基于高斯随机向量统计特性的卡尔曼滤波器推导方法
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第 18 卷 第 5 期 2019 年 5 月
软件导刊 S软oftw件are导Gu刊ide
Vol. 18 No. 5 May2. 0210199年
基于高斯随机向量统计萍 2
（1. 海军驻上海地区第一军事代表室，上海 201913；2. 中国船舶工业系统工程研究院，北京 100094）
为 了 寻 求 一 种 简 单 、直 观 且 系 统 的 卡 尔 曼 滤 波 推 导 方
收稿日期：2019-03-20 基金项目：国家自然科学基金项目（61401024） 作 者 简 介 ：唐 子 奇（1991-），男 ，海 军 驻 上 海 地 区 第 一 军 事 代 表 室 助 理 工 程 师 ，研 究 方 向 为 舰 船 信 息 系 统 ；谢 岚（1976-），女 ，中 国 船 舶 工
卡尔曼滤波是离散时间状态空间线性模型下的最小 均 方 误 差 估 计 ，而 ［10-11］ 在 卡 尔 曼 滤 波 递 归 过 程 中 传 递 的 是 目 标 状 态 估 计 均 值 与 误 差 协 方 差 矩 阵 。 因 此 ，典 型 的 卡 尔 曼滤波器推导方法是利用线性最小均方误差估计准则寻 找使误差最小的目标状态估计 。 ［12-13］ 该方法中涉及许多向 量 与 矩 阵 的 数 学 计 算 ，计 算 过 程 较 为 复 杂 。 因 此 ，该 推 导 方 式 适 合 数 学 功 底（特 别 是 随 机 过 程 相 关 知 识）比 较 深 厚 的 研 究 人 员 。 文 献［14］从 一 列 火 车 沿 铁 路 运 动 这 一 简 单 跟 踪 问 题 出 发 ，利 用 两 个 高 斯 概 率 密 度 函 数 乘 积 依 然 服 从 高斯分布的性质推导了卡尔曼滤波。
0 引言
为 了 克 服 维 纳 滤 波 器 工 程 实 现 较 为 困 难 的 缺 点 ，1960 年 匈 牙 利 数 学 家 Rudolf Emil Kalman 提 出 了 卡 尔 曼 滤 波 器 。 ［1-2］ 卡 尔 曼 滤 波 器 提 出 至 今 已 将 近 60 年 ，并 被 广 泛 应 用 于 各 个 领 域［3-9］，但 其 依 然 是 目 标 跟 踪 与 数 据 融 合 等 领 域 最 有 效 且 常 用 的 工 具 之 一 。 因 此 ，有 必 要 对 其 递 推 方 程 进 行 推 导 ，从 基 本 数 学 公 式 深 入 理 解 卡 尔 曼 滤 波 器 的 每 条 方 程 ，以 便 能 更 加 灵 活 地 加 以 应 用 ，或 根 据 具 体 应 用 情 况 对 其性能进行改进完善。
Abstract：To help researchers to have in-depth study of Kalman filter or engineers using Kalman filters to learn this very useful tool， the Gaussian random vector and its statistical properties，especially the probability density function，the recursive equation of Kalman filter was derived. In the process of derivation，all the mathematical tools needed for the Kalman filter derivation and the corresponding literature are given. The working mechanism of the Kalman filter can be understood without additional query of other data. In addition， specific references are given for the extension part of the Kalman filter for researchers to conduct further research. Key Words：Gaussian random vector；probability density function；Kalman filter
TANG Zi-qi1，XIE Lan2，ZHANG Yu-ping2 （1. The First Military Representative Office of the Navy in Shanghai，Shanghai 201113，China； 2. China Shipbuilding Industry Systems Engineering Research Institute，Beijing 100094，China）
摘 要：为帮助需要深入了解卡尔曼滤波器的研究人员或使用卡尔曼滤波器的工程人员深入学习这一非常有
用 的 工 具 ，利 用 高 斯 随 机 向 量 及 其 统 计 学 特 性 ，尤 其 是 概 率 密 度 函 数 对 卡 尔 曼 滤 波 递 归 方 程 进 行 推 导 。 在 推 导
过 程 中 ，给 出 了 卡 尔 曼 滤 波 器 推 导 所 需 的 相 关 理 论 依 据 及 数 学 工 具 。 该 推 导 方 法 简 单 、直 观 ，更 便 于 人 们 理 解
卡尔曼滤波器工作机理，并根据实际应用过程进一步开展更深层次的研究。
关键词：高斯随机向量；概率密度函数；卡尔曼滤波器
DOI：10. 11907/rjdk. 191361
中图分类号：TP3-0
文献标识码：A
文章编号：1672-7800（2019）005-0058-04
