山西省朔州市平鲁区李林中学2021年高考数学数列多选题专项练习附答案

山西省朔州市平鲁区李林中学2021年高考数学数列多选题专项练习附答案
一、数列多选题
1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ） A ．a 6＞0 B ．24
37
d -
<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13
D ．数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中最小项为第7项
【答案】ABCD 【分析】
S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得24
7
-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫
⎨
⎬
⎩⎭
中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确． 【详解】 ∵S 12＞0，a 7＜0，∴
()
67122
a a +＞0，a 1+6d ＜0．
∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0， 又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴24
7
-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝
()
113132
a a +＝13a 7＜0．
∴S n ＜0时，n 的最小值为13．
数列n n S a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0．
对于：7≤n ≤12时，
n
n
S a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n
n
S a ＜0，但是随着n 的增大而增大．
∴n ＝7时，
n
n
S a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确． 故选：ABCD ． 【点评】
本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}
n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()22
2123222022210f f f f f f -+-=
C ．12320192688g g g g ++++=
D ．222
21232019201820202f f f f f f ++++=
【答案】AB 【分析】
由+2+1+n n n f f f =可得()2
+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计
算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：
12345678910111211,2,3,1,0,1,12310
g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，
所以数列{}
n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；
对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选
项错误；
对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，
所以()()2
2222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()2
2121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()2
2
2123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：
()2
12+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，
()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，
，
()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

所以222
21232019f f f f +++
+
()()()()122312343220182019201820172019202020192018+++++f f f f f f f f f f f f f f f f f f =----
20192020f f =，故D 选项错误；
故选：AB. 【点睛】
本题考查数列的新定义，关键在于运用数列的定义研究其性质用于判断选项，常常采用求前几项的值，运用归纳法找到规律，属于难度题.
3．设n S 是公差为()d d ≠0的无穷等差数列{}n a 的前n 项和，则下列命题正确的是（ ） A ．若0d <，则数列{}n S 有最大项 B ．若数列{}n S 有最大项，则0d <
C ．若对任意*n N ∈，均有0n S >，则数列{}n S 是递增数列
D ．若数列{}n S 是递增数列，则对任意*n N ∈，均有0n S > 【答案】ABC 【分析】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭，可看作关于n 的二次函数，由二次函数的性质逐个选项验证可得. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭， 选项A ，若0d <，由二次函数的性质可得数列{}n S 有最大项，故正确； 选项B ，若数列{}n S 有最大项，则对应抛物线开口向下，则有0d <，故正确； 选项C ，若对任意*n ∈N ，均有0n S >，对应抛物线开口向上，0d >， 可得数列{}n S 是递增数列，故正确；
选项D ，若数列{}n S 是递增数列，则对应抛物线开口向上， 但不一定有任意*n ∈N ，均有0n S >，故错误. 故选：ABC . 【点睛】
本题考查等差数列的求和公式的应用，()2111222n n n d d S na d n a n -⎛
⎫=+
=+- ⎪⎝
⎭可看成是二次函数，然后利用二次函数的性质解决问题，考查分析和转化能力，属于常考题.
4．两个等差数列{}n a 和{}n b ，其公差分别为1d 和2d ，其前n 项和分别为n S 和n T ，则下列命题中正确的是（ ）
A ．若
为等差数列，则1
12d
a =
B ．若{}n n S T +为等差数列，则120d d +=
C ．若{}n n a b 为等差数列，则120d d ==
D ．若*
n b N ∈，则{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d +
【答案】AB 【分析】
对于A ，利用=
对于B ，利用()2211332S T S T S T +=+++化简可得答案； 对于C ，利用2211332a b a b a b =+化简可得答案； 对于D ，根据112n n b b a a d d +-=可得答案. 【详解】
对于A ，因为
为等差数列，所以=
即== 化简得()2
1120d a -=，所以112d a =，故A 正确；
对于B ，因为{}n n S T +为等差数列，所以()2211332S T S T S T +=+++， 所以()11121111122223333a d b d a b a d b d +++=+++++， 所以120d d +=，故B 正确；
对于C ，因为{}n n a b 为等差数列，所以2211332a b a b a b =+， 所以11121111122()()(2)(2)a d b d a b a d b d ++=+++， 化简得120d d =，所以10d =或20d =，故C 不正确；
对于D ，因为11(1)n a a n d =+-，且*
n b N ∈，所以
11(1)n b n a a b d =+-()112111a b n d d =++--⎡⎤⎣⎦，
所以()()1111211n b a a b d n d d =+-+-，
所以()()()11111211112111n n b b a a a b d nd d a b d n d d +-=+-+-----12d d =， 所以{}
n b a 也为等差数列，且公差为12d d ，故D 不正确. 故选：AB 【点睛】
关键点点睛：利用等差数列的定义以及等差中项求解是解题关键.
