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数学机械化：回顾与展望
数学机械化这一名词取自数理逻辑学家王浩先生的著作。

王浩先生毕生从事数理逻辑的研究，不仅是一位倡导用计算机来证明逻辑命题的先驱者，而且还身体力行。

1958年时，王浩设计了几个计算机程序，使用当时的IBM704机，在3分钟内，自动证明了Russell 与Whitehead 的名 著“数学原理”一书中的220条命题，稍后又扩展到400条。

这一成就震动了学术界，被誉为“一 击落七蝇（Seven flies in one blow)”。

王浩先生还因此而于1983年获得人工智能国际联合会与美国数学会联合颁发的里程碑奖（Milestone Prize)。

王浩先生关于数理逻辑的文章，曾收集编写成<<数理逻辑总览(A Survey of Mathematical Logic)>>一书，于1959年由科学出版社出版，以下简称<<总览>>。

书中的第9章，原来发表于1960年的IBM 研究与发展年报。

章名“向机械化数学前进(Toward Mechanical Mathematics)”，我们所采用的数学机械化一词，即出自此处。

该章第一节引论中，一开头即将计算与证明作一比较，指出两者有四大不同之处。

简言之，如果用我们现在的词汇来说，计算是机械化的，而所谓证明则否。

在本章中，王浩先生把数理逻辑的最基础部分（命题逻辑）的定理证明成功地归结为机械化的步骤，得以用机器获得自动的证明。

在本章以及<<总览>>的其它诸章中，王浩先生还多处提出了在数学推行这种机械化证法的想法，使数学成为机械化的数学。

上面只谈了数学机械化一词的来历，至于它的实质意义，我想不必下什么艰深的学院式严格定义，只想请读者们回忆一下在中小学求学时学习数学的过程。

在小学时，加减乘除与开方等运算都是按部就班依照一定的法则机械地进行的。

但是像解鸡兔共笼一类所谓四则难题，就无法可循而需运用巧思。

到初中一二年级学习代数，用各种消去法解线性联立方程组时，又像四则运算那样，可以依一定法则机械地逐步进行以至求出解答。

但到学习几何时，就又像四则难题那样，证起定理来往往无所措手，需要高度的巧思。

两种问题两种风格，其难易之别甚为显然，其关键就是其一是机械化的，而另一则否。

是否能化难为易，以及如何才能化难为易，也就是如何把原来非机械化因而极为困难的数学问题变成机械化而容易起来，乃是数学机械化的主题思想，也是它的主要目标。

一个依据一定法则可以按部就班，机械地进行的方法在现代通称为算法。

在当前的计算机时代，有算法即可编为程序，而在计算机上实施，因此当代的计算机科学大师Knuth ，曾说计算机科学即是算法的科学。

中国数学源远流长，远古的数学成就，总结于<<九章算术>>一书，依据现存资料与地下文物，<<九章>>的成书年代，可大致定在公元前二，三世纪，其中成果大都以算法的形式出现。

