河南省郑州市第四中学2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理)试题

一、选择题（每小题5分，共60分。

每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的选项填涂在答题卡上）
1.已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题
0,:2
>∈∀x R x q ，则( ) A. 命题)(q p ⌝∧是真命题 B.命题q p ∧是真命题 C. 命题q p ∨是假命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题 2.在⊿ABC 中，A =45°,B =60°,a=2，则b 等于（ ）
A.6
B.2
C.3
D. 62 3.若等差数列{}n a 的前5项和305=S ，且72=a ，则7a =（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
4.若b a >，则下列各式中正确的是（ ） A. 22b a > B. 33b a > C.
b
a 1
1< D. b a 22log log < 5．已知等比数列{}n a 的前三项依次为2,2,8,n a a a -++则a =
（ ）
A ．3
8()2
n
B ．28()3
n
C ．1
28()
3
n -
D ． 1
38()
2
n -
6.若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30230x y x y x m
+-≤⎧⎪⎪
--≤⎨⎪≥⎪⎩,则实数m 的最大值为（ ）
A ．-1
B ．1
C ．
3
2
D ．2
7. 已知“命题p ：x ∃∈R ，使得
0122<++x ax 成立”为真命题，则实数a 满足（ ）
A ．1，＋∞） D ． )1,(-∞
8. 有下面四个判断：其中正确的个数是( )
①命题：“设a 、b R ∈，若6a b +≠，则33a b ≠≠或”是一个真命题
②若“p 或q”为真命题，则p 、q 均为真命题
③命题“a ∀、22,2(1)b R a b a b ∈+≥--”的否定是：“a ∃、
22
,2(1)b R a b a b ∈+≤--” A.0 B.1 C.2 D.3
9．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面
积为
A ．2 2
B ．8 2 C. 2 D.2
2
10.已知函数)
1(log )
10(sin )(2016>≤≤⎩⎨
⎧=x x x x x f π，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，
则abc 的取值范围是( ) A ．(0，2016)
B ．(0，2016
11．已知数列}{n a 、}{n b 满足1a 1=，且1,+n n a a 是函数n
n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，
则10b 等于
A ．24
B ．32
C ．48
D ．64
12．已知函数()32,f x x x =-∈R 。

规定：给定一个实数0101,(),244x x f x x =≤赋值若，
则继续赋值21(),x f x =…，以此类推，若11244,()n n n x x f x --≤=则，否则停止赋值，如果得到n x 称为赋值了n 次*
().n ∈N 已知赋值k 次后该过程停止，则0x 的取值范围是 A ．6
5(3
,3]k k --
B ．56(3
1,31k
k --++
C ． 45(3
1,31]k
k --++
D ． 6
5(3
1,31]k k --++
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案直接答在答题卷上)
13、已知A 船在灯塔C 北偏东80o
处，且A 船到灯塔C 的距离为2km ，B 船在灯塔C 北偏西40o
处，A 、B 两船间的距离为3km ，则B 船到灯塔C 的距离为____________km 。

14.在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______
15. 在约束条件⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4
x 2y s y x 0y 0x 下，当5s 3≤≤时，目标函数y 2x 3z +=的最大值的变化范围
是___________ 16、已知函数sin 1
()1
x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值
为_____.
三、解答题(本大题共6小题，17题10分,18-22题每小题12分，共70分.把答案直接答在答题卷上)
17.（本小题满分10分）
△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b ac =，4
3cos =B ． （Ⅰ）求
C
A tan 1
tan 1+
的值； （Ⅱ）设c a BC BA +=
⋅求,2
3
的值.
18．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知32=•AC AB ，o 30BAC ∠=． （1）求ABC ∆的面积；
（2）设M 是ABC ∆内一点，定义()(,,)f M m n p =，其中m ，n ，p 分别是MBC ∆，
MCA ∆，MAB ∆的面积，若1
()(,,)2
f M x y =，求14x y +的最小值．
19. （本小题满分12分）在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船，奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃
窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
20．（本小题满分12分）
已知关于x 的不等式2
(4)(4)0kx k x --->，其中k R ∈． （1）当k 变化时，试求不等式的解集A ； （2）对于不等式的解集A ，若满足A
Z B =（其中Z 为整数集）。