5．已知数列{}n a ，{}n b 满足1n n n a a +-=，21n n n b a nb ⋅+=，且11a =，n S 是数列
{}n b 的前n 项和，则下列结论正确的有（ ）
A ．m +∃∈N ，55m m a a a +=+
B ．n +∀∈N ，
3331
4
n a n +≥
C ．m +∃∈N ，16m b =
D ．n +∀∈N ，
1
13
n S ≤< 【答案】BD 【分析】
用累加法得到22
2
n n n a -+=，代入21n n n b a nb ⋅+=，得11212n b n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭， 代入5m a +5m a a =+求出m 可判断A ；代入
33
n a n
+求最值可判断B ； 令1
121612m b m m ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
解出m 可判断C ；裂项相消后可求出n S 的范围可判断D.
【详解】
因为1n n n a a +-=，所以
211a a -= 322a a -=
11(2)n n n a a n -=-≥-
以上各式累加得
1121(1)2
n a a n n n =++
+-=
--，所以(1)
12n n n a -=
+，当1n =时，11a =成立， 所以2(1)2
122
n n n n a n --+=+=
，由21n n n b a nb ⋅+=，得112112(1)122
2(1)(2)12n n b a n n n n n n n n ⎛⎫=
===- ⎪
+++++⎝-+⎭+，
对于A ，()()5
254922
12
2
m a m m m m ++++++=
=，25(1)5(51)24
11222
m a a m m m m -⨯--+=+++=
+ ， 当5
5m m a a a +=+时，222492222
m m m m -+++=
，得15m +=∉N ，A 错误； 对于B
，(1)
1(133
33343411)2222
2n n n n a n n n n n ++==+=+-≥--+， 当且仅当268n =取等号，因为n +∀∈N ，所以8n =时，8
3331
84
a +=， 所以B 正确；
对于C，令
11
216
12
m
b
m m
⎛⎫
=-=
⎪
++
⎝⎭
得，2
15
30
8
m m
++=
，解得
m
+
=N
，所以C错误；
对于D，n+
∀∈N，
123
111111
2
233412
n
S b b b
n n
⎛⎫
=+++=-+-++-
⎪
++
⎝⎭
112
211
222
n n
⎛⎫
=-=-<
⎪
++
⎝⎭
，可以看出n S是关于n递增的，所以1
n=时有最小值
1
3
，所以
1
1
3n
S
≤<，D正确.
故选：BD.
【点睛】
本题考查了由递推数列求通项公式、裂项相消求数列和，关键点是用累加法求出n a，然后代入求出n b，考查了学生的推理能力、计算能力.
6．已知等差数列{}n a的前n项和为S n（n∈N*），公差d≠0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（）
A．a1=22 B．d=－2
C．当n=10或n=11时，S n取得最大值D．当S n>0时，n的最大值为20
【答案】BCD
【分析】
由等差数列的求和公式和通项公式，结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，求得等差数列的通项n a和n S，由二次函数的最值求法和二次不等式的解法可得所求值，判断命题的真假．
【详解】
等差数列{}n a的前n项和为n S，公差0
d≠，
由690
S=，可得
1
61590
a d
+=，即
1
2530
a d
+=，①
由7a是3a与9a的等比中项，可得2739
a a a
=，即2
111
(6)(2)(8)
a d a d a d
+=++，
化为1100
a d
+=，②
由①②解得
1
20
a=，2
d=-，
则202(1)222
n
a n n
=--=-，2
1
(20222)21
2
n
S n n n n
=+-=-，
由2
21441
()
24
n
S n
=--+，可得10
n=或11时，n S取得最大值110；
由0
n
S>，可得021
n
<<，即n的最大值为20．
【点睛】
方法点睛：数列最值常用的方法有：（1）函数（单调性）法；（2）数形结合法；（3）基本不等式法.要结合已知条件灵活选择合适的方法求解.
7．将()2
3n
n ≥个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：
11a 12a 13a ……1n a
21a 22a 23a ……2n a 31a 32a 33a ……3n a
……
1n a 2n a 3n a ……nn a
该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中0m >）.已知113a =，61131a a =+，记这2n 个数的和为
S .下列结论正确的有（ ）
A ．2m =
B ．7
67132a =⨯
C ．()1
212
j ij a i -=+⨯
D ．()()
221n
S n n =+-
【答案】ACD 【分析】
由题中条件113a =，61131a a =+，得23531m m +=+解得m 的值可判断A ；根据第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列可判断BC ；由等差数列、等比数列的前n 项和公式可判断D. 【详解】
由113a =，61131a a =+，得23531m m +=+，所以2m =或1
3
m =-（舍去），A 正确；
()666735132a m m =+=⨯，B 错误；
()()11
2132212j j ij a i i --=-+⨯=+⨯⎡⎤⎣⎦
，C 正确； ()()()111212122212n n n n nn S a a a a a a a a a =++++++++++++
1121(12)
(12)(12)121212
n n n nn a a a ---=++
+
--- ()()()11211332(1)21212n n
n n a a a n ++-⎛⎫=++
+-=⨯- ⎪⎝⎭
()()221n n n =+-，D 正确.
故选：ACD.
方法点睛：本题考查了分析问题、解决问题的能力，解答的关键是利用等比数列、等差数列的通项公式、求和公式求解，考查了学生的推理能力、计算能力.
