通化市七年级下册末数学试卷及答案

一、填空题
1．若20212a -=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．
答案：5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案．
【详解】
解：∵，且，均为整数，
又∵，，
∴可分为以下几种情况：
①，，
解得：，；
②，，
解得：或，；
③，
解析：5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案．
【详解】
解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，
又∵20210a -≥0≥，
∴可分为以下几种情况：
①20210a -=2，
解得：2021a =，2017b =-；
②20211a -=1=，
解得：2020a =或2022a =，2020b =-；
③20212a -=0
解得：2019a =或2023a =，2021b =-；
∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组；
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．
2．将一副三角板中的两块直角三角板的顶点C 按如图方式放在一起，其中30A ∠=︒，
45E ECD ∠=∠=︒，且B 、C 、D 三点在同一直线上．现将三角板CDE 绕点C 顺时针转动α度（0180α︒<<︒），在转动过程中，若三角板CDE 和三角板ABC 有一组边互相平行，则转动的角度α为__________．
答案：或或
【分析】
分三种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：若和只有一组边互相平行，分三种情况：
①若，则；
②若，则；
③当时，，
故答案为：或或．
【点睛】
本题考查了三角板的角度
解析：30或45︒或90︒
【分析】
分三种情况讨论，由平行线的性质可求解．
【详解】
解：若CDE ∆和ABC ∆只有一组边互相平行，分三种情况：
①若//DE AC ，则180********α=︒-︒-︒-︒=︒；
②若//CE AB ，则180********α=︒-︒-︒-︒=︒；
③当//DE BC 时，90α=︒，
故答案为：30或45︒或90︒．
【点睛】
本题考查了三角板的角度运算，平行线的性质，掌握旋转的性质是本题的关键． 3．在平面直角坐标系中，已知A （0，a ），B （b ，0），其中a ，b 满足|a ﹣2|＋（b ﹣3）2＝0．点M 的坐标为（32
-，1），点N 是坐标轴的负半轴上的一个动点，当四边形ABOM 的面积与三角形ABN 的面积相等时，此时点N 的坐标为___________________． 答案：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】
分点N 在x 轴的负半轴上或y 轴的负半轴上两种情况讨论即可．
【详解】
∵|a ﹣2|＋（b ﹣3）2＝0．
∴a ＝2，b ＝3，
∴A （0，2），B （3，0），
∵
解析：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）
【分析】
分点N 在x 轴的负半轴上或y 轴的负半轴上两种情况讨论即可．
【详解】
∵|a ﹣2|＋（b ﹣3）2＝0．
∴a ＝2，b ＝3，
∴A （0，2），B （3，0），
∵点M 的坐标为（32-，1）， ∴四边形ABOM 的面积＝S △AMO ＋S △ABO 12=
⨯23122⨯+⨯2×392=， 当点N 在y 轴的负半轴上时，12•AN •OB 92=
， ∴AN ＝3，ON ＝AN ﹣OA ＝1，
∴点N 的坐标为（0，﹣1），
当点N 在x 轴负半轴上时，12•BN •AO 92
=
， ∴BN ＝4.5，ON ＝BN ﹣OB ＝1.5，
∴点N 的坐标为（﹣1.5，0）， 综上所述，满足条件的点N 的坐标为（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
故答案为：（0，﹣1）或（﹣1.5，0）．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，非负数的性质，多边形面积等知识，关键是学会利用分割法求四边形的面积，用分类讨论思想思考问题．
4．如图所示的平面直角坐标系中，有一系列规律点，它们分别是以O 为顶点，边长为正整数的正方形的顶点，A 1(0，1)，A 2(1，1)，A 3(1，0)，A 4(2，0)，A 5(2，2)，A 6(0，2)，A 7(0，3)，A 8(3，3)……依此规律A 100坐标为________．
答案：(34，0)
【分析】
本题是一道关于数字猜想的问题，根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第100个所在位置即可得出答案．
【详解】
解：∵A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A
解析：(34，0)
【分析】
本题是一道关于数字猜想的问题，根据已知条件得出坐标之间每三个增加一次，找出第100个所在位置即可得出答案．
【详解】
解：∵A1（0，1）、A2（1，1）、A3（1，0）、A4（2，0）、A5（2，2）、A6（0，2）、A7（0，3）、A8（3，3）…，
∴数据每隔三个增加一次，100÷3得33余1，则点A在x轴上，
