中考数学第六章 实数知识归纳总结及解析

中考数学第六章 实数知识归纳总结及解析
一、选择题
1．下列式子正确的是（ ）
A ．25＝±5
B ．81＝9
C ．2(10)-＝﹣10
D ．±9＝3 2．计算：122019(1)(1)(1)-+-+
+-的值是（ ） A ．1-
B ．1
C ．2019
D ．2019- 3．下列各数中，比-2小的数是（ ）
A ．-1
B ．-5
C ．0
D ．1 4．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a b c ++就是完全对称式(代数式中a 换成b ，b 换成a ，代数式保持不变).下列三个代数式：①2
()a b -；②ab bc ca ++；③222a b b c c a ++．其中是完全对称式的是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 5．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③﹣
2π不仅是有理数，而且是分数；④237
是无限不循环小数，所以不是有理数；⑤无限小数不一定都是有理数；⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数；⑦非负数就是正数；⑧正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；其中错误的说法的个数为（ ）
A ．7个
B ．6个
C ．5个
D ．4个 6．已知122=，224=，328=，4216=，5232=，……，根据这一规律，20192的个位数字是（ ）
A ．2
B ．4
C ．8
D ．6
7．下列实数中的无理数是（ ）
A ． 1.21
B ．38-
C ．33-
D ．227
8．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A ．|a|＞|b|
B ．|ac|=ac
C ．b ＜d
D ．c+d ＞0
9．如图，数轴上的点A ，B ，O ，C ，D 分别表示数-2，-1，0，1，2，则表示数25-的点P 应落在( )
A ．线段A
B 上 B ．线段BO 上
C ．线段OC 上
D ．线段CD 上
10．下列各组数中互为相反数的是（ ）
A ．32(3)-
B ．﹣|2|2）
C ．﹣38和38-
D ．﹣2和12
二、填空题
11．如图所示，把半径为2个单位长度的圆形纸片放在数轴上，圆形纸片上的A 点对应原点，将圆形纸片沿着数轴无滑动地逆时针滚动一周，点A 到达点A′的位置，则点A′表示的数是_______．
12．观察下面两行数：
2，4，8，16，32，64…①
5，7，11，19，35，67…②
根据你发现的规律，取每行的第8个数，并求出它们的和_______（要求写出最后的计算结果）．
13．已知M 是满足不等式36a <<N 是满足不等式x 372
-的最大整数，则M ＋N 的平方根为________．
1464___________．
15．若()2320m n ++-=，则m n 的值为 ____.
16．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____． 17116
的算术平方根为_______． 18．规定用符号[]x 表示一个实数的整数部分，如[3.65]3,31⎡==⎣，按此规定
113⎡=⎣_____． 19．
1111111111112018201920182019202020182019202020182019⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++----+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．
20．11133+=112344+=113455
+=，……请你将发现的规律用含自然数n （n≥1）的等式表示出来__________________．
三、解答题
21．先阅读第()1题的解法，再解答第()2题：
()1已知a ，b 是有理数，并且满足等式253a 2b 3a 3
=+，求a ，b 的值．
解：因为
2
53a2b3a
3
-
=+-
所以()
2
53a2b a3
3
-=-+
所以
2b a5
2
a
3
-=
⎧
⎪
⎨
-=
⎪⎩
解得
2
a
3
13
b
6
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
()2已知x，y是有理数，并且满足等式2x2y2y1742
--=-，求x y
+的值．22．如图，用两个面积为2
200cm的小正方形拼成一个大的正方形．
（1）则大正方形的边长是___________；
（2）若沿着大正方形边的方向裁出一个长方形，能否使裁出的长方形纸片的长宽之比为5：4，且面积为2
360cm？
23．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘．
你知道怎样迅速准确的计算出结果吗？请你按下面的问题试一试：
①33
10001000000100
==，又1000593191000000
<<，
3
1059319100
∴<<，∴能确定59319的立方根是个两位数．
②∵59319的个位数是9，又39729
=，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
③如果划去59319后面的三位319得到数59，
333
275964
<<3
3594
<<，可得3
305931940
<<，
由此能确定59319的立方根的十位数是3
因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数195112，按这种方法求立方根，请完成下列填空．
①它的立方根是_______位数．
②它的立方根的个位数是_______．
③它的立方根的十位数是__________．
④195112的立方根是________．
（2）请直接填写
．．．．结果：
313824=________．
3175616=________．
24．探究：
()()()
211132432222122222222-=⨯-⨯=-=
=-=
= …… （1）请仔细观察，写出第5个等式；
（2）请你找规律，写出第n 个等式；
（3）计算：22018201920202222-2++⋅⋅⋅++．
25．观察下列各式，回答问题
21131222-
=⨯， 21241333-
=⨯ 21351444
-=⨯ …．
按上述规律填空：
（1）211100-＝ × ，2
112005-＝ × ， （2）计算：21(1)2-⨯21(1)...3-⨯21(1)2004-⨯21(1)2005-＝ ． 26．（1
）计算：321|2(2)-++-；
（2）若21x -的平方根为2±，21x y +-的立方根为2-，求2x y -的算术平方根．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据平方根、算术平方根的定义求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】
A
5，故选项A 错误；
B
9，故选项B 正确；
C
＝10，故选项C 错误；
D
、＝±3，故选项D 错误．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查平方根和算术平方根，解题的关键是掌握平方根和算术平方根的定义与性质．
2．A
解析：A
【分析】
根据题意，1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，然后两个加数作为一组和为0，即可得到答案.