8．已知数列{}n a ，{}n b 满足：12n n n a a b +=+，()*
13
12ln
n n n n b a b n N n
++=++∈，110a b +>，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．数列{}n n a b -单调递增
B ．数列{}n n a b +单调递增
C ．数列{}n a 单调递增
D ．数列{}n b 从某项以后单调递增
【答案】BCD 【分析】
计算221122ln 2a b a b a b -=--<-，知A 错误；依题意两式相加{}ln +-n n a b n 是等比数列，得到()1
113
ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，知B 正确；结合已知条件，计算
10n n a a +->，即得C 正确；先计算()11113ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-，再结合
指数函数、对数函数增长特征知D 正确. 【详解】
由题可知，12n n n a a b +=+①，13
1
2ln
n n n n b a b n ++=++②，①-②得，1131
ln
n n n n n a b a b n
+++-=--，当1n =时，2211ln 2a b a b -=--，∴2211-<-a b a b ，故A 错误．
①+②得，()113ln(1)3ln n n n n a b a b n n +++=+++-，
()11ln(1)3ln n n n n a b n a b n +++-+=+-，∴{}ln +-n n a b n 是以11a b +为首项，3为公比
的等比数列，∴()1
11ln 3
-+-=+⋅n n n a b n a b ，∴()1
113
ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，③又
110a b +>，∴B 正确．将③代入①得，
()()11113ln n n n n n n a a a b a a b n -+=++=++⋅+，∴()11113ln 0n n n a a a b n -+-=+⋅+>，
故C 正确．
将③代入②得，()()1
11133
11ln 3ln ln n n n n n n n n b b a b b a b n n n -+++=+++=++⋅++，∴()1
1113
ln(1)2ln n n n b b a b n n -+-=+⋅++-．由110a b +>，结合指数函数与对数函数
的增长速度知，从某个()*
n n N
∈起，()1
1
1
3
ln 0n a b n -+⋅->，又ln(1)ln 0n n +->，
∴10n n b b +->，即{}n b 从某项起单调递增，故D 正确． 故选：BCD ． 【点睛】
判定数列单调性的方法：
（1）定义法：对任意n *∈N ，1n n a a +>，则{}n a 是递增数列，1n n a a +<，则{}n a 是递减数列；
（2）借助函数单调性：利用()n a f n =，研究函数单调性，得到数列单调性.
9．（多选）设数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 是其前n 项和，10a >且69S S =，则（ ） A ．0d > B ．80a =
C ．7S 或8S 为n S 的最大值
D ．56S S >
【答案】BC 【分析】
根据69S S =得到80a =，再根据10a >得到0d <，可得数列{}n a 是单调递减的等差数列，所以7S 或8S 为n S 的最大值，根据6560S S a -=>得65S S >，故BC 正确. 【详解】
由69S S =得，960S S -=， 即7890a a a ++=，又7982a a a +=，
830a ∴=，80a ∴=，∴B 正确；
由8170a a d =+=，得1
7
a d =-
，又10a >，0d ∴<， ∴数列{}n a 是单调递减的等差数列，
(
)()
0,70,9
n n a n N n a n N n **
⎧>∈≤⎪∴⎨<∈≥⎪⎩， 7S ∴或8S 为n S 的最大值，∴A 错误，C 正确； 6560S S a -=>，65S S ∴>，所以D 错误.
故选：BC ． 【点睛】
关键点点睛：根据等差中项推出80a =，进而推出0d <是解题关键.
10．斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数
列”
，其通项公式n n
n a ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
，是用无理数表示有理数的一个范例，该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和，即21n n n a a a ++=+，记该数列
{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）
A ．10711S a =
B ．2021201920182a a a =+
C ．202120202019S S S =+
D ．201920201S a =-
【答案】AB 【分析】
选项A 分别求出710S a ，可判断，选项B 由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+可判断,选项C ，由202112342021S a a a a a =++++
+，
202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可判断.选项D.由
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-可判断.
【详解】
因为10143S =，711143a =，所以10711S a =，则A 正确；
由21n n n a a a ++=+，得()112n n n a a a n +-=+≥，相加得2n a +12n n a a -=+， 所以2021201920182a a a =+，所以B 正确； 因为202112342021S a a a a a =++++
+，202012S a a =+++2020a ，
两式错位相减可得202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，
所以2021202020191S S S =++，所以C 错误； 因为
()()()()()123324354652122
n n n n n S a a a a a a a a a a a a a a a a +++=+++
+=-+-+-+-++-=-21n a +=-，所以201920211S a =-，所以D 错误.
故选：AB. 【点睛】
关键点睛：本题考查数列的递推关系的应用，解答本题的关键是由
202112342021S a a a a a =+++++，202012S a a =+++2020a ，两式错位相减可得
202120201220192019101S S a a a S -=+++++=+，以及由递推关系可得
()()()()()324354652122n n n n S a a a a a a a a a a a a +++=-+-+-+-++-=-，属于中档题.。