故A100坐标为（34，0），
故答案为：（34，0）
【点睛】
本题考查了规律型-点的坐标：通过特殊到一般解决此类问题，利用前面正方形的边长与字母A的脚标数之间的联系寻找规律．
5．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点O出发，按向右、向上、向右、向下…的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…第n次移动到A n，则A2021的坐标是___________．
答案：（1011，0）
【分析】
根据图象可得移动4次完成一个循环，从而可得出点A2021的坐标．
【详解】
解：A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，
解析：（1011，0）
【分析】
根据图象可得移动4次完成一个循环，从而可得出点A2021的坐标．
【详解】
解：A1（1，0），A2（1，1），A3（2，1），A4（2，0），A5（3，0），A6（3，1），…，2021÷4＝505•••1，
所以A2021的坐标为（505×2+1，0），
则A2021的坐标是（1011，0）．
故答案为：（1011，0）．
【点睛】
本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．
6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排行，如（0，1），（0，2），（1，2），（1，3），（0，3），（-1，3），......根据这个规律探索可得，第40个点的坐标为_____________．
答案：（1，9）
【分析】
观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第40个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【详解】
解析：（1，9）
【分析】
观察可知，纵坐标的数值与点的个数相等，然后求出第40个点的纵坐标，以及在这一坐标中的序数，再根据纵坐标是奇数的从右到左计数，纵坐标是偶数的从左到右计数，然后解答即可．
【详解】
解：（0，1），共1个，
（0，2），（1，2），共2个，
（1，3），（0，3），（-1，3），共3个，
…，
依此类推，纵坐标是n的共有n个坐标，
1+2+3+…+n=
()1
2
n n+
，
当n=9时，
()
991
2
+
=45，
所以，第40个点的纵坐标为9，
45-40-(9-1)÷2=1，
∴第40个点的坐标为（1，9）．
故答案为：（1，9）．
【点睛】
本题考查了点的坐标与规律变化问题，观察出纵坐标的数值与相应的点的坐标的个数相等是解题的关键．
7．如果表示a 、b 的实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a ﹣b|+2()a b +的结果是_____．
答案：﹣2b
【详解】
由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣b|+=a ﹣b+[﹣（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．
故答案为﹣2b ．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对
解析：﹣2b
【详解】
由题意得：b ＜a ＜0，然后可知a-b ＞0，a+b ＜0，因此可得|a ﹣()2a b +=a ﹣b+[﹣
（a+b ）]=a ﹣b ﹣a ﹣b=﹣2b ．
故答案为﹣2b ．
点睛：本题主要考查了二次根式和绝对值的性质与化简．特别因为a ．b 都是数轴上的实数，注意符号的变换．
8．按一定规律排列的一列数依次为：2-，5，10-，17，26-，，按此规律排列下去，这列数中第9个数及第n 个数（n 为正整数）分别是__________． 答案：；
【详解】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有， 又因为，，，，，所以第n 个数的绝对值是，
所以第个数是，第n 个数是，故答案为-82，.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运
解析：82-；2(1)(1)n n -⋅+
【详解】
观察这一列数，各项的符号规律是奇数项为负，偶数项为正，故有(1)n -，
又因为2211=+，2521=+，21031=+，21741=+，，所以第n 个数的绝对值是21n +，
所以第9个数是92(1)(91)82-⋅+=-，第n 个数是2(1)(1)n n -⋅+，故答案为-82，
2(1)(1)n n -⋅+.
点睛：本题主要考查了有理数的混合运算，规律探索问题通常是按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律，揭示的式子的变化规律，常常把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的规律．
9．现定义一种新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ⊗b=a 2﹣b ，例如3⊗2=32﹣2=7，2⊗（﹣1）=_____．
答案：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：5
【解析】利用题中的新定义可得：2⊗（﹣1）=4﹣（﹣1）=4+1=5.
