高中数学 考点13 三角函数的图象与性质(含高考试题)新人教A版
考点13 y=sin(wx+φ)的图像与性质(解析版)
考点13 y=Asin(wx+ϕ)的图像与性质一、考纲要求1、了解三角函数的周期性，画出 y =sin x ， y =cos x ，y =tan x 的图像，并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ，2π ]，正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A ， ω ，φ 对函数图像变化的影响；能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图，能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 . 二、近五年江苏高考 1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点，对这部分内容的考查，高考中大多以中、低档题为主，主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题，要求学生熟练地掌握三角函数的图像，及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质，并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时，要重视化归思想的运用，即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理 三、考点总结：1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A ， ω ，φ 问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力。
2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
四、近五年江苏高考试题 1、（2018年江苏卷） 已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.详解：由题意可得，所以，因为，所以点睛：函数（A >0，ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间；由求减区间.2、（2017年江苏卷）已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π]．(1) 若a ∥b ，求x 的值；(2) 记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值． 解：(1) 因为a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，a ∥b ， 所以－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0，则sin x ＝0，与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾，故cos x ≠0.于是tan x ＝－33.又x ∈[0，π]，所以x ＝5π6. (2) f (x )＝a ·b ＝(cos x ，sin x )·(3，－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. 因为x ∈[0，π]，所以x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 从而－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 于是，当x ＋π6＝π6，即x ＝0时，f (x )取到最大值3；当x ＋π6＝π，即x ＝5π6时，f (x )取到最小值－2 3.易错警示 从－3cos x ＝3sin x 推得tan x ＝－33，必须明确说明cos x ≠0.3、（2016年江苏卷）定义在区间[0，3π]上的函数y ＝sin 2x 的图像与y ＝cos x 的图像的交点个数是________． 【答案】 7解法1 由题意得sin2x ＝cos x ，即2sin x cos x ＝cos x ，从而cos x ＝0或sin x ＝12，因为x ∈[0，3π]，所以x ＝π6，π2，5π6，3π2，13π6，17π6，5π2，共7个不同的解，故y ＝sin2x 与y ＝cos x 在[0，3π]上共有7个不同的交点．解法2 如图，在同一个坐标系中，分别作出函数y ＝sin2x 与y ＝cos x 的图像，根据它们的图像可得它们在[0，3π]上共有7个不同的交点．五、三年模拟题型一 三角函数的性质1、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1. 2、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ． 【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32c o s (±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！3、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.4、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 【答案】3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.5、(2017南通一调） 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x －π3的最小正周期为________． 【答案】2π3【解析】由三角函数周期公式得T ＝2π3.6、(2018镇江期末）函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像两相邻对称轴的距离为________． 【答案】π2【解析】由题知函数最小正周期T ＝2π2＝π.图像两相邻对称轴间的距离是最小正周期π的一半即π2.7、(2018苏北四市期末） 若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的图像与直线y ＝m 的三个相邻交点的横坐标分别是π6，π3，2π3，则实数ω的值为________．【答案】.4【解析】由题意得函数f(x)的最小正周期T ＝2π3－π6＝2πω，从而ω＝4.8、(2018苏锡常镇调研（二）） 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ． 【答案】2π【解析】根据题意可得1)2sin()2(=+=ϕπf ，则ππϕπk 222+=+，.Z k ∈可得ππϕk 223+-=，Z k ∈，又因为πϕ20<<，所以当且仅当1=k 时.2πϕ=9、(2017苏北四市期末） 若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωπx －π6(ω＞0)的最小正周期为15，则f ⎝⎛⎭⎫13的值为________． 【答案】－12【解析】因为函数f (x )的最小正周期为15，所以2πωπ＝15，ω＝10，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫10πx －π6，f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫10π3－π6＝sin196π＝sin 7π6＝－12. 10、(2017无锡期末） 设函数f (x )＝sin 2x －3cos x cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，则函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间为________．【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π3 【解析】 利用三角恒等变换公式将函数化为正弦型函数即可． f (x )＝1－cos2x 2＋3cos x sin x ＝12－12cos2x ＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋12. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，－π6≤x ≤π3，故f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调增区间是⎣⎡⎦⎤0，π3. 题型二 三角函数图像的变换1、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)， 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.解后反思 本题的关键是通过对直线与函数的图像分析，利用数形结合的思想将问题转化为函数图像的切线问题，然后利用导数的几何意义求解．2、(2018无锡期末）函数y ＝cos (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像向右平移π2个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图像重合，则φ＝________．【答案】π6【解析】函数y ＝cos (2x ＋φ)的图像向右平移π2个单位长度后所得图像的函数是y ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π2＋φ＝cos (2x －π＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋φ，由题意可得－π2＋φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，故φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π，所以当k ＝0时，φ＝π6.3、(2018苏州暑假测试） 将函数y ＝sin (2x ＋φ)(0<φ<π)的图像沿x 轴向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝f(x)的图像，若函数y ＝f(x)的图像过原点，则φ的值是________． 【答案】34π【解析】由题意，f(x)＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋φ，进而f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝0，又因为0<φ<π，所以φ＝34π. 易错警示 由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin (ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．4、（2018南通、泰州一调） 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度．若平移后得到的图像经过坐标原点，则φ的值为________．【答案】 π6解法1(代入特殊点) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ，因为函数图像过原点，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π3＝0，所以2φ－π3＝k π(k ∈Z )，则φ＝k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6. 解法2(函数的性质) 平移后的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为函数图像过原点，则函数为奇函数，所以π3－2φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝－k π2＋π6，又0<φ<π2，所以φ＝π6.5、(2017南京、盐城二模）将函数f (x )＝sin x 的图像向右平移π3个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图像，则函数y ＝f (x )＋g (x )的最大值为________． 【答案】 3【解析】化简，y ＝f (x )＋g (x )＝sin x ＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＋sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫x －π6－π6＝3sin x －π6，故y ∈[－3，3]．6.(2017南京、盐城一模）将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为偶函数，则φ＝________.【答案】5π12【解析】将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移φ0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数为y ＝3sin2(x －φ)＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2φ.因为所得的函数为偶函数，所以π3－2φ＝k π＋π2，解得φ＝－k π2－π12(k ∈Z )，因为0＜φ＜π2，所以k ＝－1，得φ＝5π12. 7、（2017镇江期末） 将函数y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图像关于y 轴对称，则φ＝________.【答案】 π8【解析】向左平移φ个单位长度后所得函数解析式为y ＝5sin ⎣⎡⎦⎤x ＋φ＋π4.因为其图像关于y 轴对称，所以2φ＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π8＋k π2，k ∈Z .又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π8.易错警示 由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再伸缩变换，平移的量是|φ|个单位长度；而先伸缩变换再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω＞0)个单位长度．原因在于相位变换和伸缩变换都是针对x 而言，即x 本身加减多少值，而不是依赖于ωx 加减多少值．题型三 三角函数的解析式1、(2018南京学情调研）若函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则f(－π)的值为________．