精品解析：山东省莱芜市2012届高三上学期期末检测数学(文)试题解析(学生版)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}4|{},30|{2≥∈=<<∈=x R x B x R x A ,则B A ⋂= A 。

{}02|<≤-x x B 。

{}32|<<x x C 。

{}32|<≤x x D.{}322|<≤-≤x x x 或
2.
复数
i
i
-12等于 A 。

i --1 B.i +-1 C 。

i -1 D 。

i +1
3.
阅读如图所示程序框图,为使输出的数据
为31，
则判断框中应填的是
A 。

4<n B.5<n C 。

6<n D.7<n
4.
已知向量m n ⋅的夹角为6
π，且|m|3,|n |2,|m n |=
=-=
A.1
B.2 C 。

3 D.4
5.
若点
M （y x ,）是平面区域⎪
⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤y
x y x 22
2
0内任意一点，点A （-1，2），则
z OM OA =⋅的最小值为
A.0
B.24-
C.2-2
D.4
6.
已知函数)(x f y =是奇函数，当0>x 时,,lg )(x x f =则))100
1
((f f 的值等于 A 。

2
lg 1
2
lg 1.-
B C.2lg D.-2lg
7.
若3
1)tan(-=-απ,则
αααα
2cos cos sin 22cos +的值为
A 。

3
8 B.5
8 C.15
8 D 。

7
8-
8.
正三角形一个顶点是抛物线)0(22>=p py x 的焦点，另两个顶点在抛物
线上，则满足此条件的正三角形共有
A.0个 B 。

1个 C 。

2个 D.4个
9.
若直线1-=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 两点，且 120=∠POQ （其中Q
为原点），则K 的值为 A.
3,3-
B.3,4-
C.
3，—1
D.1，—1
10.
已知数列{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，{}n b 是首项为1,公
比为2的等比数列，则数列{}n
b a 前10项的和等于
A 。

511 B.512 C. 1023 D.1033
11.
若点O 和点F
分别为椭圆15
92
2=+y x 的中心和左焦点，点
P 为椭圆上
任意一点,则OP FP ⋅的最小值为
A.4
11 B.3 C 。

8 D.15
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、
填空题：本大题共4个小题，每小题4分,共计16分.
13.若椭圆)0(12
22>=+a y a
x 与双曲线1222=-y x 有相同的焦点，则a= 。

14.
设等差数列{}n a 的公差.4,01d a d =≠若k a 是1a 与k a 2的等比中项，则k= .
15.
已知曲线1)(23+++=bx ax x x f 在点（)1(,1f ）处的切线斜率为3，且3
2=x 是
)(x f y =的极值点，则
a+b= 。

16.
关于)4
2sin(3)(π+=x x f 有以下命题：
①若,0)()(21==x f x f 则)(21Z k k x x ∈=-π； ②)(x f 图象与)4
2cos(3)(π-=x x g 图象相同；
③)(x f 在区间]8
3,8
7[ππ--上是减函数；
④)(x f 图象关于点)0,8
(π-对称.
其中正确的命题是 。

三、
解答题:本大题共6个小题.满分74分。

解答应写出文字说明、证
明过程或推演步骤。

17.
(本小题满分12分)
已知a>0且1≠a ，关于x 的不等式1<x a 的解集是{}0|<x x ，解关于x
的不等式0)1(log <-x
x a 。

20.
（本小题满
分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，⋯⋯=--==,2,1),1(,2
121n n n a n S a n n
（1）
证明：数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧+n S n
n 1是等差数列，并求n S ； （2）
设3
n
S b n n =,求证:1
2
1n
b b b ++⋯⋯+<.
21.
（本小题满分12分）
已知函数x x x f 2ln )(-=，（K 常数)
（1）求函数f （x)的单调区间；
（2）
若x x x f ln )(3+<恒成立，求K 的取值范围。

参考答案
由（1)得01
2>-x
x ,解得01<<-x 或1>x ； ………………7分
由(2）得012<--x x x ,解得2
5
1-<
x 或2
5
10+
<<x ； ………10分
∴原不等式的解集是)2
5
1,
1()2
5
1,1(+⋃-
-. ………12分
17.
解：(1）
5
3
sin ,54cos =∴=B B .
……………………
……2分 由正弦定理得
310
6
sin
,sin sin ==πa B b A a 可得. (4)
分
3
5=
∴a . ……………………6分 17.ABC
∆ 的面积5
3sin ,sin 2
1==B B ac S ，
10,310
3
==∴
ac ac 。

………………………8分
由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， ……………9分 得4=165
82222-+=-+c a ac c a ,即
2022=+c a 。

…………………………10分
椭圆E 的方程
为
12
22
=+x y …………6分
（2）
设与直线1PF 平行的直线
l :m x y +=
…………………………7分
⎪⎩
⎪⎨⎧+==+m x y x y 1
2
22
,消去y 得022322=-++m mx x …………… 8分
0)2(34)2(22=-⨯⨯-=∆m m ，即
3,32±==m m …………………………9分
要使点C 到直线1PF 的距离最远,则直线L 要在直线1PF 的下方，所以
3-=m
(10)
此时直线l 与椭圆E 的切点坐标为)3
3
2,33(-，
故C )3
3
2,33(
-为所求. …
12分
20.
证明：（I)由)1(2--=n n a n S n n 知，
当2≥n 时：)1()(12---=-n n S S n S n n n ， ……………1分 即)1()1(122-=---n n S n S n n n ， ∴11
11=--
+-n n S n n
S n
n ，对2≥n 成立。

…………………………3分
解：(1)由
kx x x f 2ln )(-=可得，k x
x f 21
)('-=
………1分
∵)(x f 的定义域为(0，+∞）,
∴当0≤k 时，021)('>-=k x
x f ,)(x f 在（0，+∞）是增函数. ………4分
当k>0时，由021>-k x
可得k x 21<，
∴f （x ）在（0，k 21）是增函数,在（k
21
，+∞）是减函数。

(7)
分
综上，当0≤k 时，f(x)的单调增区间是（0，+∞)；
当K 〉0时，f （x ）的单调增区间是（0，k
21）,单调减区间是
（
k
21
，+∞)。

……8分
（2）
由x x x f ln )(3+<恒成立，可得023>+kx x 恒成立，),0(+∞∈x 。

即32x kx ->，∴32x k ->恒成立。

……………10分 ∵2
0x -〈
∵0,02≥≥k k ……………11分 ∴K 的取值范围是[0，+∞） ……………12分 22解：（1）由已知，x=4不合题意。

设直线L 的方程为)4(-=x k y , 由已知，抛物线C 的焦点坐标为（1,0）， ……………1分 因为点F 到直线l 的距离为2，所以
21|3|2
=+k
k ， ……………3分
因为AB 中点的横坐标为2，故4242
=-k
bk
整理得k
k b 2
22-=。

由AB 中点的坐标为（2，2k+b ）
得AB 垂直平分线的方程为:)
2(1)2(--=+-x k
b k y （※）， ……12分
将k k b 2
22-=
代入方程（※）并化简整理得： 04=-+ky x
显然定点（4，0）。

线段AB 的垂直平分线恰过定点（4，0） ……………14分。