例如开平方的算法，在<<九章>>中称为开平立方术。

对于鸡兔共笼一类问题，可用盈不足术来解答。

更一般的问题，则有方程术与正负术，实质上即是
感谢你的观看解线性联立方程组的消去法与移项法则。

在几何方面，中国根本不考虑定理与证明，而重在几何问题的解决。

例如田亩丈量与勾股测量一类问题，导致开平方术，相当于解最简单的二次方程。

从<<九章>>以至历代的数学著作，其中成果大都以术的形式来表达。

总之，中国的传统数学，由求解几何问题以及其它各种类型问题所导致的方程求解成为古算发展的一条主线。

解决问题的方法又往往以术亦即算法的形式出现，因而中国的传统数学，实质上是Knuth意义下的一种没有计算机的计算机科学，也正是王浩先生意义下的一种机械化数学。

中国传统数学通过化几何问题求解为方程求解而走上了一条机械化的道路。

对于西方传统几何定理的证明以及其它种种数学领域中的定理证明，形式上与机械化格格不入，是否也可以找到一条道路，使证明也成为机械化的呢。

中国传统的机械化数学，对此提供了入手的线索。

数学机械化之出现于古代中国，决非偶然。

这里面有一层通常不为人所察觉更不易为人理解的深刻原因－－记数位值制的发明。

人人都知道记数的进位制，我们通常用的是十进位制。

一个正整数不论多大，都可用相当于从0，1，到9的十个数字或符号甚或实物来表示。

现代的计算机则用二进制来表示整数，这时只要用可以表示0与1的某种器件就行了。

在技术上容易实现的二进制与人们习惯使用的十进制之间的转换，则用所谓译码器来实现。

世界各古代民族，往往有着不同的进位制。

例如古巴比伦用六十进位制，古希腊与埃及用十进位制，中美洲的玛雅民族则用二十进位制。

然而，所有这些古代民族的进位制，都是不完全的，更谈不上意义重大的位值制了。

位值制是中华民族的创造，是世界上独一无二的独特创造。

所谓位值制，说来平淡无奇。

它无非是说，在用十个符号来表达十进制整数时，每个符号依据它在表达式中的不同位置。

而有着不同的位值，例如111，这里面的三个同样的1，由于它们的位置不同，而自左至右，分别代表着102 ，10与1三种不同的位值，如果是二进位制，则三个1将分别代表22，2和1三种不同的位值，因而111将相当于10进制中的5。

这个平淡无奇的位值制，却有着意想不到的作用。

为了说明这一问题，不妨引用他人的一番评论。

在美国数学史家A.Cajori的著作<<数学符号史（A history of mathematical notations) >>一书的卷1，页70上，曾引述过法国曾当过拿破仑大臣的数学与天文学大师Laplace的一段话。

现译之如下，文中的印度与印度人，自然应纠正为中国与中国人。

“从印度人那里，我们学到了用10个字母来表示所有数的聪明办法，这个聪明办法，除了赋予给每个符号以一绝对的值以外，还赋予了一个位置的值，这是一种既精致又重要的想法。

这种想法看起来如此简单，而正因为如此简单，我们往往并未能足感谢你的观看
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但是，正由于这一方法的无比简单，以及这一方法对所有计算的无比方便，使得我们的算术系统在所有有用的创造中成为第一流的。

至于创造这种方法是多么困难，则只要看看下面的事实就不难理解。

这个事实是：这一发明甚至逃过了阿基米德与阿波罗尼斯的天才，而他们是古代两位最伟大的人物。

”
平淡无奇的位值制，逃过了阿基米德与阿波罗尼斯的天才，却诞生在古代的中华大地上。

古代的中华民族，就在这平淡无奇的位值制基础上，产生了机械化的四则运算法则，建立起数学大厦，创立了富有特色的东方数学－－－机械化数学。

正与欧几里得<<几何原本>>之成为西方数学公理化演绎体系的经典代表作那样，<<九章算术>>以及公元263年魏刘徽的<<九章注>>,可以视为是东方数学机械化算法体系的经典代表之作。

在<<九章>>及其<<注>>中，成果不是表示成定理的形式，而是以术即算法的形式出现。

推理与计算的出发点，不是一大批公理，而是根据经验实例等总结而成寥寥可数简单明了的原理。

主题也不是几何定理的证明，而是方程的求解。

总之，与欧几里得<<几何原本>>相当，<<九章>>及其<<注>>中，汇集了古代东方数学的精髓及其大成，是机械化算法体系的一部传世之作。

与欧几里得几何相反，机械化的中国古代数学，在几何学上根本不考虑定理的证明与发明，而是着重各种问题特别是几何问题的解决。

由此提炼成原理法则，进而解决其它更难的问题。

这种问题的解决，往往自然导致方程的求解。

例如，简单的物物交换问题导致线性联立方程组的解法与负数概念的发现（方程术与正负术）。

简单的勾股测量与田亩量度导致出入相补原理与勾股定理以及开平方算法（勾股术与开平方术）。

前者相当于西方的Pythageras定理而后者相当于解最简单的二次方程X2＝A。

大规模工程建设与测高望远又导致三国时代刘徽<<海岛算经>>与唐初王孝通<<辑古算经>>关于三次方程的出现。

这条解方程的发展主线到宋元时代达到了高峰。

由于历史来源，中国古籍中把现代所称的解方程通称为“开方”。

在解方程的发展过程中，天元概念与天元术的发明是一种飞跃。

在数学发展史上其意义之重大是可与位值制的创造相提并论的，这是中华民族在数学上影响深远的又一贡献。

自<<九章>>中的线性联立方程组与二次方程到天元术的出现，我国方程的发展，至少已在1000年以上。

但是在此之前，尽管已发展到高次方程能数值求解（增乘开方法，正负开方术），却并没有未知数（即天元等）的概念，建立方程需要非机械化的难以捉摸的种种巧思，只有在方程建立之后，才有种种机械化的算法来解答。