【详解】
解：∵1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1，
∴122019(1)(1)(1)-+-++-
=1234201720182019[(1)(1)][(1)(1)][(1)(1)](1)-+-+-+-+
+-+-+- =2019(1)-
=1-；
故选：A.
【点睛】
本题考查了数字规律性问题，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握1-的奇数次幂等于1-，1-的偶数次幂等于1.
3．B
解析：B
【分析】
根据正数大于零，零大于一切负数，两个负数比大小，绝对值越大负数反而小，可得答案
【详解】
解：1＞0＞-1，|＞|-2|＞-1 ，
∴-2＜-1，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了实数大小比较，利用负数的绝对值越大负数反而小是解题关键．
4．A
解析：A
【分析】
在正确理解完全对称式的基础上，逐一进行判断，即可得出结论．
【详解】
解：根据信息中的内容知，只要任意两个字母交换，代数式不变，就是完全对称式，则：①（a-b ）2=（b-a ）2；是完全对对称式．故此选项正确．
②将代数式ab+bc+ca 中的任意两个字母交换，代数式不变，故ab+bc+ca 是完全对称
式， ab+bc+ca 中ab 对调后ba+ac+cb ，bc 对调后ac+cb+ba ，ac 对调后cb+ba+ac ，都与原式一样，故此选项正确；
③a 2b+b 2c+c 2a 若只ab 对调后b 2a+a 2c+c 2b 与原式不同，只在特殊情况下（ab 相同时）才会与原式的值一样
∴将a 与b 交换，a 2b+b 2c+c 2a 变为ab 2+a 2c+bc 2．故a 2b+b 2c+c 2a 不是完全对称式．故此选项错误，
所以①②是完全对称式，③不是
故选择：A ．
【点睛】
本题是信息题，考查了学生读题做题的能力．正确理解所给信息是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案．
【详解】
解：①没有最小的整数，所以原说法错误；
②有理数包括正数、0和负数，所以原说法错误； ③﹣
2
π是无理数，所以原说法错误； ④237
是无限循环小数，是分数，所以是有理数，所以原说法错误； ⑤无限小数不都是有理数，所以原说法正确；
⑥正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，所以原说法正确；
⑦非负数就是正数和0，所以原说法错误； ⑧正整数、负整数、正分数、负分数和0统称为有理数，所以原说法错误；
故其中错误的说法的个数为6个．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点是解题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
6．C
解析：C
【分析】
通过观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…知，他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…因为2019÷4＝504…3，所以20192的个位数字与32的个位数字相同是8．
【详解】
解：仔细观察122=，224=，328=，4216=，，5232=…；可以发现他们的个位数是4个数一循环，2，4，8，6，…
∵2019÷4＝504…3，
∴2019
2的个位数字与32的个位数字相同是8．
故答案是：8．
【点睛】
本题考查了尾数特征，解题的关键是根据已知条件，找出规律：2的乘方的个位数是每4个数一循环，2，4，8，6，…．
7．C
解析：C
【分析】
无限不循环小数是无理数，根据定义解答.
【详解】
=1.1是有理数；
，是有理数；
是无理数；
D. 22
7
是分数，属于有理数，
故选：C.
【点睛】
此题考查无理数的定义，熟记定义是解题的关键.
8．B
解析：B
【分析】
先弄清a,b,c在数轴上的位置及大小，根据实数大小比较方法可以解得.
【详解】
从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故选项正确；
B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；
C、b＜d，故选项正确；
D、d＞c＞1，则c+d＞0，故选项正确．
故选B.