【答案】 －1【解析】由题意，A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫π－π4×4＝3π＝2πω，即ω＝23，解得2π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π－π6，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以φ＝－π6，所以f (－π)＝2sin(－23π－π6)＝－1.解后反思 依图求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式的难点在于确定初相φ，其基本方法是利用特殊点，通过待定系数法、五点法或图像变换法来求解．2、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图像如图所示，直线x ＝π12，x ＝7π12是其相邻的两条对称轴．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 若f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，且2π3＜α＜7π6，求cos α的值． 【解析】 (1) 设f(x)的周期为T ，则T 2＝7π12－π12＝π2，所以T ＝π.又T ＝2πω，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin (2x ＋φ)．(3分)因为点⎝⎛⎭⎫π12，2在函数图像上，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2×π12＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝1. 因为－π2＜φ＜π2，即－π3<π6＋φ<2π3，所以φ＝π3，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.(7分) (2) 由f ⎝⎛⎭⎫α2＝－65，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－35. 因为2π3＜α＜7π6，所以π＜α＋π3＜3π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－45.(10分) 所以cos α＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α＋π3－π3＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3 sin π3＝－45×12＋⎝⎛⎭⎫－35×32＝－33＋410.(14分) 解后反思 一般地，处理三角恒等变换中“知值求值”问题，需要树立用“已知角表示所求角”的意识．故本题需把所求角α拆成已知角α＋π3和特殊角π3的差，进而用两角差的余弦公式求解，并注意求cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3时开方后正负号的取舍问题．3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数()π()sin 3f x A x ω=+（00A ω>>，）图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点π(3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若角α满足π()()12f αα+-=，(0π)α∈，，求角α的值．【解析】（1）由条件知：周期2πT =，即2π2πω=，所以1ω=，即()π()sin 3f x A x =+． …… 3分因为()f x 的图象经过点π(3，所以2πsin 3A =，所以1A =，所以()π()sin 3f x x =+． …… 6分（2）由π()()12f αα-=，得()()πππsin 1332αα+++-=， …… 8分即()()ππsin 133αα+-+=，所以()ππ2sin 133α⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦，即1sin 2α=． …… 12分 因为()0πα∈，，所以π6α=或5π6． …… 14分 【易错警示】这由1sin 2α=，求角α的值，会忽略(0π)α∈，的限制条件，出现少解或多解的错误现象.。
高考数学一轮复习 3.3 三角函数的图像性质课件 理 新人教A版
解析：(1)要使函数有意义必须有
sin x>0，
sin x>0，
cos
将 x－π4视为一个整体，由正弦函数 y＝sin x 的图象和性质可
知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ，k∈Z，
解得 2kπ＋4π≤x≤54π＋2kπ，k∈Z.
所以定义域为xπ4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z .(2)由已知得
sin x≥0 16－x2≥0
，∴2－kπ4≤≤xx≤≤π4＋2kπ，k∈Z
如图： ∴所求定义域为[－4，－π]∪[0，π]．
(3)y＝sin2x＋sin x－1，令 sin x＝t，则有 y＝t2＋t－1，t∈[－
1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当 t＝－12及 t
＝1 时，函数取最值，代入 y＝t2＋t－1 可得 y∈－54，1.
【答案】 (1)xπ4＋2kπ≤x≤54π＋2kπ，k∈Z －π]∪[0，π] (3)C
基础
知识回顾
感悟教材 · 学与思
(对应学生用书 P65)
1．周期函数 (1)周期函数的定义 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做 周期函数， T 叫做这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 ，那 么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
提示：y＝sin x 与 y＝cos x 的对称轴方程中的 x 都是它们取 得最大值或最小值时相应的 x，对称中心的横坐标都是它们的零 点．
考点
互动探究
核心突破 · 导与练
(对应学生用书 P66)
考点1 三角函数的定义域、值域 三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数
高中数学 三角函数正切函数的性质与图象讲义 新人教A版必修一第一册
5.4.3 正切函数的性质与图象知识点 函数y ＝tan x 的图象与性质 解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性 奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z 上都是增函数状元随笔 如何作正切函数的图象 (1)几何法就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．(2)“三点两线”法 “三点”是指⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1；“两线”是指x ＝－π2和x ＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线． [教材解难]1．教材P 209思考有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．2．教材P 210思考可以先考察函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．[基础自测]1．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数D ．y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 解析：由正切函数的图象可知D 正确． 答案：D2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π－π4，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z解析：由x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .答案：D3．已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，则函数f (x )的最小正周期为( )A.π4 B.π2C ．π D．2π解析：解法一 函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|，可得T ＝π|2|＝π2.解法二 由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.答案：B4．比较大小：tan 135°________tan 138°.(填“＞”或“＜”)解析：因为90°＜135°＜138°＜270°，又函数y ＝tan x 在区间(90°，270°)上是增函数，所以tan 135°＜tan 138°.答案：＜题型一 求函数的定义域 例1 求下列函数的定义域： (1)y ＝11＋tan x；(2)y ＝lg(3－tan x )． 【解析】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为 {xx ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z }.(2)要使y ＝lg(3－tan x )有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧3－tan x >0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪k π－π2<x <k π＋π3，k ∈Z. 求函数的定义域注意函数中分母不等于0，真数大于0，正切函数中的x≠k π＋π2 k∈Z等问题．方法归纳求正切函数定义域的方法求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z .而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．跟踪训练1 (1)函数y ＝1tan x的定义域为( ) A.{x |x ≠0}B ．{x |x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈ZD.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2，k ∈Z(2)求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． 解析：(1)函数y ＝1tan x 有意义时，需使⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≠0x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为{x {x ≠k π＋π2，且x ≠k π，k ∈Z}＝{x {x ≠k π2，k ∈Z }.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以所求函数的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．答案：(1)D (2)见解析 (1)分母不等于0(2)偶次根式被开方数大于等于0 (3)真数大于0(4)正切函数x≠k π＋π2，k∈Z题型二 正切函数的单调性及其应用 例2 求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调区间． 【解析】 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4. 由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k ∈Z )，得－π12＋k π3<x <π4＋k π3(k ∈Z )．所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋π4的单调递减区间为（－π12＋k π3，π4＋k π3）(k ∈Z )．状元随笔 先利用诱导公式将函数转化为y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4，再由－π2＋k π<3x －π4<π2＋k π(k∈Z)解出x 即可.方法归纳(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．跟踪训练2 本例(2)函数变为y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4，求该函数的单调区间．解析：y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π2<x <2k π＋32π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是（2k π－π2，2k π＋32π），k ∈Z .题型三 正切函数图象与性质的综合应用[教材P 212例6] 例3 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3的定义域、周期及单调区间． 【解析】 自变量x 的取值应满足 π2x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ， 即x ≠2k ＋13，k ∈Z .所以，函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k ＋13，k ∈Z .设z ＝π2x ＋π3，又tan(z ＋π)＝tan z ，所以tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3.因为∀x ∈{x |x ≠2k ＋13，k ∈Z }都有tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x ＋2)＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π3， 所以，函数的周期为2.由－π2＋k π＜π2x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z 解得－53＋2k ＜x ＜13＋2k ，k ∈Z . 因此，函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＋2k ，13＋2k ，k ∈Z 上单调递增.利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． 教材反思解答正切函数图象与性质问题应注意的两点(1)对称性：正切函数图象的对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，不存在对称轴．(2)单调性：正切函数在每个⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．