天元概念与天元术的出现，使方程的建立也成为机械化的过程，从此变得轻而易举。

这是中国式机械化数学的思想与方法像位值制那样化难为易的又一次体现。

天元术起于宋代而发展到元代，已经发现了解高次联立方程组的途径与处理方法。

与之相伴又产生了几何代数化方法，以及相当于多项式的表达方式与运算方法及消去法。

八五期间攀登项目中解多项式方程组的一个主要方法－－特征列法，即源自元朱世杰<<四元玉鉴>>（1303年）的四元术，即解多至四个未知数的多项式方程组的感谢你的观看
感谢你的观看机械化算法。

虽然由于中国当时用筹算，实际上只能解两个未知数（天元与地元）的联立方程组，至多是三个或四个未知数的极其简单的所谓稀疏方程组而已，理论与方法上也有许多缺陷，但其提出的主要思想与途径则是完全正确的。

我们所用的特征列法，只是在<<四元玉鉴>>所指出的途径上给以现代化的处理，使之臻于严密合于现代数学的要求而已。

<<四元玉鉴>>中除了解高次联立方程组以及其它许多重要的成就外，还有一项迄今似乎还未有人觉察的意义重大的揭示：把几何定理的证明与发明转化为方程的求解。

中国古算在几何方面着重的是几何问题的求解，而不考虑几何定理的证明，更没有几何公理一类的词汇（参阅本书附录2）。

但是几何问题的解决，其答案往往以公式的形式出现，而这些公式，正相当于现在通称的几何定理，由观天测地导致的勾股弦公式与所谓日高公式以及魏刘徽<<海岛算经>>中许多测高望远的公式，即是这样的定理。

这些公式（或定理）都是从一些简单易明的原理如出入相补原理（而不是公理系统）推导而来。

只是这种推导是非机械化的而需要一定的巧思。

然而在朱世杰的<<四元玉鉴>>中，却指出某些古代已知公式（即定理），如果引入天元（即未知数）并建立相应的方程，则通过解方程来解决相应的几何问题，即可自然导致这些公式。

这提供了一条证明与自动发现几何定理的新路：把非机械化的定理求证与发明归结为可以机械化的方程求解。

事实上，我们倡议的数学机械化，就是在遵循我国古时机械化数学的启示，从1976至1977年间开始，把几何代数化，将相应的多项式组进行适当处理，把非机械化的几何定理证明转化为机械化的高次联立方程组的处理，即所谓几何定理的机器证明，由此打开局面，而再逐步走上更一般更深层的数学机械化道路的。

中国的机械化数学，在宋元时期达到高峰。

在这有待更高攀登的关键时刻，有望进一步发展到解析几何与微积分之际，却骤然衰退，一落千丈。

在中国的大地上，从此为由西方传入的非机械化的欧几里得几何及其公理化体系所代替，直至今日。

对于这一段中国式机械化数学在中国大地上盛极而衰的原因，我们将不作分析，而留之于今后的数学史家。

中国式的机械化数学，虽然在中国本土上宋元以来近于销声匿迹，但并未从此消亡，而在欧洲大地上以另一种形式被发扬光大。

古代的欧亚大陆，在帕米尔高原以东的中华大地上，发展了一套机械化算法体系，以<<九章算术>>为代表的东方数学。

在黑海、爱琴海，红海以西，则发展了一套公理化演绎体系，以欧几里得<<几何原本>>为代表的西方数学。

两者之间隔着一个中亚细亚的波斯，阿拉伯世界，其中米索不达米亚平原上的巴比伦，在远古时期对数学就有光辉的创造。

尽管古代交通不便，但也有丝绸之路沟通东西。

古时战争频繁，既有波斯的西征希腊，也有亚力山大的东征。

此后又有阿拉伯，蒙古、土耳其的大规模西侵与十字军的东征。

阿拉伯人甚至还通过北非占领了半个西班牙，并在西班牙建立了具有现代形式的最早的大学，其中就有天文学系，数学自然包括在内。

如果说科感谢你的观看
感谢你的观看学、技术、与文化将不随着军队的前进而传播，将是不可思议的。

中亚的阿拉伯世界成为东西方数学交流荟萃之地，是在情理之中的。

公元476年时，罗马城陷开始了中世纪时代。

这时以欧几里得为标志的公理化几何学，已经衰落。

欧洲在数学上经历了一个相当长的黑暗时期。

一个转折似乎出现在公元1453年。

是年东罗马帝国首都君士坦丁堡为土耳其攻陷，象征了中世纪时代的结束。

君士坦丁堡的大批学者向西流亡，君士坦丁堡的大批藏书，也跟着向西转移。

这些书籍中即有古希腊的大量著作，也有大批阿拉伯的译著。

其中不少来自东方，当然也有中亚阿拉伯等国自己的创造。

在此之前，在十二世纪时欧几里得的几何原本与Al Khowarizmi的著作，都已从阿拉伯文译成拉丁文。

可以想见，君士坦丁堡的陷落更促进了欧几里德几何的复活与东方数学的西传。

东方数学的影响与作用，从Laplace关于位值制的评论，可以略见一二只是西方史家向来把这些都归之于东方的印度，不仅抹杀阿拉伯世界的贡献，对东方的中国更近于视而不见。