故答案为：5．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
10．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a 和b ，规定a ☆b=
． 例如：(-3)☆2= 3232
2-++-- = 2．
从﹣8，﹣7，﹣6，﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5，6，7，8，中任选两个有理数做a ，b(a≠b)的值，并计算a ☆b ，那么所有运算结果中的最大值是_____． 答案：8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b= =a ，a 最大为8；
当a ＜b 时，a ☆b==b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 解析：8
【解析】
解：当a ＞b 时，a ☆b =
2a b a b ++- =a ，a 最大为8； 当a ＜b 时，a ☆b =2a b a b
++-=b ，b 最大为8，故答案为：8．
点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．在研究“数字黑洞”这节课中，乐乐任意写下了一个四位数（四数字完全相同的除
外），重新排列各位数字，使其组成一个最大的数和一个最小的数，然后用最大的数减去最小的数，得到差:重复这个过程，……，乐乐发现最后将变成一个固定的数，则这个固定的数是__________．
答案：6174
【分析】
任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234，
4321- 1234= 3087，
8730-378= 8352 ，
8532一2358= 617
解析：6174
【分析】
任选四个不同的数字，组成个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，如1234， 4321- 1234= 3087，
8730-378= 8352 ，
8532一2358= 6174，6174是符合条件的4位数中唯一会产生循环的(7641-1467= 6174) 这个在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想.
【详解】
任选四个不同的数字，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，用所得的结果的四位数重复上述的过程，最多七步必得6174，如1234，
4321-1234 =3087，8730 -378 = 8352，
8532-2358= 6174，这一现象在数学上被称之为卡普耶卡(Kaprekar)猜想，
故答案为：6174.
【点睛】
此题考查数字的规律运算，正确理解题意通过计算发现规律并运用解题是关键. 12．观察等式：2111==，21342+==，213593++==，21357164+++==，……猜想13572019++++⋅⋅⋅+=______.
答案：【分析】
观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…根据规律即可猜想从1开始的连续n 个奇数的和，据此可解.
【详解】
解：∵从
解析：【分析】
观察给出的等式得到：从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…根据规律即可猜想从1开始的连续n 个奇数的和，据此可解.
【详解】
解：∵从1开始的连续2个奇数和是22，连续3个奇数和是32，连续4个，5个奇数和分别为42，52…；
∴从1开始的连续n 个奇数的和：1+3+5+7+…+（2n-1）=n 2；
∴2n-1=2019；
∴n=1010；
∴1+3+5+7…+2019=10102；
故答案是：10102.
【点睛】
此题主要考查学生对规律型题的掌握，关键是要对给出的等式进行仔细观察分析，发现规律，根据规律解题．
13．我们可以用符号f (a )表示代数式．当a 是正整数时，我们规定如果a 为偶数，f (a )＝0.5a ；如果a 为奇数，f (a )＝5a +1．例如：f (20)＝10，f (5)＝26．设a 1＝6，a 2＝f (a 1)，a 3＝f (a 2)…；依此规律进行下去，得到一列数：a 1，a 2，a 3，a 4…(n 为正整数)，则2a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+…+a 2013﹣a 2014+a 2015＝_____．
答案：7
【分析】
本题可以根据代数式f （a ）的运算求出a1，a2，a3，a4，a5，a6 ，a7的值，根据规律找出部分an 的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论
解析：7
【分析】
本题可以根据代数式f （a ）的运算求出a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6 ，a 7的值，根据规律找出部分a n 的值，进而发现数列每7个数一循环，根据数的变化找出变化规律，依照规律即可得出结论．
【详解】
解：观察，发现规律：a 1=6，a 2=f （a 1）=3，a 3=f （a 2）=16，a 4=f （a 3）=8，a 5=f （a 4）=4，a 6=f （a 5）=2，a 7=f （a 6）=1，a 8=f （a 7）=6，…，
∴数列a 1，a 2，a 3，a 4…（n 为正整数）每7个数一循环，
