2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线(学生版)

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2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线
一、选择题
1 ．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线1:4360l x y -+=和直线
2:1l x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值是
（ ）
A
B ．2
C ．
115
D ．3
2 ．（2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线2
4y x 焦点的直线交抛物线于A ,B 两点,若
10AB =,则AB 的中点到y 轴的距离等于
（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3 ．（2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形ABCDEF 的边长是2,一条抛物线恰好经过该
六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是
（ ）
A
B
C
D
．
4 ．（北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线22y px =(p >0)的焦点为F ,已
知点A ,B 为抛物线上的两个动点,且满足120AFB ∠=︒.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线
MN ,垂足为N ,则
||
||
MN AB 的最大值为 （ ）
A
．
3
B ．1
C
．
3
D ．2
5 ．（北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l :y=k (x+1)与抛物线C:y 2= 4x,k =±1
是直线l 与抛物线C 有唯一交点的( )条件
（ ）
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A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
6 ．（2013届北京海滨一模理科）抛物线24y x =的焦点为F ，点(,)P x y 为该抛物线上的动点，又点
(1,0)A -，则||
||
PF PA 的最 小值是
（ ）
A ．12 B
C
D
二、填空题
7 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））在平面直角坐标系xOy 中,设抛
物线x y 42=的焦点为F ,准线为P l ,为抛物线上一点,l PA ⊥,A 为垂足.如果直线AF 的倾斜角为 120,那么=PF _______.
8 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线2:2C y px =的焦点坐标为1(,0)2
F ,则抛物线C
的方程为___,若点P 在抛物线
C 上运动,点Q 在直线50x y ++=上运动,则PQ 的最小值等于____.
9 ．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））直线y ax b =+与抛物线
2
114y x =
+相切于
点P . 若P 的横坐标为整数,那么22
a b +的最小值为______.
10．（2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,0)A -关于原点O 对称．点
00(,)P x y 在抛物线24y x =上，且直线AP 与BP 的斜率之积等于2，则0x =______．
三、解答题
11．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆M 的
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对称轴为坐标轴,
离心率为2
且抛物线2y =的焦点是椭圆M 的一个焦点． （Ⅰ）求椭圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线l 与椭圆M 相交于A 、B 两点，以线段,OA OB 为邻边作平行四边形OAPB ，其中点P 在椭圆M 上，O 为坐标原点. 求点O 到直线l 的距离的最小值．
12．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））如图,已知(3,0)(0)M m m ->,,N P 两点分
别在y 轴和x 轴上运动,并且满足0MN NQ ⋅=,1
2
NP PQ =. (Ⅰ)求动点Q 的轨迹方程;
(Ⅱ)若正方形ABCD 的三个顶点,A B C ,在点Q 的轨迹上,求正方形ABCD 面积的最小值.
13．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线24y x =的焦点为
F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，
22(,)B x y 两点，直线AF ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．
（Ⅰ）求12y y 的值；
（Ⅱ）记直线MN 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：
1
2
k k 为定值．
14．（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理））动圆过点(0,2)
F且在x轴上截得的线段长为4,记动圆圆心轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)已知,P Q是曲线C上的两点,且2
PQ=,过,P Q两点分别作曲线C的切线,设两条切线交于点M,求△PQM面积的最大值.
15．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知()
E是抛物线2
2,2
=上
:2
C y px
一点，经过点(2,0)的直线l与抛物线C交于,A B两点（不同于点E），直线,
EA EB分别交直线x=-于点,
2
M N.
（Ⅰ）求抛物线方程及其焦点坐标；
∠为定值.
（Ⅱ）已知O为原点，求证：MON
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北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线参考答案
一、选择题 1. ,【答案】B
【 解析】因为抛物线的方程为2
4y x =，所以焦点坐标(1,0)F ,准线方程为1x =-。

所以设P 到
准线的距离为PB ,则PB PF =。

P 到直线1
:4360l x y -+=的距离为PA ，
所以PA PB PA PF FD +=+≥,其中FD 为焦点到直线4360x y -+=的距离，所以
2
2
40610
25
34
FD -+=
=
=+，所以距离之和最小值是2，选B.