对此使人大惑不解的现象，孙克定先生曾经有一句耐人寻味的话：印度是英国的宠儿。

使几何定理的证明也能走上机械化道路的转折点出现在１７世纪的１６３７年，是年Descartes关于几何学的著作问世。

此书公认为是座标几何或解析几何的创始之作，现将此书的某些特点略举如下：
１．此书不考虑什么公理、定理与证明，而把几何的重点转为几何问题的求解，这种几何问题有不少来自透镜的设计制造。

２．建立了几何的代数化，使几何问题的求解转化为方程的求解。

３．把几何问题转化为方程所求得的解答，表达成几何的定理，这可视为从方程解答导致定理自动发明的某些原始实例。

４．建立方程正根个数的Descactes符号判别法则。

总之,Descartes的几何学开辟了几何定理证明机械化的道路。

我们２０多年来有关几何定理的机器证明与发明不妨认为正是沿着这一道路走下来的。

不难看出，我国古代几何学的发展过程，与Descartes几何学相对照，在方向与方法上正相一致。

从Descartes著作问世到１９世纪以至今日，几何学有着蓬勃的空前发展。

仅举其大者。

１９世纪中出现了非欧几何、投影几何、直线几何、球几何以及与近世密码学与组合学等应用学科密切相关的有限几何。

更重要的是出现了影响到数学整个发展成为２０世纪核心部分的微分几何、代数几何与拓扑学（亦称连续几何）。

此外还有以群为标志Klein关于几何学的分类，以及以公理系统为标志的各种“非欧”几何如Cayley 几何等的分类。

在1９世纪之末，又出现了迄今再版至第１２版的Hilbert名著《几何基础》。

此书把欧几里得几何奠定于坚实的基础之上，并沟通了欧氏几何公理系统与Deseartes的座标系统，无异于在公理化与机械化之间搭起了一座桥梁。

美妙的几何定理也层出不穷，试举复投影几何中的下述定理为例：
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感谢你的观看复投影空间的一个三次曲面上，如果只含有限多条直线，则这样的直线恰有２７条。

活跃于整个１９世纪的投影几何，有着无数条美妙的定理。

但美国的代数几何学巨匠，现任世界数学会主席的Munford先生，却一概视之为破烂，而对上述２７条直线的定理，则情有独钟，誉之为破烂袋中的宝石。

这一定理叙述简明，但牵涉到的一些概念却极不简单，证明尤其困难，它需要现代代数几何学中一整套艰深的理论与方法。

１７世纪上半世纪解析几何的诞生，促使了下半世纪微积分的出现。

与此同时，也出现了以微分方程定义的几何图象的研究，即是早期的微分几何。

到１９世纪，更出现了内蕴的微分几何（Gauss)与黎曼几何，成为２０世纪最活跃且影响深远的数学学科之一。

１９世纪与２０世纪之交，法国的Poincar发表了一系列文章，创立了拓扑学。

在这些文章的第一篇中，Poincar以由一组解析方程所定义的几何图象，作为研究的对象，稍后又引进了复合形的概念，使某种程度的机械化考虑得以成立，从此拓扑学得以有飞跃的发展，迄今已成为当代数学中最有影响的学科之一。