跟踪训练3 设函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心； (2)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解析：(1)由x 2－π3≠π2＋k π(k ∈Z )．得x ≠5π3＋2k π(k ∈Z )．所以f (x )的定义域是{xx ≠5π3＋2k π，k ∈Z } 因为ω＝12，所以最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.由－π2＋k π<x 2－π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－π3＋2k π<x <5π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2k π，5π3＋2k π(k ∈Z )．由x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋23π(k ∈Z )，故函数f (x )的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋23π，0，k ∈Z .(2)由－1≤tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤3，得－π4＋k π≤x 2－π3≤π3＋k π(k ∈Z )，解得π6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )．所以不等式－1≤f (x )≤3的解集是{xπ6＋2k π≤x ≤4π3＋2k π，k ∈Z }. 由此不等式确定函数的单调区间是关键一步，也是易误点． 由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的范围确定x 2－π3的范围是本题的难点．思想方法 与三角函数相关的函数零点问题例 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32π，32π时，确定方程tan x －sin x ＝0的根的个数．【分析】 tan x －sin x ＝0的根即为tan x ＝sin x 的根，也就是y ＝tan x 与y ＝sinx 交点的横坐标，所以可根据图形进行分析．【解析】 在同一平面直角坐标系内画出y ＝tan x 与y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π2，3π2上的图象，如图，由图象可知它们有三个交点，∴方程有三个根．【点评】 数形结合思想，是高中数学的一类重要的数学思想方法，其核心是以形助数和以数析形．解决函数问题通常会用到数形结合的思想方法．课时作业 36一、选择题1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6的最小正周期为( ) A.π4 B.π2C ．π D．2π解析：方法一 函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接利用公式，可得T ＝π|－4|＝π4. 方法二由诱导公式可得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4x ＋π6－π＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋π6，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝f (x )，所以周期T ＝π4. 答案：A2．函数y ＝1tan x (－π4<x <π4)的值域是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：∵－π4<x <π4，∴－1<tan x <1，∴1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.答案：B3．已知a ＝tan 2，b ＝tan 3，c ＝tan 5，不通过求值，判断下列大小关系正确的是( ) A ．a >b >c B ．a <b <c C ．b >a >c D ．b <a <c解析：tan 5＝tan[π＋(5－π)]＝tan(5－π)，由正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上为增函数且π>3>2>5－π>π2可得tan 3>tan 2>tan(5－π)．答案：C4．函数y ＝3tan 2x 的对称中心为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2＋π4，0(k ∈Z ) D.()k π，0(k ∈Z )解析：令2x ＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，则函数y ＝3tan 2x 的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π4，0(k ∈Z )，故选B.答案：B 二、填空题 5．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋6x 的定义域为________．解析：由π4＋6x ≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π6＋π24(k ∈Z )．答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π6＋π24，k ∈Z6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________．解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以－3<y ≤3，所以值域为(－3，3]．答案：(－3，3]7．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期为________，图象的对称中心为________． 解析：最小正周期T ＝π2；由k π2＝2x －π4(k ∈Z )得x ＝k π4＋π8(k ∈Z )． ∴对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π4＋π8，0(k ∈Z )．答案：π2；⎝ ⎛⎭⎪⎫k π4＋π8，0(k ∈Z ) 三、解答题8．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．解析：由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠4π3＋2k π，k ∈Z，T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．9．不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： (1)tan 13π4与tan 17π5；(2)tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝⎛⎭⎪⎫－16π5.解析：(1)因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4<tan 2π5，即tan 13π4<tan 17π5.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0<π5<π4<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4>tan π5，所以－tan π4<－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.[尖子生题库]10．画出函数y ＝|tan x |的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性． 解析：由函数y ＝|tan x |得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，k π≤x <k π＋π2(k ∈Z )－tan x ，k π－π2<x <k π(k ∈Z )，根据正切函数图象的特点作出函数的图象，图象如图．11由图象可知，函数y ＝|tan x |是偶函数．函数y ＝|tan x |的单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2＋k π，k π，k ∈Z .。
高考数学解答题(新高考)三角函数的图象与性质(零点或根的问题)(典型例题+题型归类练)(解析版)
专题03 三角函数的图象与性质（零点或根的问题）(典型例题+题型归类练)一、必备秘籍()()sin f x A x k ωϕ=+=实根问题，换元法令t x ωϕ=+将函数()f x 化简为sin y A t =，在利用正弦函数sin t 的图象来解决交点（根，零点）的问题.二、典型例题例题1．（2022·河南驻马店·高一期中（文））已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像如图所示. (1)求函数()f x 的解析式； (2)设02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围.第（2）问思路点拨：本小题要求时，方程有两个根，求的取值范围,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，作出函数的图象，根据图象讨论的的个数.图象可知：与的图象在内有两个不同的交点时，，故实数的取值范围为.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)()1,2(1)显然2A =，又1121212T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，所以2ω=， 所以()()2sin 2f x x ϕ=+，又函数过点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2sin 06πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以()Z 6k k πϕπ-+=∈，又2πϕ<，所以6π=ϕ， 所以所求的函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)02x π<<，且方程()f x m =有两个不同的实数根，即()y f x =与y m =的图像在02x π<<内有两个不同的交点，令26t x π=+，则7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，作出函数2sin y t =的图像如下：由图像可知：2sin y t =与y m =的图像在7,66t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点时，12m <<，故实数m 的取值范围为()1,2.例题2．（2022·山东德州·高一期中）已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()1cos ,cos sin 2b x x x ωωω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()01ω<≤，函数()1f x a b =⋅+，直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[]0,x π∈时，讨论方程()0f x m -=的根的情况．【答案】(1)()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)答案见解析(1)已知()3sin ,sin cos a x x x ωωω=+，()()1cos ,cos sin 012b x x x ωωωω⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭，第（2）问思路点拨：本小题要求时，讨论方程的根的情况,可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则，则讨论方程的根的情况，转化为的根的情况.作出的图象.1．当或，即或时，有0个根； 2．当或，即或时，有1个根；3．当或，即或时，有2个根；4．当，即时，有3个根由图象可知则()12cos 21sin 2126f x x x x πωωω⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭， 由于直线6x π=是函数()f x 图像的一条对称轴．所以26f π⎛⎫= ⎪⎝⎭或0，所以2662k πππωπ⋅⋅+=+，()k ∈Z ，所以31k ω=+． 由于01ω<≤，所以，当0k =时，1ω=，所以()sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)由题意得sin 216x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，因为[]0,x π∈，所以132,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 令26u x π=+，13,66u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sin 1u m =-，如图．1．当11m ->或11m -<-，即0m <或2m >时，()f x 有0个根； 2．当11m -=或11m -=-，即0m =或2m =时，()f x 有1个根； 3．当1112m <-<或1112m -<-<，即322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；4．当112m -=，即32m =时，()f x 有3个根 综上，当0m <或2m >时，()f x 有0个根； 当0m =或2m =时，()f x 有1个根； 当322m <<或302m <<时，()f x 有2个根；32m =时，()f x 有3个根．例题3．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象. (1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间； (2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.第（2）问思路点拨：方程在上的根从小到大依次为，求的值.可采用换元法解答过程：由（1）知，令，由，则其中，；即，， ，，.根据图象作答转化为：方程在有个解，作出图象和问题转化作图象，找交点【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++= (1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z(2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=， 结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=； 即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=. 