∴a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 13-a 14=0，
∵2015=2016-1=144×14-1，
∴2a 1-a 2+a 3-a 4+a 5-a 6+…+a 2013-a 2014+a 2015=a 1+a 2016+（a 1-a 2+a 3-a 4+a 5-a 6+…+a 2015-a 2016）=a 1+a 7=6+1=7．
故答案为7．
【点睛】
本题考查了规律型中的数字的变化类以及代数式求值，解题的关键是根据数的变化找出变换规律，并且巧妙的借助了a 1-a 2+a 3-a 4+…+a 13-a 14=0来解决问题．
14．如图，在平面直角坐标系中，一电子蚂蚁按照设定程序从原点O 出发，按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点()1,2，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()2,2-，第4次接着运动到点()4,2-，第5次接着运动到点()4,0，第6次接着运动到点()5,2．…按这样的运动规律，经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是_________．
答案：（1617，2）
【分析】
根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，
4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为2，0，-
解析：（1617，2）
【分析】
根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标的为1，2，2，4，4，4+1，4+2，
4+2，4+4，4+4，每5次一轮，每次比前一次起始多4，这一规律纵坐标为2，0，-2，-2，0，…，每5次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】
解：前五次运动横坐标分别为：1，2，2，4，4，
第6到10次运动横坐标分别为：4+1，4+2，4+2，4+4，4+4，
…
∴第5n+1到5n+5次运动横坐标分别为：4n+1，4n+2，4n+2，4n+4，4n+4，
前五次运动纵坐标分别2，0，-2，-2，0，
第6到10次运动纵坐标分别为2，0，-2，-2，0，
…
∴第5n+1到5n+5次运动纵坐标分别为2，0，-2，-2，0，
∵2021÷5=404…1，
∴经过2021次运动横坐标为=4×404+1=1617，经过2021次运动纵坐标为2，
∴经过2021次运动后，电子蚂蚁运动到的位置的坐标是（1617，2）．
故答案为：（1617，2）．
【点睛】
此题主要考查了点的坐标规律，培养学生观察和归纳能力，从所给的数据和图形中寻求规律进行解题是解答本题的关键．
15．将1236按如图方式排列．若规定m，n表示第m排从左向右第n个数，7,3所表示的数是___________．
则()
答案：【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：
1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列
解析：6
【分析】
根据数的排列方法可知，第一排：1个数，第二排2个数．第三排3个数，第四排4个数，…第m-1排有（m-1）个数，从第一排到（m-1）排共有：1+2+3+4+…+（m-1）个数，根据数的排列方法，每四个数一个轮回，根据题目意思找出第m排第n个数到底是哪个数后再计算．
【详解】
解：（7，3）表示第7排从左向右第3个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1，
1+2+3+4+5+6+3=24，
24÷4=6，
则（7，3）所表示的数是6，
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了数字的变化规律，这类题型在中考中经常出现．判断出所求的数是第几个数是解决本题的难点；得到相应的变化规律是解决本题的关键．
16．如图所示一个质点在第一象限内及x轴、y轴上运动，在第一秒内它由原点移动到(0,1)点，而后接着按图所示在x轴，y轴平行的方向运动，且每秒移动一个单位长度，那么质点运动到点(n,n)（n为正整数）的位置时，用代数式表示所用的时间为_________秒.
答案：n(n+1)；
【解析】
分析：归纳走到（n，n）处时，移动的长度单位及方向即可．
详解：质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2，方向向右；
质点到达(2,2)处，走过的长度单位是6=2+4，方向
解析：n(n+1)；
【解析】
分析：归纳走到（n ，n ）处时，移动的长度单位及方向即可．
详解：质点到达(1,1)处，走过的长度单位是2，方向向右；
质点到达(2,2)处，走过的长度单位是6=2+4，方向向上；
质点到达(3,3)处，走过的长度单位是12=2+4+6，方向向右；
质点到达(4,4)处，走过的长度单位是20=2+4+6+8，方向向上；
…,
质点到达(n ,n )处,走过的长度单位是2+4+6+…+2n =n (n +1)，
点睛：本题属于归纳推理，要归纳出质点运动到点（n,n ）处的时间可先推出质点运动到点（1,1）点（2,2）点（3,3）点（4,4）所需的时间（单位长度），发现其中的规律进而归纳出质点运动到点（n,n ）处的时间.其中需知道2+4+6+…+2n =n (n +1)即可.