诸如代数几何、微分几何与拓扑学与数学机械化的关系与展望，由于说来话长，在此不作深论。

不仅是这些现代最活跃的几何学，即使是最古老最初等的欧几里得几何，在１９世纪中也并不寂寞。

即使是一个小小的三角形，除了本书中所提到九点圆Feuerbach定理和Morley定理等外，还有着Brocard点以及与之相关的七点圆等，可谓美不胜收。

初等几何以其定理的简单易懂与证明的曲折直观却又难以捉摸而具有无比的魅力，吸引着无数的爱好者。

类似的几何定理与其不用座标的证明方式，往往统称为综合几何与综合证法，以区别于解析几何及其代数化的证法。

直到今天，美妙的综合几何定理还不时出现。

除了本书中已经提到的如Th bault-Taylor-周咸青定理，金字塔定理（国外有数学家称之为北京定理）以及非欧几何的许多定理之外，不妨再举两例。

美国代数学家S.Maclane对拓扑学有过重大贡献，从他的工作中曾提炼出下面的一个问题。

设平面上有八个互不相同的点，将这八个点巡回记为A1,A2,...A8,而A9=A1等。

每两个相继的点A i,A i+1及隔一个的点A i+3构成一三点组,这样的三点组共有8组。

假设每一组的三点都在一直线上，并称这时的８个点构成83点组。

问题是83点组的8个点是否必须在一直线上。

我们的方法给出了答案，如果平面是实的，则结论是对的，即８个点必须在一直线上。

但若平面是复的，则结论是否定的，而且可以给出所有可能8个点不在一直线上的83点组来。

我们的方法还可以讨论８点中某些点可以重合的那种所谓退化的情况。

匈牙利的著名数学家Erd s，曾得过Wolf奖。

有一个来源于Erd s的问题：假设平面上有５个点A1...,A5, 将这５个点两两相连可得１０条直线.在每一条连线A i A j上任感谢你的观看
感谢你的观看取一点B ij, 这样从给定的５点A i(i=1,...5)所得的１０点组B ij(i,j=1,...5; i<j)显然有无穷多个。

Erd s的问题是反过来如果任给１０个点B ij(i,j=1,...5;i<j), 是否可以找到５个点A i(i=1,...,5),使每一B ij恰在连线A i A j上。

Erd s的问题难倒了许多数学家，我们的方法证明了在一般情形下只能有有限多个５点组 A i 符合条件。

并进一步证明了此数是６，这基本上解决了Erd s问题。

几何作图也是一类诱人的问题，在１９世纪中叶得到充分的关注。

除了通常的规尺作图外，１９世纪的几何学家，还阐发了只用直尺或只用圆规之类的作图理论与作图方法。

在古希腊时代，就有求作一圆与三圆相切的Appolonius问题以及所谓几何三大问题。

１９世纪又出现了所谓求作三圆彼此相切且各与三角形的两边相切的Malfatti问题，更重要的是给出了可以规尺作图的充要条件。

例如Appolonius问题可以用规尺作出，而Malfatti问题则否。

Gauss更据以证明可以规尺作图的所有可能的正多边形，特别指出正１７边形可以用规尺作出，这一出人意表的成果使年轻的Gauss 决定献身数学。

在近代，也有源自著名数学家Zassenhaus与Van der Waerden的一个问题。

已知一个三角形的三条边，就可作出它的内外分角线来。

反过来，知道三角形的内外分角线的三条，是否可以作出相应的三角形来，就很不简单，但运用上述判准，却可以得到完全的解决，即一般说来光用规尺是不可能的。

像以上这些形形色色美妙有趣的定理相信还会层出不穷。

这样的定理，如果用通常的综合几何的方法来证，显然将是多而少功，难见其成的，甚至是无从入手的。

诸如此类来源各别性质各异的几何定理与几何问题，都已被我们一视同仁，通过座标与方程组，用统一的方法使用计算机这一新型的工具或是证明或是解决。

这个统一的方法，正是遵循我古代实质上是机械化的数学，从鸡兔共笼到盈不足术，到方程术又到天元术，导致几何的代数化，以及Descartes系统化了的通过座标转为方程求解这样一条机械化的道路所发展起来的。

上面把几何定理与几何问题的求证求解，通过座标的引入化为方程组的问题，这里的方程组是指多项式方程组。

正是通过对多项式方程组机械化解法的研究，才能获得以上列举种种各别的综合几何上的应用。

这一方法还已被应用于与实际应用有密切关系的有限几何，而且还已尝试用于谓词逻辑的命题证明，取得了与数理逻辑学家们用多种方法所得可以相当的成果（王浩先生的方法局限于最简单的命题逻辑）。

此外，我们还发展了多种新颖的几何定理证明方法：应用Clifford代数的内涵证法，例证法，以及可读证法等，在理论上，我们又发展了方程判别系统与构造性代数几何。

不仅如此，来自各门自然科学、工程技术，以及数学本身的形形色色问题，往往导致到各种形式的方程，特别是多项式方程组。

我们解多项式方程组的一般方法，也因之而可应用之于科学技术中多种多样的具体问题，因之而在八五期间，取得了不少具体成果。

例如：理论物理中的杨-Baxter方程与杨-Mills方程，非线性偏微分发展方程的行波解与孤立子解，平面常微分方程的极限环与有关问题，优化与极值问题，机械构造问题，四连杆设计问题，曲面造型问题，计算机视觉与小波问题等，种种应用感谢你的观看。