三、题型归类练1．（2022·河南驻马店·高一期中（理））已知点()()11,A x f x ，()()22,B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π． (1)求函数()f x 的解析式；(2)()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，求实数m 的取值范围．【答案】(1)()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；2m <.(1)角ϕ的终边经过点(1,P ，∴tan ϕ=∵02πϕ-<<，∴3πϕ=-，由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π， 得23T π=，即223ππω=，∴3ω=，∴()2sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)∵()y f x m =-在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的零点，即()y f x =与y m =的图象在0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内有两个不同的交点，令33t x π=-，由0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭， 即2sin y t =与y m =在2,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上有两个交点，2m <.2．（2022·辽宁·大连市第一中学高一期中）已知函数()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭的部分图像如图所示，若288AB BC π⋅=-，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有且仅有三个不同的零点1x ，2x ，3x ，（123x x x <<），求实数m 的取值范围，并求出123 cos (2)x x x ++的值．【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)m ⎡∈⎣，12(1)解：)()2cos cos 1f x xx x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，设函数()f x 的周期为T ，则,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则228888T AB BC π⋅=-=-，所以T π=．故22T ππω==，故1ω=， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．(2)由题意，函数()y f x m =-在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的零点，1x ，2x ，3x ，即曲线()y f x =与y m =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有三个不同的交点．设26t x π=+，当130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2sin y t =，7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m ⎡∈⎣，12t t π+=，233t t π+=，所以12324t t t π++=，即12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即123523x x x π++=， 所以12351cos(2)cos32π++==x x x ．3．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知函数()()2sin cos 23f x x x x π=+． (1)求函数f (x )的最小正周期T 及()1003f π的值；(2)若关于x 的方程()12f x a π+=在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个解，求实数a 的取值范围．【答案】(1)最小正周期π，(2)1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，.(1)解：()2sin cos 3f x x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x x ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x x =1sin22x x =1sin22x =T π=，100133sin 233323f f f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2)解：sin 22126f x a x a ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 23023662x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，设32,[,]662t x t πππ=+∈，所以sin 2t a =有两个解， 结合图像可知1212a ≤< 故1142a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，．4．（2022·山东潍坊·高一期中）已知函数()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数()y f x k =-在区间130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点12,x x ，求k 的取值范围，并求12x x +的值．【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；(2)k 的范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭，12x x +为53π或23π.(1)因为()33sin 26sin sin 644f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()3cos 223sin cos sin cos 2x x x x x x =++-()22cos 223sin c 3s 2o x x x x =+-cos 223cos 223x x x =- 63sin 2x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 令222262k x k πππππ-≤-≤+，k ∈Z ，则()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .(2)由题意，()0f x k -=在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个解12,x x ，即()y f x =与y k =在130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个交点，由130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,266x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 3sin ,,26y t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦的图象如下，由图知：k 的取值范围为()33,0,32⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭， 设3sin y t =与y k =在,26ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的两个交点的横坐标分别为12,t t ， 当33,2k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时12,t t 关于32t π=对称，即12,x x 关于56x π=对称，则1253x x π+=； 当()0,3k ∈时12,t t 关于2t π=对称，即12,x x 关于3x π=对称，则1223x x π+=； 综上，12x x +的值是53π或23π. 5．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图像，且()g x 为偶函数．(1)求函数()f x 和()g x 的解析式；(2)若对a ∀，[]0,b m ∈．当a b <时，都有()()()()f b f a g a g b ->-成立，求m 的取值范围；(3)若关于x 的方程()()f x g x k +=在130,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有四个不等实根1x ，2x ，3x ，()41234x x x x x <<<，求k 的取值范围和123422x x x x +++的值．【答案】(1)()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()cos2g x x =(2)012m π<≤.(3)32<k ，132π (1)由题意()sin 263g x f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()()g x g x -=，即sin 2sin 233x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫-++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，k Z ∈， 而2πϕ<，故0k =，6π=ϕ，()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭，()sin 2cos 22π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g x x x ． (2)对a ∀，[]0,b m ∈，a b <，都有()()()()f b f a g a g b ->-，()()()()f b g b f a g a +>+，设()()()h x f x g x =+，则()h x 在[]0,m 单调递增．又()()()3sin 2cos 22cos 22623h x f x g x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=++=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23u x π=+，则,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，y u =在,233u m ππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦递增， 故232m ππ+≤，012m π<≤．(3)()()()23h x f x g x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令23t x π=+，则14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则sint =恰有4个不等实根1t ，2t ，3t ，4t ，则32<k ，不妨设1234t t t t <<<， 函数()sin t t ϕ=，14,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与函数y =4个交点，如图所示（略），()sin t t ϕ=在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，35,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，79,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，57,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，914,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，1433ππϕϕ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭591222πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，37122ππϕϕ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 12322t t π+=，23522t t π+=，34722t t π+=，12342215t t t t π+++=， ()1234222215x x x x ππ++++=，123413222x x x x π+++=． 6．（2022·陕西·西安建筑科技大学附属中学高一阶段练习）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2 (1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=． 所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-， 所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈， 所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈． (2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象． 由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解， 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的简图如下：1,2．所以实数m的取值范围为[)。
高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图像习题课件 新人教A版必修4
(2)y＝|tanx|＝t－antxa，nx，x∈x[∈kπ（，kπkπ－＋π2π，2 ）kπ（]k（∈kZ∈）Z.）.
可作出其图像(如图)，由图像知函数 y＝|tanx|的单调递减区 π
间 为 (k π － 2 ， k π ](k∈Z) ， 单 调 递 增 区 间 为 [k π ， k π ＋ π 2 )(k∈Z)．
π 是[0，＋∞)；单调递增区间是[kπ，kπ＋ 2 )(k∈Z)；周期 T＝
π.