17．对两数a ，b 规定一种新运算：2a b ab ⊗=，例如：2422416⊗=⨯⨯=，若不论x 取何值时，总有a x x ⊗=，则a =______．
答案：【分析】
将，转化为2ax=x 来解答．
【详解】
解：∵可转化为：2ax=x ，
即，
∵不论x 取何值，都成立，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查实数的运算，正确理解题目中的新运算是 解析：1
2
【分析】
将a x x ⊗=，转化为2ax=x 来解答．
【详解】
解：∵a x x ⊗=可转化为：2ax=x ，
即()210a x -=，
∵不论x 取何值，()210a x -=都成立，
∴210a -=， 解得：12a =， 故答案为：12
．
【点睛】
本题考查实数的运算，正确理解题目中的新运算是解题的关键．
18．定义运算“@”的运算法则为：x@y=xy 4+，则2@6 =____．
答案：4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=，
∴2@6==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子． 解析：4
【分析】
把x=2，y=6代入x@y=xy 4+中计算即可．
【详解】
解：∵x@y=xy 4+，
∴2@6=26416⨯+==4，
故答案为4．
【点睛】
本题考查了有理数的运算能力，注意能由代数式转化成有理数计算的式子．
19．如图，已知//AB CD ，CE 、BE 的交点为E ，现作如下操作：
第一次操作，分别作ABE ∠和DCE ∠的平分线，交点为1E ，
第二次操作，分别作1ABE ∠和1DCE ∠的平分线，交点为2E ，
第三次操作，分别作2ABE ∠和2DCE ∠的平分线，交点为3E ，
…，
第n 次操作，分别作1n ABE -∠和1n DCE -∠的平分线，交点为n E ．
若BEC α∠=，则n E ∠的度数是__________．
答案：【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，
解析：1
2n α
⎛⎫
⎪
⎝⎭
【分析】
先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出
∠B=∠1，∠C=∠2，进而得到∠BEC=∠ABE+∠DCE；根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为
E1，则可得出∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1=1
2∠ABE+1
2
∠DCE=1
2
∠BEC；同理可得
∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2=1
2∠ABE1+1
2
∠DCE1=1
2
∠CE1B=1
4
∠BEC；根据∠ABE2和∠DCE2的平
分线，交点为E3，得出∠BE3C=1
8
∠BEC；…据此得到规律∠E n=
n
1
2
∠BEC，最后求得度数．
【详解】
如图1，
过E作EF∥AB．
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B=∠1，∠C=∠2．∵∠BEC=∠1+∠2，
∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；如图2：
∵∠ABE 和∠DCE 的平分线交点为E 1，
∴∠CE 1B =∠ABE 1+∠DCE 1=12∠ABE +12∠DCE =12∠BEC ．
∵∠ABE 1和∠DCE 1的平分线交点为E 2，
∴∠BE 2C =∠ABE 2+∠DCE 2=12∠ABE 1+12∠DCE 1=12∠CE 1B =14∠BEC ； ∵∠ABE 2和∠DCE 2的平分线，交点为E 3，
∴∠BE 3C =∠ABE 3+∠DCE 3=12∠ABE 2+12∠DCE 2=12∠CE 2B =18
∠BEC ； …
以此类推，∠E n =
n
12∠BEC ， ∵BEC α∠=， ∴n E ∠的度数是12n
⎛⎫ ⎪⎝⎭
α． 故答案为：12n ⎛⎫ ⎪⎝⎭
α． 【点睛】
本题考查了角平分线的定义以及平行线性质：两直线平行，内错角相等的运用．解决问题的关键是作平行线构造内错角，解题时注意：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．
20．如图， 已知//AB CF ，//CF DE ， 90BCD ∠=︒，则D B ∠-∠=_________
答案：90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D 的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠
解析：90°
【分析】
根据AB∥CF，可得出∠B和∠BCF的关系，根据CF∥DE，可得出∠FED和∠D的关系，合并即可得出∠D―∠B的大小
【详解】
∵AB∥CF，∴∠B=∠BCF
∵CF∥DE
∴∠FCD+∠D=180°
∴∠FCD+∠D－∠B=180°－∠BCF，化简得：∠D－∠B=180°－(∠BCF+∠FCD)
∵∠BCD=90°，∴∠BCF+∠FCD=90°
∴∠D―∠B=90°
故答案为：90°
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题关键是将∠BCD分为∠BCF和∠FCD，然后利用平行线的性质进行角度转换．
21．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即PQ∥MN．如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度．若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
答案：30或110
【分析】
分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】
解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当
解析：30或110
【分析】
分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】
解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】
本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
22．如图,AB∥CD,BF平分∠ABE,DF平分∠CDE,∠BFD=35°，那么∠BED的度数为_______.
