g x e e --==<，可得函数()()x f x g x e =在R 上为减函数，又()()()
00011x x
f f
g e e
==⇒<，即()()}{
100g x g x x x <⇒>>. 三、解答题
17.（本小题满分10分)已知函数32()21f x x ax bx =+++,若函数()y f x '=的图象关于直线x ＝
－错误!对称，且(1)0f '=。

（1）求实数a ，b 的值;
（2)求函数()f x 在区间[－3，2］上的最小值．
解:（1)f ′（x ）＝6x 2
＋2ax ＋b ，函数y ＝f ′(x ）的图象的对称轴为x ＝－错误!. ∵－错误!＝－错误!，∴a ＝3. ∵f ′（1)＝0，∴6＋2a ＋b ＝0,得b ＝－12. 故a ＝3，b ＝－12。

（2）由（1）知f （x ）＝2x 3＋3x 2
－12x ＋1， f ′（x ）＝6x 2＋6x －12＝6（x －1)（x ＋2)． x ,f ′（x ），f （x ）的变化情况如下表：
x （－∞，－2) －2
（－2，
1)
1 （1,＋∞) f ′(x ） ＋ 0 － 0 ＋ f (x ） ↗ 极大值 ↘
极小值
↗
∵f （－3）＝10, f (1）＝－6， ∵10 〉－6，。

∴所以f (x )在[－3，2]上的最小值为－6。

18．（本小题满分12分)已知函数ln ()x
f x x
=。

（1）求函数f （x ）的单调区间；
（2）已知R a b ∈、
，a b e >>(其中e 是自然对数的底数), 求证：a b b a >。

解：(1)ln ()x f x x =
, ∴21ln ()x
f x x
-'= ∴当x e >时,()0f x '<, ∴函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减。

当0〈x 〈e 时,()0f x '>, ∴函数()f x 在（0，e ）上是单调递增. ∴f （x ）的增区间是(0，e )， 减区间是(,)e +∞. （2）证明：∵0,0a b b a >>∴要证： a b b a >， 只需证：ln ln a b b a >。

只需证
ln ln b a
b a
>. （∵a b e >>） 由(1）得函数()f x 在(,)e +∞上是单调递减。

∴当a b e >>时,有()()f b f a >，即
ln ln b a
b a
>. 得证。

19．已知函数()ln a
f x x x
=+。

求f (x ）的单调区间和极值。

解析：()'221a x a
f x x x x
-=-=,x ∈（0,＋∞）。

①当a ≤0时，f ′(x ）〉0，f (x ）在（0，＋∞)为增函数，无极值。

②当a 〉0时，x ∈（0,a ）时，f ′(x )<0，f （x )在(0，a ）为减函数；
x ∈（a ，＋∞)时，f ′(x ）>0，f （x )在（a ,＋∞）为增函数，
f (x )在（0，＋∞)有极小值，无极大值,f (x ）的极小值f （a )＝ln a ＋1.
20．已知函数f （x )＝e x －x 2
＋2ax 。

(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x ）在点(1，f （1)）处的切线方程； （2)若f (x )在R 上单调递增,求实数a 的取值范围.
解析：(1）∵f ′(x )＝e x
－2x ＋2,∴f ′（1)＝e,又f (1)＝e ＋1， ∴所求切线方程为y －（e ＋1）＝e （x －1）,即e x －y ＋1＝0。

（2）f ′(x )＝e x
－2x ＋2a ，∵f (x )在R 上单调递增,∴f ′(x )≥0在R 上恒成立， ∴a ≥x －错误!在R 上恒成立，令g (x ）＝x －错误!， 则g ′（x ）＝1－错误!，令g ′（x ）＝0，则x ＝ln 2，
在（－∞，ln 2）上，g ′（x )>0；在（ln 2，＋∞)上,g ′（x )〈0，
∴g （x ）在（－∞,ln 2)上单调递增，在（ln 2，＋∞）上单调递减，
∴g （x )max ＝g （ln 2)＝ln 2－1，∴a ≥ln 2－1，∴实数a 的取值范围为[ln 2－1,＋∞)。

21．已知函数f (x )＝（2－a )x －2(1＋ln x )＋a ，若函数f （x ）在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，求实数a 的最小值。

解析：f （x ）＝（2－a )（x －1）－2ln x ，
令g （x ）＝（2－a ）(x －1)，x ＞0；h (x ）＝2ln x ，x ＞0,则f （x )＝g （x ）－h （x ),
①当a ＜2时，g （x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，h (x ）在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为增函数， 若f （x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则1122g h ⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即()11212ln 22a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭
， 即a ≥2－4ln 2，从而2－4ln 2≤a ＜2,
②当a ≥2时，在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上g （x )≥0，h (x )＜0，∴f (x ）＞0，故f （x )在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点． 综合①②可得得a ≥2－4ln 2,即a min ＝2－4ln 2。

22．已知()ln(1)()f x x ax a =+-∈R
（1）当1a =时，求()f x 在定义域上的最大值；
(2)已知()y f x =在[)+∞∈,1x 上恒有()0<x f ，求a 的取值范围;
解析:(1)当1a =时，()ln(1)f x x x =+-,()x
x x x f +-=-+=1111',所以()y f x =在()0,1-为
增函数，在()+∞,0为减函数,故当0=x 时，()x f 取最大值0。

（2）等价()x x a 1ln +>恒成立，设()()()()2'1ln 11ln x
x x x x g x x x g +-+=⇒+=， 设()()()()()
()10111111ln 122'≥<+-=+-+=⇒+-+=x x x x x x h x x x x h ， 所以()x h 是减函数，所以()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛>⇒><-=≤212402ln 211e e h x h ， 所以()x g 是减函数,()()1max g x g =，所以2ln >a
（也可用构造函数()1ln ,+==x y ax y 利用数形结合解答）
尊敬的读者：
本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文档在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

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