课后巩固
1．函数
y＝ta1nx(－π4
π <x< 4
)的值域是(
)
A．[－1，1]
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1]
D．[－1，＋∞)
答案 B
2．函数 y＝tanx＋sinx－|tanx－sinx|在区间(π2 ，3π2 )内的图 像大致是( )
π
⇒kπ－
x≠kπ＋ 2 （k∈Z）
2
<x<kπ＋
3
，
π
π
∴定义域为(kπ－ 2 ，kπ＋ 3 )(k∈Z)，值域为 R.
题型二 正切函数的奇偶性 例 2 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝tanx(－π4 ≤x<π4 )； (2)y＝xtan2x＋x4； (3)y＝sinx＋tanx.
【思路分析】 先分别求出各个函数的定义域，看是否关于原点
思考题 4 作出函数 y＝tanx＋|tanx|的图像，并求其定义 域、值域、单调区间及最小正周期．
【解析】 y＝tanx＋|tanx|＝ 2tanx，tanx≥0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z. 0，tanx<0，且x≠kπ＋π2 ，k∈Z.
其图像如图所示，
π
【走向高考】(2013春季发行)高三数学第一轮总复习 4-3三角函数的图象与性质 新人教A版
4-3三角函数的图象与性质基础巩固强化1.(文)(2011·大纲全国卷理)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( ) A.13 B ．3 C ．6 D ．9[答案] C[解析] 由题意知，π3＝2πω·k (k ∈Z )，∴ω＝6k ，令k ＝1，∴ω＝6.(理)(2012·浙江诸暨质检)函数f (x )＝sin2x ＋3cos2x 的图象可以由函数y ＝2sin2x 的图象经哪种平移得到( )A ．向左平移π12个单位B ．向左平移π6个单位C ．向右平移π12个单位D ．向右平移π6个单位[答案] B[解析] ∵f (x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin(2x ＋π3＝2sin2(x ＋π6)，∴f (x )的图象可以由函数y ＝2sin2x 向左平移π6个单位得到，故应选B.2．(文)(2012·福建文，8)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2 C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2[答案] C[解析] 本题考查了正弦型函数图象的对称轴问题． 函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的对称轴是 x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 当k ＝－1时，x ＝－π＋3π4＝－π4.[点评] 正弦(余弦)型函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点． (理)(2011·海淀模拟)函数f (x )＝sin(2x ＋π3)图象的对称轴方程可以为( ) A ．x ＝π12 B ．x ＝5π12 C ．x ＝π3D ．x ＝π6[答案] A [解析] 令2x ＋π3＝k π＋π2得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ， 令k ＝0得x ＝π12，故选A.[点评] f (x )＝sin(2x ＋π3)的图象的对称轴过最高点将选项代入检验，∵2×π12＋π3＝π2，∴选A. 3．(文)(2011·唐山模拟)函数y ＝sin(2x ＋π6)的一个递减区间为( ) A ．(π6，2π3) B ．(－π3，π6) C ．(－π2，π2) D ．(π2，3π2)[答案] A [解析] 由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2得， k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， 令k ＝0得，π6≤x ≤2π3，故选A.(理)(2012·新课标全国理，9)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 本题考查了三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及间接法解题．ω＝2⇒ωx ＋π4∈[5π4，9π4]不合题意，排除D ，ω＝1⇒(ωx ＋π4)∈[3π4，5π4]合题意，排除B ，C.4．(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值为( )A.23 B.32 C ．2 D ．3[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，∴T 4≤π3，即π2ω≤π3， ∴ω≥32，即ω的最小值为32.5．(文)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4 B ．ω＝π3，φ＝π6 C ．ω＝π4，φ＝π4 D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T 4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. (理)函数y ＝xsin xx ∈(－π，0)∪(0，π)的图象可能是下列图象中的( )[答案] C[解析] 依题意，函数y ＝xsin x，x ∈(－π，0)∪(0，π)为偶函数，排除A ，当x ∈(0，π)时，直线y ＝x 的图象在y ＝sin x 上方，所以y ＝xsin x>1，故选C.6．(文)(2011·课标全国文)设函数f (x )＝sin(2x ＋π4)＋cos(2x ＋π4)，则( ) A ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在(0，π2)单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 [答案] D[解析] f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝2cos2x . 则函数在⎝⎛⎫0，π2单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称． (理)(2011·河南五校联考)给出下列命题：①函数y ＝cos(23x ＋π2)是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β；④x ＝π8y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴方程；⑤函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象关于点(π12，0)成中心对称图形． 其中正确命题的序号为( ) A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．④⑤[答案] C[解析] ①y ＝cos(23x ＋π2)⇒y ＝－sin 23x 是奇函数；②由sin α＋cos α＝2sin(α＋π4)的最大值为2<32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③α，β是第一象限角且α<β.例如：45°<30°＋360°，但tan45°>tan(30°＋360°)，即tan α<tan β不成立； ④把x ＝π8代入y ＝sin(2x ＋5π4)得y ＝sin 3π2＝－1， 所以x ＝π8是函数y ＝sin(2x ＋5π4)的一条对称轴； ⑤把x ＝π12代入y ＝sin(2x ＋π3)得y ＝sin π2＝1， 所以点(π12，0)不是函数y ＝sin(2x ＋π3)的对称中心． 综上所述，只有①④正确．[点评] 作为选择题，判断①成立后排除B 、D ，再判断③(或④)即可下结论． 7．(文)函数y ＝cos x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－12，1]，则b －a 的最小值为________．[答案]2π3[解析] cos x ＝－12时，x ＝2k π＋2π3或x ＝2k π＋4π3，k ∈Z ，cos x ＝1时，x ＝2k π，k ∈Z .由图象观察知，b －a 的最小值为2π3.(理)(2011·江苏南通一模)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．[答案] 1[解析] f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin(ωx ＋π3)， 由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知，T 4＝π2，T ＝2π，所以ω＝1.8．已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在x ∈(π2，π)上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________．[答案] －2<m <－1[解析] m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝2sin(2x ＋π6)， ∵x ∈(π2，π)时，原方程有两个不同的实数根， ∴直线y ＝m 与曲线y ＝2sin(2x ＋π6)，x ∈(π2，π)有两个不同的交点，∴－2<m <－1.9．(2011·济南调研)设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈[－π2，0]，则x 0＝________. [答案] －π6[解析] ∵函数y ＝2sin(2x ＋π3)的对称中心是函数图象与x 轴的交点，∴2sin(2x 0＋π3)＝0， ∵x 0∈[－π2，0]∴x 0＝－π6.10．(文)(2011·北京文)已知函数f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为f(x)＝4cos x sin(x＋π6)－1＝4cos x(32sin x＋12cos x)－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6 )．所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.(理)(2011·天津南开中学月考)已知a＝(sin x，－cos x)，b＝(cos x，3cos x)，函数f(x)＝a·b＋32.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0≤x≤π2时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f(x)＝sin x cos x－3cos2x＋3 2＝12sin2x－32(cos2x＋1)＋32＝12sin2x－32cos2x＝sin(2x－π3)，所以f(x)的最小正周期为π.令sin(2x－π3)＝0，得2x－π3＝kπ，∴x＝kπ2＋π6，k∈Z.故所求对称中心的坐标为(kπ2＋π6，0)(k∈Z)．(2)∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －π3≤2π3. ∴－32x －π3)≤1，即f (x )的值域为[－32，1]. 能力拓展提升11.