CH6(1)定积分——典型例题

典型例题7
例7 求 4 lnsin 2 xdx.
解
0
令 2x t,
4
lnsin 2 xdx
1
2 lnsin tdt.
0
20
I 4 lnsin 2xdx 4 ln(2sin xcos x)dx
0
0
4 (ln 2 lnsin x lncos x)dx
0
ln 2 4 ln 2
故f f x < 0，从而F ( x) < 0, a < < x.
F x < F a 0 x a,b
F b < 0即得证.
THANK YOU
2 0
sin
sin x
x cos
x
dx,
J
2 0
sin
cos x
x cos
x
dx,
I J
2
dx
,
0
2
I J
2 0
sin sin
x x
cos cos
x x
dx
2
d(cos
x
sin
x
)
0 sin x cos x
0.
故得 2I , 2
即
I
.
4
典型例题
典型例题6
例6 求 ln2 1 e2 x dx. 0
x 0 ln 2
解 令 ex sin t,
t
x lnsin t , dx cos t dt .
2
6
sin t
原式
6 2
cos
t(
cos t sin t
)dt
2 6
cos2 t sin t
dt
2 6
dt sin t
2
sin tdt
ln(2
6
3) 3 . 2
典型例题
4
4 0 2 0
ln sin ln sin
xdx xdx
2
ln
sin
xd
x
4 ln
2
2
I
4
I ln 2.
4
典型例题
典型例题8
例8
求
1 2 1 2
[
sin x x8 1
ln2(1 x)]dx.
1
解
原式 0
2 1
ln(1
x)dx
2
0 1
ln(1
x)dx
1
2 ln(1 x)dx
典型例题
第六章 定积分及其应用 定积分计算习题课
典型例题
典型例题1
例1
求
lim n
n
1
1
n
1
2
n
1
n
.
解
原式
lim n
n
n
1
n
n
1
n
n
1
1 n
lim n
1 1 1
n
1 1 2
n
1 1 n
n
1 n
lim
n
n
i1
1
1
i n
1 n
1 0
1
1
dx x
ln 1 x
0
2
3 ln 3 1 ln 1 . 2 22 2
例8
求
1 2 1 2
[
sin x x8 1
ln2(1 x)]dx.
1
解
原式 0
0
2 1
2
ln(1
x)dx
1
1 ln(1 x)dx
2 ln(1 x)dx
0
2
其中， ln(1 x)dx (x 1)ln(1 x) x C.
11 ( x 1)3 e x22 xdx 03
1 1( x 1)2 e ( x1)21d[( x 1)2 ]
60
e 令 ( x 1)2 u
6
0 1
ue
udu
1 6
(e
2).
典型例题
典型例题11
例11
求x2dx 4x9.解 原式 0
dx
dx
x2 4x 9 0 x2 4x 9
1 ln 2.
0
典型例题
典型例题2
例2 求 lim n1 x2e x2dx. n n
分析 x2e x2dx 1 xde x2 1 xe x2 1 e x2dx
2
2
2
解 原式 lim e2 - 2 lim x e2 - x 2
x
积不出
lim
x
x2 ex 2
洛
x2
lim e x x 2
x2
lim
x
1 ex 2
0.
典型例题
典型例题3
例3 求 d 2x xf x t dt.
dx 0
解 令x t=u，dt du.
原式
d dx
x
3x x
f (u)du
3x x
f
( u)du+x 3
f
(3x)
f
( x)
3x f (u)du+3xf (3x) xf ( x). x
故，原式=(
x
1)ln(1
x)
x
0 1
(
x
1)ln(1
x)
1
x2 0
2
3 ln 3 1 ln 1 . 2 22 2
典型例题
典型例题9
例9 求 2 min{ 1 , x2}dx.
2
x
解
min{
1 x
,
x2}
x2, 1, x
x 1 x 1
是偶函数,
原式 2
2
min{
1
,
x 2 }d x
典型例题
典型例题4
例4 求 2 1 sin 2 xdx. 0
解 原式 2 sin x cos x dx 0
4 (cos x sin x)dx
0
2
(sin
x
cos
x)dx
4
2 2 2.
典型例题
典型例题5
例5 求 2
sin x
dx.
0 sin x cos x
解 由 I
0
x
2 1 x2dx 2 2 1 dx
0
1x
2 2ln 2. 3
典型例题
典型例题10
例10
f (x)
x e y22 ydy, 求
1
(
x
1)
2
f
(
x)dx.
0
0
解 原式 1( x 1)2[ x e y22 ydy]dx
0
0
[1 ( x 1)3
3
x 0
e
y
2
2
ydy]10
1; 2
1
原式 2
1
1
2
1
dt
3 2t t 2 dt
4 t 12
arcsin
t
2
1
1 1
2
arcsin 3 .
2
4
典型例题
典型例题13
例13 设f x在a,b上二次可微，f x 0，f x 0，
求证：b af
a<
b a
f
xdx<b a
f
a
2
f
b.
证 f x 0，则f x 在[a, b]上单调增
x (a, b]，f x f a .
由定积分估值公式，得
b a
f
xdx
b a
f
ad x
f
ab a;
设辅助函数
F
x
x a
f
xdx
x
a
f a
2
f x，
显然F a 0.
F x f x f a x a f x
2
2
x a f f x , a < < x. 2
由f ( x) 0,知f ( x)在[a, b]单调增,
lim a
0 a
(
x
dx 2)2
5
lim
b
b dx 0 ( x 2)2 5
lim a
1 arctan 5
x
2 5
0 a
lim
b
1 arctan 5
x
2 5
b 0
. 5
典型例题
典型例题12
2
例12 计算
dx
.
1 x 3x2 2x 1
解
令x
1 t
,dx
1 t2
;x
1, t
1;
x
2, t