2019年高考数学 考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系必刷题 理

考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;(3)过平面外一点可作无数条直线与该平面平行;(4)过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
(1)将一个平面内的两条相交直线平移到平面外,且平移后不相交,则这两条直线异面且与该平面平行,故正确;(2)当过该点的平面过其中一条直线时,这个平面与两条异面直线都平行是错误的,故不正确;(3)显然正确;(4)显然正确.故答案为C.
2．设直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α
【答案】D
3．如图，在中，，，，是斜边的中点，将沿直线翻折，
若在翻折过程中存在某个位置，使得，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
∴∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°，
∴∠A=60°，BC=ACtan60°，此时，
综上，x的取值范围为.
故选：D．
4．在正方体中，直线与平面所成角的正弦值为
A． B． C． D．
【答案】D
5．设，是不同的直线，，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若，，，则 B．若，，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】C
6．为顶点的正四面体的底面积为，为的中点，则与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取SA的中点E,连接DE,则AC||DE,
所以DE和BD所成的角或补角就是与所成角，
设正四面体的边长为a,则
.
所以与所成角的余弦值为.
故答案为：C
7．已知直线m，n和平面，满足m⊥n，m⊥，⊥，则
A．n⊥ B．n∥ C．n∥或n D．n∥或n
【答案】D
【解析】
根据条件，画出示意图反例如下图
可分别排除A、B、C
所以选D
8．设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，，则；②若，，则；
③若，，，则；④若，，，则．
其中错误
．．命题的序号是
A．①③ B．①④ C．②③④ D．②③
【答案】B
故答案为：B
9．如图，在梯形ABCD中，，，，平面平面ABCD，四边形ACFE 是矩形，，点M在线段EF上．
（Ⅰ）求证：平面ACFE；
（Ⅱ）当EM为何值时，平面？证明你的结论；（Ⅲ）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）
10．如图所示，四棱锥中，底面，，，，，
，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）.
设为平面的法向量，则，即
设，则，，即平面的一个法向量为，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为.
11．如图，四棱锥中，底面为菱形，，为等边三角形．
（1）求证：．
（2）若，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析（2）0
因为，
所以面，
如图建立空间直角坐标系，
12．如图，在长方形ABCD中，为线段AB的三等分点，G、H为线段DC的三等分点．将长方形ABCD卷成以AD为母线的圆柱W的半个侧面，AB、CD分别为圆柱W上、下底面的直径．
(1)证明：平面平面BCHF；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析;（2）.
所以，所以平面的法向量
设平面的法向量
因为，
所以，所以平面的法向量
所以二面角的余弦值为
13．在四棱锥中,平面平面，,四边形是边长为的菱形，,是
的中点.
(1)求证: 平面；
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
得一个，同理可得平面的一个法向量为，所以平面与平面所成锐二面角
的余弦值为.
14．在直角三角形中，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，
且.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）.
15．如图，四边形ABCD是矩形，AB=2BC，E为CD中点，以BE为折痕将折起，使C到的位置，且平
面平面
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)见解析；（2）
16．如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)见解析（2）
，所以，
平面与平面, 所成二面角的余弦值为．
17．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，为线段的中点，在线段上.
（I）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM；
（II）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（I）见解析（II）存在
18．如图，在三棱锥S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O为BC的中点（1）求证：SO⊥平面ABC
（2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，试说明理由
【答案】（1）见解析（2）
由，得，故可取．
易得平面SBC的一个法向量为．
所以，，解得或（舍）．
所以，当时，二面角的余弦值为．
19．如图，四棱锥的底面为矩形，且，，，，
（Ⅰ）平面与平面是否垂直？并说明理由；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（I）见解析
（Ⅱ）
20．如图所示，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．
(1)当的值等于何值时，BC1∥平面AB1D1；
(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．
【答案】（1）1；（2）1.
21．如图，已知平面，平面，为等边三角形，，为的中点．（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值的大小．
【答案】（1）见解析
（2）．
故二面角的余弦值为．
22．如图，正方形与等边三角形所在的平面互相垂直，分别是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2).
23．在如图所示的几何体中，平面,四边形为等腰梯形，，
．
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
24．如图，在梯形中，，，.，且平面，，
，点为上任意一点.
Ⅰ.求证：；
Ⅱ.点在线段上运动（包括两端点），若平面与平面所成的锐二面角为，试确定点的位置. 【答案】Ⅰ.见解析；Ⅱ. 点与点重合.
25．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B = 900，D为棱BB1上一点，且面DA1 C⊥面AA1C1C.
(1)求证：D点为棱BB1的中点；(2)若二面角A －A1D － C的平面角为600，求的值。

【答案】（1）见解析；（2） .
故，取，由，所以，故即.。