(文)(2011·苏州模拟)函数y ＝sin x ·|cos x sin xx <π)的图象大致是( )[答案] B[解析] y ＝sin x ·|cos xsin x|＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ，0<x <π20，x ＝π2－cos x ，π2<x <π.(理)(2011·辽宁文)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝( )A．2＋ 3 B. 3C.33D．2－ 3[答案] B[解析] 由图可知：T＝2×(38π－π8)＝π2，∴ω＝πT＝2，又∵图象过点(38π，0)，∴A·tan(2×38π＋φ)＝A·tan(34π＋φ)＝0，∴φ＝π4.又∵图象还过点(0,1)，∴A tan(2×0＋π4＝A＝1，∴f(x)＝tan(2x＋π4 )，∴f(π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan(π12＋π4)＝tanπ3＝ 3.12．(文)为了使函数y＝cosωx(ω>0)在区间[0,1]上至多出现50次最小值，则ω的最大值是( )A ．98π B.1972C ．99πD ．100π[答案] C[解析] 由题意至多出现50次最小值即至多需用4912个周期，∴992·2πω≥1，∴ω≤99π，故选C.(理)有一种波，其波形为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2的图象，若在区间[0，t ](t >0)上至少有2个波谷(图象的最低点)，则正整数t 的最小值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8 [答案] C[解析] ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的图象在[0，t ]上至少有2个波谷，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x 的周期T＝4，∴t ≥74T ＝7，故选C.13．(文)(2011·南昌调研)设函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈(－π2，π2))的最小正周期为π，且其图象关于直线x ＝π12对称，则在下面四个结论中：①图象关于点(π4，0)对称； ②图象关于点(π3，0)对称； ③在[0，π6上是增函数； ④在[－π6，0]上是增函数中， 所有正确结论的编号为________． [答案] ②④[解析] 由最小正周期为π得，2πω＝π，∴ω＝2；再由图象关于直线x ＝π12对称，∴2×π12＋φ＝π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π4时，f (π4)＝12≠0，故①错；当x ＝π3时，f (π3)＝0，故②正确；由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )得，k π－5π12≤x ≤k π＋π12，令k ＝0得，－5π12≤x ≤π12，故③错，④正确，∴正确结论为②④.(理)(2011·南京模拟)已知函数f (x )＝x sin x ，现有下列命题：①函数f (x )是偶函数；②函数f (x )的最小正周期是2π；③点(π，0)是函数f (x )的图象的一个对称中心；④函数f (x )在区间[0，π2]上单调递增，在区间[－π2，0]上单调递减．其中真命题是________(写出所有真命题的序号)． [答案] ①④[解析] ∵y ＝x 与y ＝sin x 均为奇函数，∴f (x )为偶函数，故①真；∵f (π2)＝π2，f (π2＋2π)＝π2＋2π≠π2， ∴②假；∵f (π2)＝π2，f (3π2)＝－3π2，π2＋3π2＝2π，π2＋(－3π2)≠0，∴③假；设0≤x 1<x 2≤π2，则f x 1f x 2＝x 1x 2·sin x 1sin x 2<1，∴f (x 1)<f (x 2)(f (x 2)>0)，∴f (x )在[0，π2]上为增函数，又∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[－π2，0]上为减函数，∴④真． 14．函数f (x )＝2a cos 2x ＋b sin x cos x 满足：f (0)＝2，f (π3)＝12＋32.(1)求函数f (x )的最大值和最小值；(2)若α、β∈(0，π)，f (α)＝f (β)，且α≠β，求tan(α＋β)的值．[解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝2，f π3＝12＋32，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，12a ＋34b ＝12＋32.解得a ＝1，b ＝2，∴f (x )＝sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π4)＋1， ∵－1≤sin(2x ＋π4)≤1， ∴f (x )max ＝2＋1，f (x )min ＝1－ 2. (2)由f (α)＝f (β)得，sin(2α＋π4＝sin(2β＋π4)．∵2α＋π4、2β＋π4∈(π4，9π4)，且α≠β， ∴2α＋π4＝π－(2β＋π4)或2α＋π4＝3π－(2β＋π4)， ∴α＋β＝π4或α＋β＝5π4，故tan(α＋β)＝1. 15．(文)(2011·长沙一中月考)已知f (x )＝sin x ＋sin(π2－x )． (1)若α∈[0，π]，且sin2α＝13，求f (α)的值；(2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． [解析] (1)由题设知f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin2α＝13＝2sin α·cos α>0，α∈[0，π]，∴α∈(0，π2)，sin α＋cos α>0. 由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43，得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝233. (2)由(1)知f (x )＝2sin(x ＋π4)，又0≤x ≤π， ∴f (x )的单调递增区间为[0，π4]． (理)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，向量m ＝(b,2a －c )，n ＝(cos B ，cos C )，且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)设f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －B 2＋sin ωx (ω>0)，且f (x )的最小正周期为π，求f (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值． [解析] (1)由m ∥n 得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， ∴b cos C ＋c cos B ＝2a cos B .由正弦定理得，sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin A cos B ， 即sin(B ＋C )＝2sin A cos B .又B ＋C ＝π－A ，∴sin A ＝2sin A cos B .又sin A ≠0，∴cos B ＝12.又B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由题知f (x )＝cos(ωx －π6)＋sin ωx ＝32cos ωx ＋32sin ωx ＝3sin(ωx ＋π6)， 由已知得2πω＝π，∴ω＝2，f (x )＝3sin(2x ＋π6)，当x ∈[0，π2]时，(2x ＋π6)∈[π6，7π6]， sin(2x ＋π6∈[－12，1]． 因此，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值 3. 当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－32. 16．(文)(2011·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝－1＋23sin x cos x ＋2cos 2x . (1)求f (x )的单调递减区间；(2)求f (x )图象上与原点最近的对称中心的坐标；(3)若角α，β的终边不共线，且f (α)＝f (β)，求tan(α＋β)的值． [解析] f (x )＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6， (1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2k ∈Z ) 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的单调减区间为[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )． (2)由sin(2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z )， 即x ＝k π2－π12(k ∈Z )， ∴f (x )图象上与原点最近的对称中心坐标是(－π12，0)． (3)由f (α)＝f (β)得： 2sin(2α＋π6)＝2sin(2β＋π6)， 又∵角α与β的终边不共线， ∴(2α＋π6＋(2β＋π6)＝2k π＋π(k ∈Z )，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z )，∴tan(α＋β)＝ 3. (理)(2011·浙江文)已知函数f (x )＝A sin(π3＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．[解析] (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6， 因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图象上，所以sin(π3＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，所以φ＝π6. (2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )．连接PQ ，在△PRQ 中，∠PRQ ＝23π，由余弦定理得，cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ ＝A 2＋9＋A 2－9＋4A 22A ·9＋A 2＝－12，解得A 2＝3 又A >0，所以A ＝ 3.1．(2012·河北郑口中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(x ＋φ)(A >0，－π2<φ<0)在x ＝5π6处取得最大值，则f (x )在[－π，0]上的单调增区间是( )A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π6] C ．[－π3，0] D ．[－π6，0] [答案] D[解析] ∵f (x )＝A sin(x ＋φ)在x ＝5π6处取得最大值，A >0，－π2<φ<0，∴φ＝－π3，∴f (x )＝A sin(x －π3)，由2k π－π2≤x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，令k ＝0得－π6≤x ≤0，故选D.2．