答案：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥A
解析：70°
【分析】
此题要构造辅助线：过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．然后运用平行线的性质进行推导．
【详解】
解：如图所示，过点E，F分别作EG∥AB，FH∥AB．
∵EG∥AB，FH∥AB，
∴∠5=∠ABE，∠3=∠1，
又∵AB∥CD，
∴EG∥CD，FH∥CD，
∴∠6=∠CDE，∠4=∠2，
∴∠1+∠2=∠3+∠4=∠BFD=35°．
∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，
∴∠ABE=2∠1，∠CDE=2∠2，
∴∠BED=∠5+∠6=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×35°=70°．
故答案为70°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，根据题中的条件作出辅助线EG∥AB，FH∥AB，再灵活运用平行线的性质是解本题的关键．
23．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝
40°，则∠E＝_____度．
答案：80
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
解析：80
【详解】
如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1
2
∠CPE=∠F+∠1，
∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.
故答案为80.
24．如图，已知∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，∠CDB＝∠CBD，BE平分∠CBF，若∠DBE＝59°，则∠DFB＝___．
答案：【分析】
根据题意可得，设，分别表示出，进而根据平行线的性质可得∠DFB．
【详解】
∠A＝（60﹣x）°，∠ADC＝（120+x）°，
，
，
，
，
，
BE 平分∠CBF ，
，
设，
∠DB
解析：62︒
【分析】
根据题意可得//AB CD ，设EBF EBC α∠=∠=，分别表示出,ABD DBF ∠∠，进而根据平行线的性质可得∠DFB ．
【详解】
∠A ＝（60﹣x ）°，∠ADC ＝（120+x ）°，
180A ADC ∴∠+∠=︒，
//AB CD ∴，
CDB ABD ∴∠=∠，
CDB CBD ∠=∠，
ABD CBD ∴∠=∠，
BE 平分∠CBF ，
EBF EBC ∴∠=∠，
设EBF EBC α∠=∠=，
∠DBE ＝59°，
∴59DBF α∠=︒-，
59ABD DBC α∴∠=∠=︒+，
5959118ABF ABD DBF αα∴∠=∠+∠=︒++︒-=︒，
//AB CD ，
180********DFB ABF ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒．
故答案为：62︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，证明//AB CD 是解题的关键． 25．已知：如图，CD 平分ACB ∠，12180∠+∠=︒，3A ∠=∠，440∠=︒，则CED ∠=___．
答案：100°
【分析】
先由同位角相等，证得，进而证得，再由平行线的性质得出与的数量关系，然后由已知条件求得，最后用减去，即可求得答案．
【详解】
解：，
平分，
故答案为：．
【点睛
解析：100°
【分析】
先由同位角相等，证得//EF AB ，进而证得//AC DE ，再由平行线的性质得出CED ∠与ACB ∠的数量关系，然后由已知条件求得ACB ∠，最后用180︒减去ACB ∠，即可求得答案．
【详解】
解：12180∠+∠=︒，1180BDC ∠+∠=︒
2BDC ∴∠=∠
//EF AB ∴
3BDE ∴∠=∠
3A ∠=∠
A BDE ∴∠=∠
//AC DE ∴
180ACB CED ∴∠+∠=︒ CD 平分ACB ∠，440∠=︒
2424080ACB ∴∠=∠=⨯︒=︒
180********CED ACB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒
