黑龙江省大庆市高三数学上学期10月考试题 理-人教版高三全册数学试题

某某省某某市
2018届高三数学上学期10月考试题 理
考试时间：120分钟 总分：150
分
一． 选择题（每个题5分，共60分）
1．设全集U R =，{}
(2)21x x A x -=<,B {}
)1ln(x y x -==，则右图中阴影部分表示的集合为 （ ） A ．{|1}x x ≥ B ．{|1}x x ≤
C ．{|01}x x <≤
D ．{|12}x x <≤ 2.函数f (x )
＝2x
＋4x －3的零点所在区间是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12
B.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－14，0
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，34
3．命题“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2
－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件 是( )
A ．a ≥4
B ．a ≤4
C ．a ≥3
D ．a ≤3
4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，
2x ，x <0，
则f [f (－2)]＝( )
A. －1
B.14
C. 32
D.1
2
5．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2
＋1，则f (1)＋g (1)＝()
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
6．已知函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，恒有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0成立．若a ＝
f (lo
g 47)，b ＝f (log 23)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c <b <a
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．a <b <c
7.已知函数())0,0( )sin(2πϕωϕω<<>+=x x f ，
且函数的图象如图所示，则点),( ϕω的坐标是( )
(A) )3,2( π(B))3,4( π
(C))32,
2( π(D))3
2,4( π 8.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)<f (11)
9．α是锐角，且4
cos()6
5
π
α+
=
，则cos α=( ) A B C D 10.函数()sin(2)6
f x x π=-的图像可以通过以下哪种变换得到函数()cos(2)3
g x x π=+的图像（ ）
A ．向右平移π个单位
B ．向左平移π个单位
C ．向右平移2π个单位
D ．向左平移2
π
个单位 11．若函数()2sin ([0,])f x x x π=∈在点P 处的切线平行于函数()(1)3
x
g x =+ 在点Q 处的切
线，则直线PQ 的斜率（ ） A ．1
B ．
12
C ．
8
3
12．如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，ω与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，∠为QR 的中点，PM =， 则A 的值为( ) A B ．8
二．填空题（每个题5分，共20分）
13.sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4π3的值是________． 第1题图
14.已知f (x ＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－2x (x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32的值为________． 15.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2
y x =和曲线y x =围成一个叶形图
（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是. 16．设函数f (x )=
x x
m e
-有两个零点，某某数m 的取值X 围________． 三．解答题（共6道题，70分）
17.化简求值：
sin 47sin 343cos30
cos197
+
18.已知函数2()2sin cos 23sin 3f x x x x ωωω=+-（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；
（Ⅱ）将函数()f x 的图象上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
3
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象；若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．
19．已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期；
（2）求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上的最大值和最小值。