(2011·长沙二模)若将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，与函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象重合，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.112D.233[答案] D[解析] y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴π4－π4ω＋2k π＝π3，∴ω＝8k －13(k ∈Z )，又∵ω>0，∴ωmin ＝233.3．(2011·北京大兴区模拟)已知函数f (x )＝3sinπxR图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x 2＋y 2＝R 2上，则f (x )的最小正周期为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] D[解析] f (x )的周期T ＝2ππR＝2R ，f (x )的最大值是3，结合图形分析知R >3，则2R >23>3，只有2R ＝4这一种可能，故选D.4．(2012·河北保定模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)与b ＝(cos θ，－sin θ)互相垂直，且θ为锐角，则函数f (x )＝sin(2x －θ)的图象的一条对称轴是直线( )A ．x ＝πB ．x ＝7π8 C ．x ＝π4D ．x ＝π2[答案] B[解析] a ·b ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos2θ＝0， ∵θ为锐角，∴θ＝π4，∴f (x )＝sin(2x －π4)． 由2x －π4＝k π＋π2得，x ＝k π2＋3π8令k ＝1得x ＝7π8 B.5.(2011·北京西城模拟)函数y ＝sin(πx ＋φ)(φ>0)的部分图象如图所示，设P 是图象的最高点，A ，B 是图象与x 轴的交点，则tan ∠APB ＝( )A ．10B ．8 C.87 D.47[答案] B[分析] 利用正弦函数的周期、最值等性质求解．[解析] 如图，过P 作PC ⊥x 轴，垂足为C ，设∠APC ＝α，∠BPC ＝β，∴∠APB ＝α＋β，y ＝sin(πx ＋φ)，T ＝2ππ＝2，tan α＝AC PC ＝121＝12，tan β＝BC PC ＝321＝32，则tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝12＋321－12×32＝8，∴选B.6．对任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，x 2>x 1，y 1＝1＋sin x 1x 1，y 2＝1＋sin x 2x 2，则( ) A ．y 1＝y 2 B ．y 1>y 2 C ．y 1<y 2D ．y 1，y 2的大小关系不能确定 [答案] B[解析] 取函数y ＝1＋sin x ，则1＋sin x 1x 1的几何意义为过原点及点(x 1,1＋sin x 1)的直线斜率，1＋sin x 2x 2的几何意义为过原点及点(x 2,1＋sin x 2)的直线斜率，由x 1<x 2，观察函数y ＝1＋sin x 的图象可得y 1>y 2.选B.7．(2011·菏泽模拟)对于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，sin x ≤cos xcos x ，sin x >cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值是－1； ③该函数的图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时，0<f (x )≤22其中正确命题的序号是________(请将所有正确命题的序号都填上) [答案] ③④[解析] 画出函数f (x )的图象，易知③④正确． 8．已知函数f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2(x －π12)(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． [解析] (1)f (x )＝3sin(2x －π6)＋1－cos2(x －π12)＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤32sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－12cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1 ＝2sin(2x －π3)＋1. 所以最小正周期为T ＝π.(2)当f (x )取最大值时，只要sin(2x －π3＝1，得出x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴x 值的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． [点评] 差异分析是解答数学问题的有效方法．诸如：化复杂为简单，异角化同角，异名化同名，高次化低次，化为一个角的同名三角函数的形式等等．。
数学人教A版(新课标)高中必修第一册 课后习题——三角函数的图象与性质(含答案)
数学人教A版（新课标）高中必修第一册课后习题——三角函数的图象与性质（含答案）《三角函数的图象与性质》课后习题复习巩固1．画出下列函数的简图：（1）y＝1－sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝3cos x＋1，x∈［0，2π］．2．求下列函数的周期：（1）y＝，x∈R；（2）y＝，x∈R．3．下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数，也不是偶函数？（1）y＝sin x；（2）y＝1－cos 2x；（3）y＝－3sin 2x；（4）y＝1＋2 tan x．4．求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x的集合，并求出最大值、最小值：（1），x∈R；（2），x∈R；（3），x∈R；（4），x∈R．5．利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin 103°15′与sin 164°30′；（2）与；（3）sin 508°与sin 144°；（4）与．6．求下列函数的单调区间：（1）y＝1＋sin x，x∈［0，2π］；（2）y＝－cos x，x∈［0，2π］．7．求函数的定义域．8．求函数，x≠（k∈Z）的周期．9．利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）与；（2）tan 1 519°与tan 1 493°；（3）与；（4）与．综合运用10．求下列函数的值域：（1）y＝sin x，x∈；（2）y＝．11．根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x的取值集合：（1）sin x≥（x∈R）；（2）＋2cos x≥0（x∈R）．12．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）．（A）y＝｜sin x｜（B）y＝cos x（C）y＝tan x（D）y＝13．若x是斜三角形的一个内角，写出使下列不等式成立的x的集合：（1）1＋tan x≤0；（2）tan x－≥0．14．求函数的单调区间．15．已知函数y＝f（x）是定义在R上周期为2的奇函数，若f（0.5）＝1，求f（1），f（3.5）的值．16．已知函数，x∈R，（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．在直角坐标系中，已知∈O是以原点O为圆心，半径长为2的圆，角x（rad）的终边与∈O的交点为B，求点B的纵坐标y关于x的函数解析式，并借助信息技术画出其图象．18．已知函数y＝f（x）的图象如图所示，（1）求函数的周期；（2）画出函数y＝f（x＋1）的图象；（3）写出函数y＝f（x）的解析式．19．容易知道，正弦函数y＝sin x是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案1．可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2．（1）3π （2）．3．（1）偶函数．（2）偶函数．（3）奇函数．（4）非奇非偶函数．4．（1）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝6k＋3，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝6k，k∈Z｝，最小值是．（2）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝，最大值是3；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋kπ，x∈Z｝，最小值是－3．（3）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z），最小值是．（4）使y取得最大值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最大值是；使y取得最小值的集合是｛x｜x＝＋4kπ，k∈Z｝，最小值是．5．（1）sin 103°15′＞sin 164°30′．（2）．（3）sin 508°＜sin 144°．（4）．6．（1）单调递增区间；单调递减区间．（2）单调递增区间［0，π］；单调递减区间［π，2π］．7．｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝．8．．9．（1）．（2）tan 1 519°＞tan 1 493°．（3）．（4）．10．（1）．（2）．11．（1）｛x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z）．（2）｛x｜＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z｝．12．A．13．（1）．（2）．14．单调递减区间，k∈Z．15．f（1）＝0，f（3.5）＝－1．16．（1）π．（2）最大值为，最小值为＝．17．y＝2sin x，图略．18．（1）2．（2）y＝f（x＋1）的图象如图所示．（3）y＝｜x－2k｜，x∈［2k－1，2k＋1］，k∈Z．提示：可先求出定义域为一个周期的函数y＝f（x），x∈［－1，1］的解析式为y＝｜x｜，x∈［－1，1］；再根据函数y＝f（x）的图象和周期性，得到函数y＝f（x）的解析式为y＝｜x－2k｜，x∈［2k－1，2k ＋1］，k∈Z．19．由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k∈Z．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是x＝＋kπ，k∈Z．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为（＋kπ，0），k∈Z，对称轴的方程是x＝－kπ，k∈Z；正切曲线的对称中心坐标为（，0），k∈Z，正切曲线不是轴对称图形．。
人教高中数学必修一A版《三角函数的图象与性质》三角函数说课复习(正、余弦函数的单调性与最值)
答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
栏目 导引
正、余弦函数的单调性 求下列函数的单调递减区间： (1)y＝12cos2x＋π3； (2)y＝2sinπ4－x.