故答案为：100︒．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相关判定定理与性质定理． 26．如图，将一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，点D 、C 分别落在点D '、C ′的位置处，若∠1＝56°，则∠EFB 的度数是___．
答案：62°
【分析】
根据折叠性质得出∠DED′=2∠DEF ，根据∠1的度数求出∠DED′，即可求出∠DEF 的度数，进而得到答案．
【详解】
解：由翻折的性质得：∠DED′=2∠DEF ，
∵∠1=56°
解析：62°
【分析】
根据折叠性质得出∠DED ′=2∠DEF ，根据∠1的度数求出∠DED ′，即可求出∠DEF 的度数，进而得到答案．
【详解】
解：由翻折的性质得：∠DED ′=2∠DEF ，
∵∠1=56°，
∴∠DED ′=180°-∠1=124°，
∴∠DEF =62°，
又∵AD ∥BC ，
∴∠EFB =∠DEF =62°．
故答案为：62°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，翻折变换的性质，邻补角定义的应用，熟记折叠的性质是解题的关键．
27．如图，将一副三角板按如图放置（60E ∠=︒，45B ∠=︒），则下列结论： ①13∠=∠；
②如果230∠=︒，则有//BC AE ；
③如果123∠=∠=∠，则有//BC AE ；
④如果//AB ED ，必有30EAC ∠=︒．
其中正确的有___（填序号）．
答案：①③④
【分析】
根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．
【详解】
解：，
，故①正确，
当时，，，
，
故与不平行，故②错误，
当时，可得，
，故③正确，
取与的交点为，
，，
，
，
解析：①③④
【分析】
根据三角板的性质以及平行线的判定一一判断即可．
【详解】
解：90EAD CAB ∠=∠=︒，
13∠∠∴=，故①正确，
当230∠=︒时，360∠=︒，445∠=︒，
34∴∠≠∠，
故AE 与BC 不平行，故②错误，
当123∠=∠=∠时，可得3445∠=∠=︒，
//BC AE ∴，故③正确，
取AC与ED的交点为F，
AB ED，
∠=︒，//
E
60
∴∠=∠=︒，
FAB EFA
90
EAC
∴∠=︒-︒=︒，
906030
故④正确，
故答案是：①③④．
【点睛】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角板的性质．
28．有长方形纸片，E，F分别是AD，BC上一点∠DEF＝x（0°＜x＜45°），将纸片沿EF折叠成图1，再沿GF折叠成图2．
∠'＝_____度；
（1）如图1，当x＝32°时，FGD
（2）如图2，作∠MGF的平分线GP交直线EF于点P，则∠GPE＝_____（用x的式子表示）．
答案：2x
【分析】
（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即
解析：2x
【分析】
（1）由长方形的对边是平行的，得到∠BFE＝∠DEF＝30°，根据三角形外角的性质得到
∠EGB＝∠BFE+∠DEF＝60°，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝60°，即可得到∠GFC′＝180°﹣∠FGD′＝120°；
（2）由长方形的对边是平行的，设∠BFE＝∠DEF＝x，根据三角形外角的性质得到∠EGB ＝∠BFE+∠D′EF＝2x，由对顶角的性质得到∠FGD′＝∠EGB＝2x，由折叠可得∠MGF＝
∠D′GF＝2x，由角平分线的定义得到∠PGF＝x，再根据三角形外角的性质得到∠GPE，从而求解．
【详解】
解：（1）由折叠可得∠GEF＝∠DEF＝32°，
∵长方形的对边是平行的，
∴∠DEG＝∠FGD′，
∴∠DEG＝∠GFE+∠DEF＝64°，
∴∠FGD′＝∠EGD＝64°，
∴当x＝30度时，∠GFD′的度数是64°．
故答案为：64；
（2）∠GPE＝2∠GEP＝2x．
由折叠可得∠GEF＝∠DEF，
∵长方形的对边是平行的，
∴设∠BFE＝∠DEF＝x，
∴∠EGB＝∠BFE+∠D′EF＝2x，
∴∠FGD′＝∠EGB＝2x，
由折叠可得∠MGF＝∠D′GF＝2x，
∵GP平分∠MGF，
∴∠PGF＝x，
∴∠GPE＝∠PGF+∠BFE＝2x，
∴∠GPE＝2∠GEP＝2x．
故答案为：∠GPE＝2x．
【点睛】
本题考查翻折变换的性质、平行线的性质，熟悉掌握相关知识点并准确识图，理清翻折前后重叠的角是解题的关键．