试探究集合B 能否为
有限集？若能，求出使得集合B 中元素个数最小的k 的所有取值，并用列举法表示集合B ；若不能，请说明理由．
21．（本小题满分12分）
在数列}{n a 中，n n a n a a a a -=+⋯+++321（*n N ∈）． （1）求1a ，2a ，3a 的值；
（2）求证：数列{1}n a -是等比数列；
（3）设1n n b a =-，且)(2
n n b c n n -⋅=（*n N ∈），如果对任意*n N ∈，都有21
4
n c t t +≤，
求实数t 的取值范围．
22.（本小题满分12分）
已知)(x f y =，4)2
1(=f ，对任意实数y x ,满足：3)()()(-+=+y f x f y x f （Ⅰ）当*N n ∈时求)(n f 的表达式; （Ⅱ）若)()
1(1,1*11N n n f b b b b n n
n ∈-⋅+==+，求n b ;
（III ）记)(*4
N n b c n n ∈=，试证89201421<+⋯++c c c .
郑州市第四中学2014—2015学年上期高二年级期中考试
数学(理科)答案
17.解：（Ⅰ）由,
4
7)43(1sin ,43cos 2=-==B B 得
由b 2=a c 及正弦定理得 .sin sin sin 2C A B =
于是
B
C A C A A C A C C C A A C A 2
sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos tan 1tan 1+=+=+=+ .77
4
sin 1sin sin 2===
B B B
（Ⅱ）由.2,2,4
3
cos ,23cos 232====⋅=
⋅b ca B B ca BC BA 即可得由得 由余弦定理 b 2=a 2+c 2－2a ccosB 得a 2+c 2=b 2+2a c ·cos B=5.
3,
9452)(222=+=+=++=+c a ac c a c a
18．解：（1）由题意可知：cos 23AB AC AB AC BAC ⋅=⋅⋅∠=
可得4AB AC ⋅=
因此1
sin 12
ABC S AB AC BAC ∆=⋅⋅⋅∠= （2）由于ABC MBC MCA MAB S S S S ∆∆∆∆=++，且1
2
MBC m S ∆==，
则12MCA MAB S S ∆∆+=，即1
2
x y +=
故
1414114
2()2()()2x y x y x y x y
+=+⋅=+⋅+ 42(14)2(54)18y x x y
=+
++≥⋅+=，即14
min()18x y +=
当且仅当
4y x x y =，即13y =，16
x =时取等号
∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶． 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝6
10小时．
∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需要6
10小时． 20．（1）当k 变化时，可对k 的取值分类讨论：
①当0k =时，不等式为：4(4)0x -->，解得：4x <，即(,4)A =-∞ （1分）
当0k ≠时，不等式可化为：24
()(4)0k k x x k
+--> ②当0k <时，不等式为：24()(4)0k x x k +--<，且24
4k k
+<， 解得：244k x k +<<，即24
(,4)k A k
+= （3分）
21.解：（1）由题意可知：当1n =时，111a a =-，解得：11
2a =
同理可得：当2n =时，1222a a a +=-，解得：23
4a =
当3n =时，12333a a a a ++=-，解得：37
8
a =
（2）由题意可得：n n S n a =-（*n N ∈）① 则当2n ≥时，111n n S n a --=-- ②
②式─①式得：121n n a a -=+，
等式两边同时减2，可得：12(1)1n n a a --=-，即111
12
n n a a --=-
由于112
a =
，即11
102a -=-≠，
则数列{1}n a -是一个以12-为首项，1
2
q =为公比的等比数列
（3）由（2）可知{1}n a -为等比数列，则111
1()22
n n a --=-⋅
解得：12n n a -=-（*
n N ∈），故22()()2n n n c b n n n n -=⋅-=-⋅
显然10c =，当2n ≥时，0n c >，
则当2n ≥时，2122111
()2()2(3)2
n n n n n c c n n n n n n ---++-=+⋅--⋅=- 由此可得：320c c ->，即234c c c <=，
当4n ≥时，数列{}n c 为单调递减数列，则34max{}n c c c == 因此*n N ∀∈，都有214
n c t t +≤，则213max{}44
n t t c -≥= 解得：1t ≥或3
4
t ≤-。