【点睛】
本题考核知识点：实数大小比较. 解题关键点：记住数轴上右边的数大于左边的数;两个负数，绝对值大的反而小.
9．B
解析：B
【分析】
【详解】
由被开方数越大算术平方根越大，得由不等式的性质得：故选B.【点睛】
本题考查了实数与数轴，无理数大小的估算,解题的关键正确估算无理数的大小.
10．B
解析：B
【分析】
根据相反数的定义，找到只有符号不同的两个数即可．
【详解】
解：A3，3
B、﹣||，﹣||）两数互为相反数，故本选项正确；
C22
D、﹣2和1
2
两数不互为相反数，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】
考查了相反数的定义：要知道，只有符号不同的两个数互为相反数．
二、填空题
11．-4
【解析】
解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．
解析：-4π
【解析】
解：该圆的周长为2π×2=4π，所以A′与A的距离为4π，由于圆形是逆时针滚动，所以A′在A的左侧，所以A′表示的数为-4π，故答案为-4π．
12．515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
【详解】
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8
解析：515
【分析】
由已知条件可得：①中各数都符合2n的形式，②中各数比①中对应数字大3，按此规律即可求得①、②中第8个数的值，再求和即可．
根据题意可知，①中第8个数为28=256；②第8个数为28+3=259，
故它们的和为256+259=515，
故答案为：515．
【点睛】
考查了要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，解题关键是找出①②中各数间的规律．
13．±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．
【详解】
解：∵M是满足不等式－的所有整数a的和，
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x≤的
解析：±2
【分析】
首先估计出a的值，进而得出M的值，再得出N的值，再利用平方根的定义得出答案．【详解】
<<a的和，
解：∵M a
∴M＝－1＋0＋1＋2＝2，
∵N是满足不等式x
∴N＝2，
∴M＋N＝±2．
故答案为：±2．
【点睛】
此题主要考查了估计无理数的大小，得出M，N的值是解题关键．
14．2
【分析】
的值为8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
解：，8的立方根是2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题
解析：2
【分析】
8，根据立方根的定义即可求解．
【详解】
，8的立方根是2，
8
故答案为：2．
【点睛】
本题考查算术平方根和立方根的定义，明确算术平方根和立方根的定义是解题的关键．15．【分析】
根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．【详解】
由题意得，m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，mn=（-3）2=9．
故答案为9．
【
解析：【分析】
根据非负数的性质列式求出m、n的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】
由题意得，m+3=0，n-2=0，
解得m=-3，n=2，
所以，m n=（-3）2=9．
故答案为9．
【点睛】
此题考查绝对值和算术平方根非负数的性质，解题关键在于掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
16．5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．【分析】
利用算术平方根的定义计算得到的值，求出的算术平方根即可．．
【详解】
∵，，
∴的算术平方根为；
故答案为：.
【点睛】
此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键． 解析：12
【分析】
14=的值，求出14的算术平方根即可．． 【详解】
14=12
=，
的算术平方根为12； 故答案为：
12
. 【点睛】 此题考查了算术平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
18．-3
【分析】
先确定的范围，再确定的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵3＜＜4
∴-3＜＜-2
∴-3
故答案为-3．
【点睛】
本题考查了无理数整数部分的有关计算，确定的范围是解答本
解析：-3
【分析】
1⎡⎣的范围，然后根据题意解答即可．
【详解】
解：∵34
∴-3＜1--2
∴1⎡=⎣-3
故答案为-3．
【点睛】
19．【分析】
设，代入原式化简即可得出结果.
【详解】
原式
故答案为：.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，设将式子进行合理变形是解题的关键. 解析：12020
【分析】 设1120182019
m =
+，代入原式化简即可得出结果. 【详解】 原式()111120202020m m m m ⎛
⎫⎛⎫=-+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221202*********
m m m m m m =-+
--++ 12020= 故答案为：
12020
. 【点睛】 本题考查了整式的混合运算，设1120182019m =
+将式子进行合理变形是解题的关键. 20．【分析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找
(1)n n =+≥ 【分析】
=(2=+
(3=+n(n ≥1)的等式表示出来是
(1)n n =+≥ 【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n ≥1)的等式表示出来是
(1)n n =+≥
(1)n n =+≥ 【点睛】
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n 表示的等式即可．
三、解答题
21．x y 9+=或x y 1+=-.
【分析】
利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同，建立方程组，然后解方程即可．
【详解】
因为2x 2y 17--=-
所以()
2x 2y 17-=- 所以2x 2y 17
y 4-=⎧=⎨⎩
， 解得{x 5y 4==或{x 5
y 4=-=，
所以x y 9+=或x y 1+=-.
