广东省阳江市阳东县第一高级中学高二数学理上学期期末试题含解析

广东省阳江市阳东县第一高级中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 若函数f（x）满足f（x）=x（f′（x）﹣lnx），且f（）=，则ef（e x）＜f′（）+1的解集是（）
A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，+∞）C．（0，）D．（，+∞）
参考答案：
A
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】将函数整理得（）′=，两边积分，求得函数的解析式，求导，求得函数的单调性
及f′（），则不等式转化成f（e x）＜=f（）=f（e﹣1），利用函数的单调性即可求得不等式的解集．
【解答】解：由f（x）=x（f′（x）﹣lnx），整理得xf′（x）﹣f（x）=xlnx，即
（）′=，
两边积分==∫lnxd（lnx）=ln2x+C，
整理得：f（x）=ln2x+Cx，
f（）=，代入求得c=，
∴f（x）=ln2x+x，
f′（x）=ln2x+lnx+，令lnx=t，t∈R，
∴f′（t）=t2+t+=（t+1）2≥0，
∴f（x）单调递增，
由f（x）=x（f′（x）﹣lnx），f（）=，f′（）=0，
由ef（e x）＜f′（）+1，整理得：f（e x）＜=f（）=f（e﹣1），
由函数单调性递增，即e x＜e﹣1，
由y=e x，单调递增，则x＜﹣1，
∴不等式的解集（﹣∞，﹣1），
故选A．
【点评】本题考查求函数的解析式，不等式的解法，考查求函数的不定积分的应用，考查转换思想，属于难题．
2. 在与之间插入个数，使这十个数成等比数列，则插入的这个数之积为（）
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
3. 下列函数为奇函数的是（）
A．B．y=x﹣1 C．y=x2 D．y=x3
参考答案：
D
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】确定函数的定义域，利用奇函数的定义，即可判断．
【解答】解：对于A，函数的定义域为[0，+∞），不是奇函数；
对于B，定义域为R，不满足奇函数的定义；
对于C，定义域为R，是偶函数；
对于D，定义域为R，是奇函数，
故选D．
【点评】本题考查奇函数的定义，考查学生的计算能力，正确理解奇函数的概念是关键．
4. 在△ABC中，若A=30°，a=2，b=2，则此三角形解的个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．不能确定
参考答案：
C
【考点】正弦定理．
【专题】数形结合；综合法；解三角形．
【分析】计算bsinA的值，比较其和a、b的大小关系可得．
【解答】解：∵在△ABC中A=30°，a=2，b=2，
∴bsinA=2×=，
而＜a=2＜b=2，
∴三角形解的个数为2，
故选：C．
【点评】本题考查三角形解得个数的判断，属基础题．
5. 圆x2+y2﹣4x=0在点P（1，）处的切线方程是（）
A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x﹣y+4=0 D．x+y﹣4=0
参考答案：
B
【考点】圆的切线方程．
【专题】直线与圆．
【分析】根据直线和圆相切得到切线斜率即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，
∴圆心C（2，0），
∵直线和圆相切于点P（1，），
∴CP的斜率k==﹣，
则切线斜率k=，
故切线方程为y﹣=（x﹣1），
即x﹣y+2=0，
故选：B
【点评】本题主要考查切线方程的求解，根据直线和圆相切得到切线斜率是解决本题的关键．
6. 《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
（）
A. 0.5
B. 0.6
C. 0.7
D. 0.8
参考答案：
C
【分析】
根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.
【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为
70÷100=0.7．故选C．
【点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．
7. 气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪,已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用,第
天的维修保养费为元,使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)为止,一共使用了( )
A.600天
B.800天
C.1000
天 D.1200天
参考答案：
B
略
8. 已知数列中，, 2=，则数列的通项公式为（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
9. 记，当时，观察下列等式：
，
，
，可以推测A-B等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
10. 椭圆与直线相交于两点，过中点M与坐标原点的直线的斜率为
，则的值为（）
A． B．
C．1 D．2
参考答案：
A
试题分析：设，可得，，由的中点为，可得，由在椭圆上，可得，两式相减可得
，整理得，故选A．
考点：椭圆的几何性质．
【方法点晴】本题主要考查了直线与椭圆相交的位置关系，其中解答中涉及到椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，当与弦的斜率及中点有关时，可以利用“点差法”，同时此类问题注意直线方程与圆锥曲线方程联立，运用判别式与韦达定理解决是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数k的取值范围.
参考答案：
略
12. 设A（n）表示正整数n的个位数，a n=A（n2）﹣A（n），A为数列{a n}的前202项和，函数f（x）=e x﹣e+1，若函数g（x）满足f[g（x）﹣]=1，且b n=g（n）（n∈N*），则数列{b n}的前n项和
为．
参考答案：
n+3﹣（2n+3）?（）n
【考点】8E：数列的求和．
【分析】先根据n的个位数的不同取值推导数列的周期，由周期可求得A=2，再由函数f（x）为R上
的增函数，求得g（x）的解析式，即有b n=g（n）=1+（2n﹣1）?（）n，再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，化简整理即可得到所求和．
【解答】解：n的个位数为1时有：a n=A（n2）﹣A（n）=0，
n的个位数为2时有：a n=A（n2）﹣A（n）=4﹣2=2，
n的个位数为3时有：a n=A（n2）﹣A（n）=9﹣3=6，
n的个位数为4时有：a n=A（n2）﹣A（n）=6﹣4=2，
n的个位数为5时有：a n=A（n2）﹣A（n）=5﹣5=0，
n的个位数为6时有：a n=A（n2）﹣A（n）=6﹣6=0，
n的个位数为7时有：a n=A（n2）﹣A（n）=9﹣7=2，
n的个位数为8时有：a n=A（n2）﹣A（n）=4﹣8=﹣4，
n的个位数为9时有：a n=A（n2）﹣A（n）=1﹣9=﹣8，
n的个位数为0时有：a n=A（n2）﹣A（n）=0﹣0=0，
每10个一循环，这10个数的和为：0，
202÷10=20余2，余下两个数为：a201=0，a202=2，
∴数列{a n}的前202项和等于：a201+a202=0+2=2，
即有A=2．
函数函数f（x）=e x﹣e+1为R上的增函数，且f（1）=1，
f[g（x）﹣]=1=f（1），
可得g（x）=1+=1+，
则g（n）=1+（2n﹣1）?（）n，
即有b n=g（n）=1+（2n﹣1）?（）n，
则数列{b n}的前n项和为n+[1?（）1+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣1）?（）n]，
可令S=1?（）1+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣1）?（）n，
S=1?（）2+3?（）3+5?（）4+…+（2n﹣1）?（）n+1，
两式相减可得S=+2[（）2+（）3+（）4+…+（）n]﹣（2n﹣1）?（）n+1
=+2?﹣（2n﹣1）?（）n+1，
化简可得S=3﹣（2n+3）?（）n，
则数列{b n}的前n项和为n+3﹣（2n+3）?（）n．
故答案为：n+3﹣（2n+3）?（）n．
13. 已知点A,B是双曲线上的两点，O为原点，若,则点O到直线AB的距离为
参考答案：
略
14.
设是定义在R 上的奇函数，当时，，且，则不等式的解集为参考答案：
15. 在平面直角坐标系中, 二元一次方程 (不同时为)表示过原点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系中, 三元一次方程 (不同时为)表
示 .
参考答案：
过原点的平面；
略
16. 在△ABC中，B=60°，AC=，则AB+2BC的最大值为．
参考答案：
2
【考点】HS：余弦定理的应用．
【分析】设AB=c AC=b BC=a利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．
【解答】解：设AB=c AC=b BC=a
由余弦定理
cosB=
所以a2+c2﹣ac=b2=3
设c+2a=m
代入上式得
7a2﹣5am+m2﹣3=0
△=84﹣3m2≥0 故m≤2
当m=2时，此时a=，c=符合题意
因此最大值为2
另解：因为B=60°，A+B+C=180°，所以A+C=120°，
由正弦定理，有
====2，
所以AB=2sinC，BC=2sinA．
所以AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin+4sinA
=2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA
=cosA+5sinA
=2sin（A+φ），（其中sinφ=，cosφ=）所以AB+2BC的最大值为2．
故答案为：2
17. 已知全集，集合，，则
．
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知圆O:交轴于A ，B 两点，曲线C 是以AB 为长轴，离心率为的椭圆,其左焦点为F。

