高一(下)周末数学不等式证明培训资料(学生卷)

专题十：均值不等式和不等式的证明选讲
一、基础梳理
1．常用的基本不等式和重要的不等式：
（1
”号； （2
（3
2
n 个正数的均值不等式：n
n n a a a n
a 2121≥。

3．四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之
间的关系是：
（1）比较法：作差比较：B A B A ≤⇔≤-0；作商比较：
1,0A
B A B B
>>⇒>。

作差（商）比较的步骤： ①作差（商）：对要比较大小的两个数（或式）作差（商）；
②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和（对商式进行因式分解或约分等）；
③判断差的符号（商与1的大小）：结合变形的结果及题设条件判断差的符号（商与1的大小）。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小。

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因。

基本步骤：要证……只需证……，只需证……
①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

（4）反证法：正难则反。

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

放缩法的方法有：
①添加或舍去一些项，如：a a >+12
；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，
如：2lg3lg5lg3lg5(
)lg 42+⋅<==；2
)
1()1(++<
+n n n n ；
（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元
（7）构造法：通过构造函数、图象与图形、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法、放缩法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。

二、能力巩固
考点一：均值不等式与最值
1.已知,,x y z R +
∈，230x y z -+=，则2
y xz
的最小值______________。

2．设0,0,1x y x y >>+=，y x +
最大值是（ ）
A. 1
B.2
C.2
2
D.23
3.已知0,0a b >>，且2a b +=，若22
2S a b ab =++，则S 的最大值为_____________。

4.已知,x y 都在区间(2,2)-内，且1xy =-，则函数2
299
44y x u -+
-=的最小值是（ ） A ．5
8
B ．1124
C ．712
D ．512
5.若a 2b 2b 的等比中项，则
2||||
ab
a b +的最大值为（ ）
2 B. 1 C. 42 D.2
2
6．设M 是,23,30,ABC AB AC BAC ∆⋅=∠=︒内一点且定义()(,,),f M m n p =其中m n p 、、分别是,,MBC MCA MAB ∆∆∆的面积，1()(,,),2f M x y =若14
x y
+则的最小值是_______________。

7．若a,b a b a m b -m 的最小值是______________。

变式：（1）若不等式()2
222
b a b a λ
++≥
对任意正实数a 、b 都成立，则λ的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5
（2）若对于任意的实数1a >且1b >，不等式22(2)a b t a b +≥+-恒成立，则实数t 的最大值是 ___________。

8. 设,x y 都是整数，且满足()y x xy +=+22，则2
2
y x +的最大可能值为（ ） A. 32 B. 25 C. 18 D. 16
9. 函数()x x x f -+=42的值域为（ ）
A.[]4,2
B.0,⎡⎣
C.4,⎡⎣
D.2,⎡⎣
练习：使关于x k ≥有解的实数k 的最大值是（ ）
A C
10．已知,,a b c R +∈且8(342)4a a b c bc ++=-，则32a b c ++的最小值为（ ）
A. B. C. D.
练习：若,,0a b c >
且()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小值为_______________。

考点二：不等式证明方法（注意各种方法的灵活选取） 例1．已知,,a b R ∈且1a b +=，求证：()()2
2
25
222
a b +++≥。

证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,, ，
()()2
2
22259224()22a b a b a b ∴+++-
=+++-2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥，即()()2
25222
2≥+++b a （当且仅当
2
1
==b a 时，取等号）。

证法二：（分析法）()()22
222525224()822
a b a b a b +++≥⇐++++≥
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-⇐≥++-+-=⇐0)21(22584)1(122
2a a a a b ，因为显然成立，所以原不等式成立。

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件。

证法三：（综合法）由上分析法逆推获证（略）。

证法四：（反证法）假设225)2()2(2
2
<
+++b a ，则2
258)(42
2<++++b a b a 。

由a+b=1，得a b -=1，于是有22512)1(22<+-+a a 。

所以0)21(2
<-a ，这与0
212
≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-a 矛盾。

所以()()2
25222
2≥+++b a 。

证法五：（放缩法）∵1a b +=，∴左边＝()()()()2
22
222222a b a b +++⎡⎤+++≥⎢⎥
⎣⎦
()2125
422
a b =
++=⎡⎤⎣⎦＝右边。

点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式2
2
2
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛+≥+b a b a 。

证法六：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=(a+2)2
+(b+2)2
，由a+b=1，有
1322)3()2(222+-=-++=a a a a y ，所以013222=-+-y a a ，因为R a ∈，所以
0)13(244≥-⋅⋅-=∆y ，即225≥y 。

故()()2
25222
2≥+++b a 。

*证法七：（均值增量代换法）∵1a b +=，所以可设t a +=21，t b -=2
1
， ∴左边＝()()2
2
2
2
1
122(2)(2)22
a b t t +++=+++-+
22
255252522222t t t ⎛⎫⎛⎫
=++-=+≥
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
＝右边。

当且仅当t=0时，等号成立。

点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元。

例2．（1）已知,,a b c 为正实数，1a b c ++=。

求证：
①2
2
2
1
3
a b c ++≥6≤。

（2）设,,x y z 为正实数，求证：222
2
222221x y z y z yz z x zx x y xy
++≥++++++。

变式训练：
设实数,x y 满足2
0,01y x a +=<<，求证：8
12log )(log +
≤+a y
x a a a 。

例3．求证：（1）证明：22
2
111
12()23n N n +++++
<∈。

变式：①证明：22
211171()234
n N n ++
+++
<∈。

②证明：2
2211151()23
3
n N n +++++
<∈。

（2）11)
++⋅⋅⋅+>； （3）111
1223!
n +++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+<！！（其中!(1)(2)321n n n n =⋅-⋅-⋅⋅⋅⋅）。

（4）已知*
,[1,),n n N a ∈∈+∞，求证：
312
222222
222
11212312n
n a a a a a a a a a a a a a ++++
<+++++
+
例4．（1）求证：,0,111x y x y
x y x y x y
+><+++++有；
（2）若1
0,,()a b c a b b
>>=-求证：22
4115a c a c +>++。

（3）33a b ≥+。

例5．设各项为正的数列{}n a 满足：111
(1)1,
1,n n
n n na n a a a a +++==+令 11,b a =21222311[n b n a a a =+
++ (2)
11](2).n n a -+≥ (Ⅰ)求;n a (Ⅱ)求证：12111
(1)(1)(1)4(1).n
n b b b +++<≥…
例6.在数列{}n a 中，已知12a =，112n n n n a a a a ++=-，n N *
∈。

（1）证明数列1
{
1}n
a -为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）求证：
1
(1)3n
i
i
i a a =-<∑，n N
*
∈。