【点睛】
本题是一个阅读题目，主要考查了实数的运算，其中关键是理解解方程组的思路就是消元.对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题．
22．（1）20cm ；（2）不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形，理由详见解析
【分析】
（1）根据已知得到大正方形的面积为4002cm ，求出算术平方根即为大正方形的边长； （2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，根据面积列得54360x x ⋅=，求出
x =520x =>，由此判断不能裁出符合条件的大正方形.
【详解】
（1）∵用两个面积为2200cm 的小正方形拼成一个大的正方形，
∴大正方形的面积为4002cm ，
20cm =
故答案为：20cm ；
（2）设长方形纸片的长为5xcm ，宽为4xcm ，
54360x x ⋅=，
解得：x =
520x =>，
答：不能剪出长宽之比为5：4，且面积为2360cm 的大长方形.
【点睛】
此题考查利用算术平方根解决实际问题，利用平方根解方程，正确理解题意是解题的关键.
23．（1）①两；②8；③5；④58；（2）①24；②56．
【分析】
（1）①根据例题进行推理得出答案；
②根据例题进行推理得出答案；
③根据例题进行推理得出答案；
④根据②③得出答案；
（2）①先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论； ②先判断它的立方根是几位数，再判断个位、十位上的数字，即可得到结论.
【详解】
（1）①31000100==，10001951121000000<< ，
∴10100<<，
∴能确定195112的立方根是一个两位数，
故答案为：两；
②∵195112的个位数字是2，又∵38512=，
∴能确定195112的个位数字是8，
故答案为：8；
③如果划去195112后面三位112得到数195，
<<
∴56<<，
可得5060<<，
由此能确定195112的立方根的十位数是5，
故答案为：5；
④根据②③可得：195112的立方根是58，
故答案为：58；
（2）①13824的立方根是两位数，立方根的个位数是4，十位数是2，
∴13824的立方根是24，
故答案为：24；
②175616的立方根是两位数，立方根的个位数是6，十位数是5，
∴175616的立方根是56，
故答案为：56.
【点睛】
此题考查立方根的性质，一个数的立方数的特点，正确理解题意仿照例题解题的能力，掌握一个数的立方数的特点是解题的关键.
24．（1）655552222122-=⨯-⨯=；（2）12222122n n n n n +--=⨯⨯=；（3）-2
【分析】
（1）直接根据规律即可得出答案；
（2）根据前3个式子总结出来的规律即可求解；
（3）利用规律进行计算即可．
【详解】
解（1）26﹣25＝2×25﹣1×25＝25 ，
（2）2n +1﹣2n ＝2×2n ﹣1×2n ＝2n ，
（3）21+22+…+22018+22019﹣22020＝21+22+…+22018+（22019﹣22020）＝21+22+…+22018﹣22019＝21+22+…+22017+（22018﹣22019）＝…＝21﹣22＝-2．
【点睛】
本题主要考查有理数的运算与规律探究，找到规律是解题的关键．
25．（1）
99101100100⨯，2004200620052005⨯；（2）10032005. 【分析】
(1)观察已知等式可知等式右边为两个分数的积,其分母相等且与等式左边分母的底数相等，分子一个比分母小1,一个比分母大1,由此填空
(2)根据(1)发现的规律将每个括号部分分解为两个分数的积再寻找约分规律.
【详解】
解：（1）211100-＝99101100100⨯，2112005-＝2004200620052005
⨯． （2）2112⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 211 (3)
⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 2112004⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭ 2112005⎛⎫- ⎪⎝⎭
＝
1322⨯ ×2433⨯ ×…×2003200520042004⨯×2004200620052005⨯ ＝
12×20062005． ＝10032005
．． 【点睛】
本题考查的是有理数的运算能力,关键是根据已知等式由特殊到一般得出分数的拆分规律和约分规律.
26．（1
1；（2
【分析】
（1）根据立方根、绝对值、乘方进行运算即可；
（2）利用平方根、立方根的定义求出x 、y 的值，再利用算术平方根的定义即可解答
【详解】
解：（1）原式
=1334-+-++
=
（2）∵21x -的平方根为2±，21x y +-的立方根为2-
∴2x 142x y 18-=⎧⎨+-=-⎩
∴5x 2y 12
⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ∴52=2+12=172
-⨯x y ∴2x y -
【点睛】
本题考查了绝对值、乘方、平方根、立方根、算术平方根的定义，解题的关键是掌握计算的方法，准确的进行化简求值.。