若P 是圆O 上一点，连结PF ，过原点O 作直线PF 的垂线交直线
于点Q 。

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若点P的坐标为（1,1）,求证:直线PQ与圆相切；
（Ⅲ）试探究:当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），
直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由。

参考答案：
解：（1）因为,所以c=1……………1分
则b=1,即椭圆的标准方程为……………3分
（2）因为（1,1）,所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x 又直线方程为x=－2,所以点Q（－2,4）……………5分
所以,又,所以,即,
故直线与圆相切……………………………………………………7分
（3）当点在圆上运动时,直线与圆保持相切………8分
证明:设（）,则,所以,,
所以直线OQ的方程为
所以点Q（－2,）……………… 10分
所以,又,所以,即,故直线始终与圆相切 (12)
略
19. 已知函数
（Ⅰ）求函数的对称轴；
（Ⅱ）设的内角的对应边分别为，且，
，求的值。

参考答案：
解: （Ⅰ）。

∵，∴，
∴的对称轴是:,。

（Ⅱ），则，
∵，∴，∴，解得。

∵，
由正弦定理得，①）
由余弦定理得，，即②
由①②解得。

略
20. 已知正数、满足.
（1）求的范围；
（2）求的范围.
参考答案：
解：（1）、为正数
即
从而
（2）、为正数
即
略
21. （12分）已知{}是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求数列{}的通项; （Ⅱ）求数列{}的前n项和.
参考答案：解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由，，，成等比数列得＝，
解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知=2n，由等比数列前n项和公式得
S m=2+22+23+…+2n==2n+1-2.
略
22. 已知{a n}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{a n}的通项公式；
(2)若等比数列{b n}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{b n}的前n项和公式．
参考答案：
略。