双曲线题型归纳之直线与双曲线

第6讲 直线与双曲线
一、直线与双曲线的交点个数
设直线l ：0Ax By C ++=，双曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨
=⎩
，消去y （或消去x ）得：20ax bx c ++=． （1）若0a ≠，24b ac ∆=-，0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；
（2）若0a =，得到一个一次方程，则此时l 与双曲线的渐近线平行.
【例1】已知直线l ：kx y =，双曲线C ：13
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2=-y x ，试讨论直线l 与双曲线C 的交点个数.
【练习】已知直线y=kx-1与双曲线x 2-y 2=4,试讨论实数k 的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点 (2)有两个公共点
(3)只有一个公共点 (4)交于异支两点 (5)与左支交于两点
【例2】直线1y kx =-与双曲线224x y -=的一支有两个相异公共点，求k 的取值范围．
【练习】直线1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点．
①当a 为何值时，A 、B 分别在双曲线的两支上？
②当a 为何值时，以AB 为直径的圆过坐标原点？
二、弦长公式 ()()2122122
1221241141y y y y k x x x x k AB -++=-++= 【例3】过双曲线2
212
y x -=的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若4AB =，则满 足条件的直线l 有（ ）
.A 2条 .B 3条 .C 4条 .D 无数条
【例4】1.已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为2，过其右焦点且倾斜角为45的直线被双曲线截得的弦MN 的长为6．
⑴求此双曲线的方程；
⑵若直线:l y kx m =+与该双曲线交于两个不同点A 、B ，且以线段AB 为直径的圆过原点，求定点(01)Q -，到直线l 的距离d 的最大值，并求此时直线l 的方程．
【练习】1.已知双曲线()22
22:100x y C a b a b
-=>>，右准线方程为x =． ⑴求双曲线2的方程；
⑵设直线l 是圆22:2O x y +=上动点()()00000P x y x y ≠，处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点A B ，，证明AOB ∠的大小为定值．
2.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A 、B 两点，F 1为左焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．
三、中点弦问题
【例5】以P （1，8）为中点作双曲线为y 2-4x 2=4的一条弦AB ，求直线AB 的方程.
【练习】已知双曲线的方程为2
2
13y x -=. ()1求以点()2,1A 为中点的弦所在的直线方程；
()2以点()1,1B 为中点的弦是否存在？若存在，求出弦所在的直线方程；若不存在， 请说明理由.
结论：过一点()00y x P ，作双曲线122
22=-b y a x 的弦AB ，若点P 为AB 中点，则0202y a x b k AB =（方法：将A ()11y x ，、B ()22y x ，两点坐标代入双曲线方程，然后两个方程作差得出结论）
四、课后练习
1.直线1-=kx y 与双曲线19
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2=-y x 有且只有一个交点，则k 为（ ） A 、210±=k B 、23±=k C 、23210±=±=k k 或 D 、φ 2.已知双曲线22
221(00)x y a b a b
-=>>，的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）
A ．(12]，
B ．(12)，
C ．[2)+∞，
D ．(2)+∞，
3.已知双曲线17
2
2=-y m x ，直线l 过其左焦点1F ，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB|=4，2F 为双曲线的右焦点，△2ABF 的周长为20，则m 的值为（ ）
A ．8
B ．9
C ．16
D ．20
4.已知121(0,0),m n m n
+=>>当mn 取
得最小值时，直线2y =+与曲线x x m +1y y n
=的交点个数为___________. 5.已知双曲线C 的方程为()22
22100y x a b a b
-=>>，
，离心率e =，顶点到渐近线的距离为． ⑴求双曲线C 的方程；
⑵如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一、
二象限，若AP PB λ=，123λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，求AOB ∆面积的取值范围．。