New Derivation of Kalman Filter Based on Statistical Characteristics of Gaussian Random Vectors
软件导刊 S软oftw件are导Gu刊ide
Vol. 18 No. 5 May2. 0210199年
基于高斯随机向量统计萍 2
（1. 海军驻上海地区第一军事代表室，上海 201913；2. 中国船舶工业系统工程研究院，北京 100094）
为 了 寻 求 一 种 简 单 、直 观 且 系 统 的 卡 尔 曼 滤 波 推 导 方
收稿日期：2019-03-20 基金项目：国家自然科学基金项目（61401024） 作 者 简 介 ：唐 子 奇（1991-），男 ，海 军 驻 上 海 地 区 第 一 军 事 代 表 室 助 理 工 程 师 ，研 究 方 向 为 舰 船 信 息 系 统 ；谢 岚（1976-），女 ，中 国 船 舶 工
卡尔曼滤波是离散时间状态空间线性模型下的最小 均 方 误 差 估 计 ，而 ［10-11］ 在 卡 尔 曼 滤 波 递 归 过 程 中 传 递 的 是 目 标 状 态 估 计 均 值 与 误 差 协 方 差 矩 阵 。 因 此 ，典 型 的 卡 尔 曼滤波器推导方法是利用线性最小均方误差估计准则寻 找使误差最小的目标状态估计 。 ［12-13］ 该方法中涉及许多向 量 与 矩 阵 的 数 学 计 算 ，计 算 过 程 较 为 复 杂 。 因 此 ，该 推 导 方 式 适 合 数 学 功 底（特 别 是 随 机 过 程 相 关 知 识）比 较 深 厚 的 研 究 人 员 。 文 献［14］从 一 列 火 车 沿 铁 路 运 动 这 一 简 单 跟 踪 问 题 出 发 ，利 用 两 个 高 斯 概 率 密 度 函 数 乘 积 依 然 服 从 高斯分布的性质推导了卡尔曼滤波。
0 引言
为 了 克 服 维 纳 滤 波 器 工 程 实 现 较 为 困 难 的 缺 点 ，1960 年 匈 牙 利 数 学 家 Rudolf Emil Kalman 提 出 了 卡 尔 曼 滤 波 器 。 ［1-2］ 卡 尔 曼 滤 波 器 提 出 至 今 已 将 近 60 年 ，并 被 广 泛 应 用 于 各 个 领 域［3-9］，但 其 依 然 是 目 标 跟 踪 与 数 据 融 合 等 领 域 最 有 效 且 常 用 的 工 具 之 一 。 因 此 ，有 必 要 对 其 递 推 方 程 进 行 推 导 ，从 基 本 数 学 公 式 深 入 理 解 卡 尔 曼 滤 波 器 的 每 条 方 程 ，以 便 能 更 加 灵 活 地 加 以 应 用 ，或 根 据 具 体 应 用 情 况 对 其性能进行改进完善。
Abstract：To help researchers to have in-depth study of Kalman filter or engineers using Kalman filters to learn this very useful tool， the Gaussian random vector and its statistical properties，especially the probability density function，the recursive equation of Kalman filter was derived. In the process of derivation，all the mathematical tools needed for the Kalman filter derivation and the corresponding literature are given. The working mechanism of the Kalman filter can be understood without additional query of other data. In addition， specific references are given for the extension part of the Kalman filter for researchers to conduct further research. Key Words：Gaussian random vector；probability density function；Kalman filter
TANG Zi-qi1，XIE Lan2，ZHANG Yu-ping2 （1. The First Military Representative Office of the Navy in Shanghai，Shanghai 201113，China； 2. China Shipbuilding Industry Systems Engineering Research Institute，Beijing 100094，China）
摘 要：为帮助需要深入了解卡尔曼滤波器的研究人员或使用卡尔曼滤波器的工程人员深入学习这一非常有
用 的 工 具 ，利 用 高 斯 随 机 向 量 及 其 统 计 学 特 性 ，尤 其 是 概 率 密 度 函 数 对 卡 尔 曼 滤 波 递 归 方 程 进 行 推 导 。 在 推 导
过 程 中 ，给 出 了 卡 尔 曼 滤 波 器 推 导 所 需 的 相 关 理 论 依 据 及 数 学 工 具 。 该 推 导 方 法 简 单 、直 观 ，更 便 于 人 们 理 解
卡尔曼滤波器工作机理，并根据实际应用过程进一步开展更深层次的研究。
关键词：高斯随机向量；概率密度函数；卡尔曼滤波器
DOI：10. 11907/rjdk. 191361
中图分类号：TP3-0
文献标识码：A
文章编号：1672-7800（2019）005-0058-04
New Derivation of Kalman Filter Based on Statistical Characteristics of Gaussian Random Vectors