20．设函数f (x )＝x e a －x
＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.
(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．
21. （本小题满分12分）已知函数f (x )＝(x －2)e x
＋a (x －1)2
有两个零点．
(1)求a 的取值X 围；
(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2.
22.（本小题满分12分） 已知函数
()(2)(1)2ln f x a x x =---，()1x g x e x =-+.（a 为常数，
e 为自然对数的底， 2.71828e ≈）
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的(]00,1x ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得
0()()i f x g x =成立，求a 的取值X 围．
答案
1．设全集U R =，{
}(2)
2
1x x A x -=<,B {}
)1ln(x y x -==，则右图中阴影部分表示的集合为 （ d ）
A ．{|1}x x ≥
B ．{|1}x x ≤
C ．{|01}x x <≤
D ．{|12}x x <≤ 2.函数f (x )＝2x
＋4x －3的零点所在区间是( a )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，34
3．命题“对任意实数x ∈[1，2]，关于x 的不等式x 2
－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( c )
A ．a ≥4
B ．a ≤4
C ．a ≥3
D ．a ≤3
4．
4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，
2x ，x <0，
则f [f (－2)]＝( d )
A. －1
B.14
C. 32
D.1
2
5．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2
＋1，则f (1)＋g (1)＝( c )
A ．－3
B ．－1
C ．1
D ．3
6．已知函数f (x )满足对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，恒有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0成立．若a ＝
f (lo
g 47)，b ＝f (log 23)，c ＝f (0.20.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( b )
A ．c <b <a
B ．b <a <c
C ．b <c <a
D ．a <b <c
7.已知函数())0,0( )sin(2πϕωϕω<<>+=x x f ， 且函数的图象如图所示，则点),( ϕω的坐标是( d )
(A) )3,2( π (B))3,4( π
(C))32,
2( π (D))3
2,4( π 8.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( d )
A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)
B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)
C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)
D ．f (－25)＜f (80)<f (11)
9．α、β
都是锐角，且cos α=
，3sin()5αβ+=，则cos β( A)
A
10.函数()sin(2)6
f x x π=-的图像可以通过以下哪种变换得到函数()cos(2)3
g x x π=+的图像（D ）
第1题图
y Q
P
R
M
O x
()
∙∙
π∙π
第9题图
A ．向右平移π个单位
B ．向左平移π个单位
C ．向右平移2π个单位
D ．向左平移2
π
个单位 11．若函数()2sin ([0,])f x x x π=∈在点P 处的切线平行于函数()2(1)3
x
g x x =⋅+ 在点Q 处的切
线，则直线PQ 的斜率（ c ） A ．1
B ．
12
C ．
8
3
D ．2
12．如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2
π
ϕ≤
）
与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满足(2,0)P ，4
PQR π
∠=，M
为QR 的中点，25PM =， 则A 的值为( b )
A ．8
33
B ．1633
C ．8
D ．16
13.sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3的值是____-334
_____． 14.已知f (x ＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－2x (x ＋1)，则f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－32的值为
___
1
2
_____． 15.如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线2
y x =和曲线y x =围成一个叶形图
（阴影部分），向正方形AOBC 内随机投一点（该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的），则所投的点落在叶形图内部的概率是
1
3
.
16．设函数f (x )=x x m e -有两个零点，某某数m 的取值X 围____(0,_
1
e
)___．
17.sin 47sin 343cos30cos187
+
【解析】
sin 30cos17cos30sin17sin17cos30sin 30cos171
sin 30cos17cos172
+-=
==-=---.
18.已知函数2()2sin cos 23sin 3f x x x x ωωω=+-（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数()f x 的单调增区间；
（Ⅱ）将函数()f x 的图象上的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移
3
π
个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象；若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值．
(1)z k k k ∈+
-],12
5,12
[π
ππ
π (2)
11312
π
19．已知函数()4cos sin()16
f x x x π=+-.（1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]64
ππ
-
上的最大值和最小值。

解：（1）()2sin(2)6
f x x π
=+，函数()f x 的最小正周期为π；
（2）226
6
3x π
π
π-≤+≤
，当262
x ππ+=即6x π
=时，函数()f x 取得最大值2；
当26
6
x π
π
+
=-
即6
x π
=-
时，函数()f x 取得最小值1-；
20．[2016·卷] 设函数f (x )＝x e a －x
＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝(e －1)x ＋4.
(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间． 解：(1)因为f (x )＝x e
a －x
＋bx ，所以f ′(x )＝(1－x )e
a －x
＋b .
依题设，得⎩
⎪⎨⎪⎧f （2）＝2e ＋2，f ′（2）＝e －1，即⎩⎪⎨⎪⎧2e a －2
＋2b ＝2e ＋2，
－e a －2＋b ＝e －1，
解得a ＝2，b ＝e.
(2)由(1)知f (x )＝x e 2－x
＋e x .
由f ′(x )＝e
2－x
(1－x ＋e
x －1
)及e 2－x
>0知，f ′(x )与1－x ＋e
x －1
同号． 令g (x )＝1－x ＋e x －1
，则g ′(x )＝－1＋e x －1
.
所以，当x ∈(－∞，1)时，g ′(x )<0，g (x )在区间(－∞，1)上单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． 故g (1)＝1是g (x )在区间(－∞，＋∞)上的最小值， 从而g (x )>0，x ∈(－∞，＋∞)． 综上可知，f ′(x )>0，x ∈(－∞，＋∞)， 故f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)．
20．已知函数f (x )＝e x
－ln(x ＋m )．设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性；
解:f ′(x )＝e x
－
1x ＋m
. 由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1.
于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x
－1x ＋1.
函数f ′(x )＝e x
－1
x ＋1
在(－1，＋∞)上单调递增，
且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1，0)时，
f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.
所以f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
21.已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2
有两个零点．
(1)求a 的取值X 围；
(2)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：x 1＋x 2<2. 解：(1)f ′(x )＝(x －1)e x
＋2a (x －1)＝(x －1)(e x
＋2a )． (i)设a ＝0，则f (x )＝(x －2)e x
，f (x )只有一个零点．
(ii)设a >0，则当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )<0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0.所以f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．
又f (1)＝－e ，f (2)＝a ，取b 满足b <0且b <ln a 2，则f (b )>a 2(b －2)＋a (b －1)2＝ab 2
－32
b >0，
故f (x )存在两个零点．
(iii)设a <0，由f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝ln(－2a )．
若a ≥－e
2，则ln(－2a )≤1，故当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，因此f (x )在(1，＋∞)上单调递
增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．
若a <－e
2
，则ln(－2a )>1.故当x ∈(1，ln(－2a ))时，f ′(x )<0；当x ∈(ln(－2a )，＋∞) 时，
f ′(x )>0.因此f (x )在(1，ln(－2a ))上单调递减，在(ln(－2a )，＋∞)上单调递增．又当x ≤1时，f (x )<0，所以f (x )不存在两个零点．
综上，a 的取值X 围为(0，＋∞)．
(2)证明：不妨设x 1<x 2.由(1)知，x 1∈(－∞，1)，x 2∈(1，＋∞)，2－x 2∈(－∞，1)，f (x )在(－∞，1)上单调递减，所以x 1＋x 2<2等价于f (x 1)>f (2－x 2)，即f (2－x 2)<0.
由于f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2＋a (x 2－1)2
，而f (x 2)＝(x 2－2)e x 2＋a (x 2－1)2
＝0， 所以f (2－x 2)＝－x 2e2－x 2－(x 2－2)e x 2. 设g (x )＝－x e
2－x
－(x －2)e x
，
则g ′(x )＝(x －1)(e 2－x
－e x
)．
所以当x >1时，g ′(x )<0，而g (1)＝0， 故当x >1时，g (x )<0，
从而g (x 2)＝f (2－x 2)<0，故x 1＋x 2<2.
22.（本小题满分12分） 已知函数
()(2)(1)2ln f x a x x =---，()1x g x e x =-+.（a 为常数，e 为自
然对数的底， 2.71828e ≈）
（Ⅰ）当1a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数()f x 在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，求a 的最小值；
（Ⅲ）若对任意给定的(]00,1x ∈，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得
0()()i f x g x =成立，求a 的取值X 围．
解：（Ⅰ）当1a =时，()12ln (0)f x x x x =-->则'
2
()1f x x
=-. 令'
()0f x >得2x >；令'
()0f x <得02x <<
故()f x 的单调递减区间为(]0,2，单调递增区间为[)2,+∞……………2分
（Ⅱ）∵函数()0f x <在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上不可能恒成立，故要使函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
上无零点，只要对1(0,)2x ∀∈，()0f x >恒成立。