2. D
3. B;
4. A
5. A
6. B 二、填空题
7. 答案4抛物线的焦点坐标为(1,0)F ,准线方程为1x =-.因为直线AF 的倾斜角为 120,所以
060AFO ∠=,又tan 601(1)
A
y =
--,所以23A y =.因为l PA ⊥,所以23P A y y ==,代入x y 42=,
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得3A x =,所以3(1)4PF PA ==--=. 8.
22,4
y x = 9. 1
10. 1 三、解答题
11.解：（I
）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>，
则
2
,2, 2.2c e a b ====得所以椭圆M 的方程为22 1.42
x y +=……5分
（II ）当直线l 斜率存在时，设直线方程为y kx m =+， 则由22
,
1.42
y kx m x y
=+⎧⎪
⎨+=⎪⎩ 消去y 得，222(12)4240k x kmx m +++-=， …………………6分
222222164(12)(24)8(24)0k m k m k m ∆=-+-=+->， ①…………7分 设A B P 、、点的坐标分别为112200(,)(,)(,)x y x y x y 、
、，则： 0120121222
42,()21212km m
x x x y y y k x x m k k =+=-
=+=++=++，
…………8分 由于点P 在椭圆M 上，所以22
00
142x y +=
. ……… 9分 从而222
2222
421(12)(12)
k m m k k +=++，化简得22212m k =+，经检验满足①式. ………10分
又点O到直线l的距离为：
2
d===≥=
………11分当且仅当0
k=时等号成立………12分当直线l无斜率时，由对称性知，点P一定在x轴上，
从而点P的坐标为(2,0)(2,0)
-或，直线l的方程为1
x=±，所以点O到直线l的距离为1 .
所以点O到直线l
的距离最小值为
2
. ………13分12.解:(I) 1
(,),,(0,),
22
y
Q x y NP PQ N
=-
设因为所以
3
(3,0),(3,),(,),
22
y y
M m MN m NQ x
-=-=
又所以
由已知0,
MN NQ
⋅=则2
3
30
4
mx y
-=
22
4,4.
y mx Q y mx
==
即点轨迹方程为
(Ⅱ)如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中A B
、在x轴的下方(包括x轴), 记A B C
、、的坐标分别为
112233
(,),(,),(,)
x y x y x y,其中
321
y y y
>≥>
并设直线AB的斜率为0
k k
（＜）
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则有21213232()1
()y y k x x y y x x k -=-⎧⎪⎨-=--⎪⎩
① 又因为A B C 、、在抛物线24y mx =上,故有
222123
123,,444y y y x x x m m m
===
代入①式得 12324,4m
y y y mk y k
=
-=--② 因为||||AB BC =
2132))y y y y -=- 所以2132()()y y k y y -=--将②代入可得:
2224(42)m
y y k mk y k
-
+=--- 即22442(1)m
mk k y k
--
=--+, 得22442(1)
m mk k y k +
=
-+
正方形的边长为322||)42)AB y y mk y -=--
2444)1m
mk k mk k +
=--
-
+3
14(1)k k k k ⎤+=--⎥-+⎦
4=
易知2(1)k k +≥≥-,
所以4≥ 所以正方形ABCD 面积的最小值为232m .