29．一副三角板按如图所示（共定点A）叠放在一起，若固定三角板ABC，改变三角板ADE的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝___°时，DE∥AB．
答案：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D
解析：30或150
【分析】
分两种情况，根据ED∥AB，利用平行线的性质，即可得到∠BAD的度数．
【详解】
解：如图1所示：当ED∥AB时，∠BAD=∠D=30°；
如图2所示，当ED∥AB时，∠D=∠BAD=180°，
∵∠D=30°
∴∠BAD=180°-30°=150°；
故答案为：30°或150°．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由直线的平行关系来寻找角的数量关系．
30．对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数，例如[3.14]=3，[﹣7.59]=﹣8，则关于x的
方程[34
7
x-
]=2的整数解为_____．
答案：6，7，8
【解析】
【分析】根据已知可得，解不等式组，并求整数解可得. 【详解】因为，,
所以，依题意得，
所以，，
解得,
所以，x的正数值为6，7，8.
故答案为：6，7，8.
【点睛】此题
解析：6，7，8
【解析】
【分析】根据已知可得
34
23
7
x-
≤，解不等式组，并求整数解可得.
【详解】因为，
34
2
7
x-
⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
,
所以，依题意得
34
23
7
x-
≤，
所以，
34
2
7
34
3
7
x
x
-
⎧
≤
⎪⎪
⎨
-
⎪
⎪⎩
，
解得
1 68
3
x
≤,
所以，x的正数值为6，7，8.
故答案为：6，7，8.
【点睛】此题属于特殊定义运算题，解题关键在于正确理解题意，列出不等式组，求出解集，并确定整数解.
31．甲、乙两人玩摸球游戏，从放有足够多球的箱子中摸球，规定每人最多两种取法，甲每次摸4个或（3－k）个，乙每次摸5个或（5－k）个(k是常数，且0＜k＜3)；经统计，甲共摸了16次，乙共摸了17次，并且乙至少摸了两次5个球，最终两人所摸出的球的总个数恰好相等，那么箱子中至少有球__________个.
答案：110
【详解】
设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2，
当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2
解析：110
【详解】
设甲取了x次4个球，取了（16-x）次（3-k）个球，乙取了y次5个球，取了（17-y）次（5-k）个球，依题意k=1，2，
当k=1时，甲总共取球的个数为4x+2（16-x）=2x+32，乙总共取球的个数为5y+4（17-y）=y+68，
当k=2时，甲总共取球的个数为4x+（16-x）=3x+16，乙总共取球的个数为5y+3（17-y）=2y+51，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等可得：
①2x+32=y+68，即y=2x-34，由x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；
②2x+32=2y+51，即2x+2y=19，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；
③3x+16=y+68，即y=3x-52，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，不合题意，舍去；
④3x+16=2y+51，即
235
3
y
x
+
=，因x≤16，2≤y≤17且x、y为正整数，可得x=13，y=2或
x=15，y=5；所以当x=13，y=2，球的个数为3×13+16+2×2+51=110个；当x=15，y=5，球的个数为3×15+16+2×5+51=122个，所以箱子中至少有球110个.
【点睛】
本题主要考查了二元一次方程的整数解，解题时根据实际情况先确定k的值，然后表示出甲取得球的数目和乙取得球的数目，根据最终两人所摸出的球的总个数恰好相等列出二元一次方程，求整数解即可，注意分4种情况.
32．已知2153
+1
32
x x
x
--
≥-，则代数式23
x x
--+最大值与最小值的差是________．
答案：【分析】
首先解一元一次不等式，解题时要注意系数化一时：系数是-11，不等号的方向要改变．在去绝对值符号时注意：当a为正时，|a|=a；当a为0时，|a|=0；。