即对1(0,)2x ∀∈，2ln 21
x
a x >-
-恒成立。

……3分 令2ln ()21x l x x =--（1(0,)2
x ∈）则'22
22
(1)2ln 2ln 2
()(1)(1)x x x x x l x x x --++-==--…4分 再令2()2ln 2m x x x =+
-，则'22
222(1)()x m x x x x
--=-=，∵1
(0,)2x ∈，∴'()0m x < 故函数()m x 在区间10,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，∴1()()22ln 202
m x m >=->
即'
()0l x >，∴函数()l x 在区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，∴1()()24ln 22
l x l <=-…5分
故只要24ln 2a ≥-函数()f x 在区间10,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上无零点，所以min 24ln 2a =-…6分
（Ⅲ）∵'
()1x
g x e =-，当(]0,1x ∈，'
()0g x >，∴函数()g x 在区间(]0,1上是增函数。

∴(]()2,g x e ∈…7分
当2a =时，()2ln f x x =-，不符题意 当2a ≠时，'
2(2)2
()2a x f x a x x
--==--
= 当22x a =-时，'
()0f x =，由题意有()f x 在(]0,e 上不单调，故202e a
<
<- ∴2
2a e
<-
①…8分 当x 变化时，'
(),()f x f x 变化情况如下：
又因为0x →时，()f x →+∞
22(
)2ln ,()(2)(1)222f a f e a e a a
=-=-----…9分 所以，对于给定的(]00,1x ∈，在在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立，当且仅当满足下列条件
2()22()f a
f e e ⎧≤⎪
-⎨⎪≥⎩
即22ln 22a a -≤-②(2)(1)2a e e ---≥③…10分 令22()2ln
,(,2)2h a a a a e
=-∈-∞-- '()2
a h a a =
-，令'
()0h a =，则0a = 故(,0)a ∈-∞时，'
()0h a >，函数()h a 单调递增
2
(0,2)a e
∈-时，'()0h a <，函数()h a 单调递减
所以对任意的2
(,2)a e
∈-∞-，()(0)02h a h ≤=≤…11分
由③得41e a e -≤
-④，由①④当4,1e a e -⎛
⎤∈-∞ ⎥-⎝
⎦时，在(]0,e 上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得0()()i f x g x =成立 ……………12分。