第五章 三角函数
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(2)cos－78π＝cos 78π，
因为 0＜67π＜78π＜π，y＝cos x 在(0，π)上是减函数，
所以 cos
78π＜cos
6π 7.
所以 cos－78π＜cos 67π.
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第五章 三角函数
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(3)由于 sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
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cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，
又 0°＜14°＜70°＜90°，
而 y＝sin x 在0°，90°上单调递增， 所以 sin 14°＜sin 70°，－sin 14°＞－sin 70°，
即 sin 194°＞cos 160°.
所以－π2＋2kπ≤z≤π2＋2kπ，k∈Z.
即－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z.
所以－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z.
所以函数 y＝2sinπ4－x的单调递减区间是－π4＋2kπ，34π＋2kπ (k∈Z)．
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考点13 三角函数的图象与性质
一、选择题
1.(2015·四川高考文科·T5)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是 ( ) A.y=sin(2x+) B.y=cos(2x+)
C.y=sin2x+cos2x
D.y=sinx+cosx
【解题指南】把它们化为最简形式,符合“y=Asin2x ”形式的,就是答案.
【解析】选B. A:y=sin(2x+
2
π)=cos2x; B:y=cos(2x+2π)=-sin2x; C:y=sin2x+cos2x=2sin(2x+
4π); D:y=sinx+cosx=2sin(x+
4π). 只有B 选项符合要求.
2.(2015·四川高考理科·T4)下列函数中,最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是
( ) A.y=cos(2x+2π) B.y=sin(2x+2
π) C.y=sin2x+cos2x D.y=sinx+cosx
【解题指南】把它们化为最简形式,符合“y=Asin2x ”形式的就是答案.
【解析】选A. A:y=cos(2x+
2
π)=-sin2x; B:y=sin(2x+2π)=cos2x; C:y=sin 2x+cos2x=2sin(2x+
4π); D:y=sinx+cosx=2sin(x+
4
π). 只有A 选项符合要求.
二、填空题
间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得π
2ωω
≤ ,且()222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,
所以2ππ422
ωω+=⇒=
4.(2015·浙江高考理科·T11)函数f(x)=sin 2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,
单调递减区间是 .
【解题指南】先利用倍角公式化简f(x),再利用三角函数的性质求解.
【解析】21cos 213()sin sin cos 1sin 21sin(2)2242x f x x x x x x π-=++=
++-+,所以最小正周期为22T ππ==,由3222242
k x k πππππ+-+≤≤ (k ∈Z),解得 38k ππ+≤78x k ππ+≤ ,k ∈Z,所以单调递减区间为]87,83[ππππk k ++,k ∈Z. 23)42sin(22)(+-=πx x f ，故最小正周期为π，单调递减区间为]8
7,83[ππππk k ++，Z k ∈
答案:π， ]8
7,83[ππππk k ++,k ∈Z 5.(2015·浙江高考文科·T11)函数f(x)=sin 2x+sin xcos x+1的最小正周期是 ,
最小值是 .
【解题指南】根据倍角公式化简,依据三角函数的性质求解.
【解析】()211cos 2113sin sin cos 1sin 21sin 2cos 222222x f x x x x x x x -=++=++=-+；
min 3()22
f x =-
答案: π 32
间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为 .
【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得
π
2ωω≤ ,且(
)222πsin cos sin 14f ωωωω⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭,
所以2ππ422ωω+
=⇒=
【答案】2
三、解答题
7. (2015·北京高考理科·T15)(13分)
已知函数2()cos 222
x x x f x =。
（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求(x)f 在区间[,0]π- 上的最小值。
【解析】（1
）1cos ()sin ()22222
x f x x x x -==+- =
sin()4x π+ ，最小正周期为2π 。
（2）由[,0]x π∈- 得3[,]444x π
ππ+∈- 。
当42x ππ+=- ，即34
x π=- 时，()f x 取
最小值12
-- 。
8. (2015·北京高考文科·T15)(13分)已知函数
sin 22
x . (1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间[0,23
π ]上的最小值. 【解题指南】(1)先化成正弦型函数,再求最小正周期.(2)把x+
3π看作一个整体,求出其范围,再求最小值.
【解析】
=2sin(x+
3
π
,所以最小正周期为2π. (2)当x ∈[0, 23π]时,x+3π∈[3
π,π]. 所以当x+3π=π,即x=23π时取最小值
9 .(2015·天津高考理科·T15)(本小题满分13分)已知函数
()22sin sin 6f x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,x ∈R.
(1)求f(x)的最小正周期.
(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.
【解析】(1)由已知,有
1cos(2)1cos 23()22x x f x π
---=-
=111cos 22cos 22222x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭
112cos 2sin 24426x x x π⎛⎫=
-=- ⎪⎝⎭
所以，()f x 的最小正周期T=22ππ=.
(2)因为f(x)在区间[-,-]上是减函数,在区间[-,]上是增函数,f(-)=-, f(-)=-,f()=.所以,f(x)在区间[-,]上的最大值为,最小值为-.。