13. （Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分
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将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-． ………………5分 （Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．
则
22
123434112
1222
2341231234
44
444
y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y -
---+=⨯=⨯=---+-． ………………7分 设直线AM 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ， 整理得 2440y ny --=． ………………9分 所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故
112121223412
444
k y y y y y y
k y y y y ++===--+-+． ………………13分 由（Ⅰ）得
1
2
2k k =，为定值． ………………14分 14.解:(Ⅰ)设圆心坐标为(,)x y ,那么2
2222(2)y y x +=-+,化简得24x y =
(Ⅱ)解法一:设1122()()P x y Q x y ，，，
设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入曲线C 的方程得2440x kx b --=, 所以212124,4,16160x x k x x b k b +==-∆=+>
因为2PQ =,所以22221212(1)[()4]4,(1)[1616]4k x x x x k k b ++-=∴++= 所以, 22221
4(1)[]1,4(1)
k k b k b k ++=∴+=
+
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过P 、Q 两点曲线C 的切线方程分别为121122(),()22
x x
y y x x y y x x -=
--=- 两式相减,得22
212112()22x x x y y x x --=-+
2222
212112()422
x x x x x x x --∴=-+
,12x x ≠,12
22
x x x k +∴=
= 代入过P 点曲线C 的切线方程得, 112
11()22
x x x y y x +-=
- 21112
1()422x x x x y x +∴-=-,124
x x y b ∴==-
即两条切线的交点M 的坐标为(2,k b -),所以点M 到直线PQ 的距离为
3
22
12(1)
d k =
=
=
+
当0k =时, max 12d =
,此时PQM ∆的面积的取最大值max max 1122
S PQ d =⋅⋅= 解法二: 设1122()()P x y Q x y ，，，,则过P 、Q 两点曲线C 的切线方程分别为
121122(),()22
x x
y y x x y y x x -=
--=- 两式相减得22
212112()22x x x y y x x --=-+,
2222
212112()422
x x x x x x x --∴=-+
,12x x ≠,12
2
x x x +∴=
代入过P 点曲线C 的切线方程得, 112
11()22
x x x y y x +-=
- 21112
1()422x x x x y x +∴-=-,124x x y ∴=
即两条切线的交点M 的坐标为(122x x +,12
2
y y +) 设PQ 中点为C,则C 的坐标为(
122x x +,12
2
y y +),所以MC 平行于y 轴,所以 2222
121212121212()()424888
x x y y x x x x x x x x MC ++--=-=-==
设点M 到直线PQ 的距离为d ,那么2
12()8x x d MC -≤=(当且仅当120x x +=时等号成立) .
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又因为2PQ =,
2=,
2
,2=. 所以212()4x x -≤ (当且仅当120x x +=时等号成立) . 因此12d ≤
,1111
22222
PQM S PQ d ∆=⋅≤⨯⨯=, 所以PQM ∆的面积的最大值为
1
2
.
15.解：（Ⅰ）将()2,2E 代入22y px =，得1p =
所以抛物线方程为22y x =，焦点坐标为1
(,0)2
………………3分
（Ⅱ）设211(,)2y A y ，2
2
2(,)2
y B y ，(,),(,)M M N N M x y N x y ，
法一：
因为直线l 不经过点E ，所以直线l 一定有斜率 设直线l 方程为(2)y k x =- 与抛物线方程联立得到 2
(2)2y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，消去x ，得：
2240ky y k --=
则由韦达定理得：
121224,y y y y k
=-+=
………………6分
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直线AE 的方程为：()
12
12
2222
y y x y --=
--，即()12222y x y =-++， 令2
x =-，得
11242
M y y y -=
+
………………9分 同
理
可
得
：
22242
N y y y -=
+
………………10分 又 4(2,),(2,
)m m
OM y ON y -=-=-， 所以12122424
4422
M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+
⋅++
121212124[2()4]
4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
44(44)444(44)
k k
--
+=+
-++ 0= ………………13分
所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π
2 ………………14分
法二：
设直线l 方程为2x my =+
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与抛物线方程联立得到 22
2x my y x =+⎧⎨=⎩，消去x ，得：
2240y my --=
则由韦达定理得：
12124,2y y y y m
=-+=
………………6分 直线AE 的方程为：()12
1
2
2222
y y x y --=
--，即()12222y x y =-++， 令2
x =-，得
11242
M y y y -=
+
………………9分 同
理
可
得
：
22242
N y y y -=
+
………………10分 又 4(2,),(2,
)m m
OM y ON y -=-=-， 12124(2)(2)
44(2)(2)
M N y y OM ON y y y y --⋅=+=+
++
121212124[2()4]
4[2()4]
y y y y y y y y -++=+
+++
4(424)
44(424)
m m --+=+
-++
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=
………………12分
所以OM ON ⊥，即MON ∠为定值π
2
………………13分。