等差数列及其前n项和

08—等差数列及其前n 项和
突破点(一) 等差数列的性质及基本量的计算
1．等差数列的有关概念；
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b
2
，其中A 叫做a ，b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式； (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )
2
. 3．等差数列的常用性质.
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．
(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d .
(4)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (5)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.
等差数列的基本运算
[例1] (1)(2016·东北师大附中摸底考试)在等差数列{a n 15a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
(2)(2016·惠州调研)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.5
3
C ．－2
D ．3
[解析] (1)∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，则公差d ＝a 4－a 3＝2，故选B. (2)由S 3＝
3(a 1＋a 3)2＝6，且a 1＝4，得a 3＝0，则d ＝a 3－a 1
3－1
＝－2，故选C.[答案] (1)B (2)C [方法技巧]
1．等差数列运算问题的通性通法：(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
2．等差数列设项技巧：若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为a －d ，a ，a ＋d ；若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元．
[例2] (1)在等差数列{a n 396n n 项和，则S 11＝( ) A ．18 B ．99 C ．198
D ．297
(2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. [解析] (1)因为a 3＋a 9＝27－a 6,2a 6＝a 3＋a 9，所以3a 6＝27，所以a 6＝9， 所以S 11＝11
2
(a 1＋a 11)＝11a 6＝99.
(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5,2b 8＝b 10＋b 6，
所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21.[答案] (1)B (2)21
突破点(二) 等差数列前n 项和及性质的应用
等差数列前n 项和的性质：(1)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…(m ∈N *)也是等差数列，公差为m 2d .(2)S 2n
－1
＝(2n －1)a n ，S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)．(3)当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ；项数为奇数2n －1
时，S 奇－S 偶＝a 中，S 奇∶S 偶＝n ∶(n －1)．(4){a n }，{b n }均为等差数列且其前n 项和为S n ，T n ，则a n b n
＝S 2n －1
T 2n －1.(5)
若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也是等差数列，其首项与{a n }的首项相同，公差是{a n }的公差的1
2.
[例1] 已知{a n }12378919a 20＋a 21＝________. [解析] 法一：设数列{}a n 的公差为d ，则a 7＋a 8＋a 9＝a 1＋6d ＋a 2＋6d ＋a 3＋6d ＝5＋18d ＝10，所以18d ＝5，故a 19＋a 20＋a 21＝a 7＋12d ＋a 8＋12d ＋a 9＋12d ＝10＋36d ＝20.
法二：由等差数列的性质，可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，…，S 21－S 18成等差数列，设此数列公差为D . 所以5＋2D ＝10，所以D ＝5
2
.所以a 19＋a 20＋a 21＝S 21－S 18＝5＋6D ＝5＋15＝20.[答案] 20
[例2] 等差数列{a n }1n 512为何值时，S n 有最大值？ [解] 设等差数列{a n }的公差为d ，由S 5＝S 12得5a 1＋10d ＝12a 1＋66d ，d ＝－1
8
a 1<0.
法一：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝na 1＋n (n －1)
2·⎝⎛⎭⎫－18a 1＝－116a 1(n 2－17n )＝－116a 1⎝⎛⎭⎫n －1722＋28964a 1， 因为a 1>0，n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．
法二：设此数列的前n 项和最大，则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧
a 1＋(n －1)·⎝⎛⎭
⎫－18a 1≥0，a 1＋n ·⎝⎛⎭⎫－18a 1≤0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
n ≤9，
n ≥8，即
8≤n ≤9，又n ∈N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 有最大值．
法三：由于S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d
2n ，
设f (x )＝d
2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x ，则函数y ＝f (x )的图象为开口向下的抛物线，由S 5＝S 12知，抛物线的对称轴为x ＝5＋122＝17
2(如图所示)，由图可知，当1≤n ≤8时，S n 单调递增；当n ≥9时，S n 单调递减．又n ∈
N *，所以当n ＝8或n ＝9时，S n 最大．
[方法技巧]
求等差数列前n 项和S n 最值的三种方法
(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方结合图象借助求二次函数最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①a 1>0，d <0时，满足⎩⎨
⎧
a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；
②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎨
⎧
a m ≤0，
a m ＋1≥0
的项数m 使得S n 取得最小值为S m .
(3)通项公式法：求使a n ≥0(a n ≤0)成立时最大的n 值即可．一般地，等差数列{a n }中，若a 1>0，且S p ＝S q (p ≠q )，则：①若p ＋q 为偶数，则当n ＝p ＋q 2时，S n 最大；②若p ＋q 为奇数，则当n ＝p ＋q －12或n ＝p ＋q ＋1
2
时，S n 最大．
突破点(三) 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明方法
方法 解读
适合题型 定义法 对于数列{a n }，a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)为同一常数⇔{a n }是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法 2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *
)成立⇔{a n }是等差数列
通项公式法
a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差数列
选择、填空题中的判定问
题
前n 项和公式法 验证S n ＝An 2
＋Bn (A ，B 是常数)对任意的正整数n 都成立⇔{a n }是等差
数列
等差数列的判定与证明
[典例] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝1
2，判断{a n }是
否为等差数列，并说明你的理由．
[解] 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．
所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又S 1＝a 1＝1
2，所以⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝－12n (n －1)，
所以a n ＋1＝－1
2n (n ＋1)，而a n ＋1－a n ＝－1
2n (n ＋1)－－1
2n (n －1)＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n (n －1)(n ＋1).
所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列．
[检验高考能力]
一、选择题
1．(2017·黄冈质检)在等差数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( ) A ．95 B ．100 C ．135 D ．80
解析：选B 由等差数列的性质可知，a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8构成新的等差数列，于是a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)＋(4－1)[(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)]＝40＋3×20＝100.
2．(2017·东北三校联考)已知数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 2＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．－109
C ．－181
D ．121
解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d ，则d ＝b 3－b 2＝－14，因为a n ＋1－a n ＝b n ，所以a 8－a 1＝b 1
＋b 2＋…＋b 7＝7(b 1＋b 7)2＝7
2
[(b 2－d )＋(b 2＋5d )]＝－112，又a 1＝3，则a 8＝－109.
3．在等差数列{a n }中，a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，且其前n 项和为S n ，则S 17为( ) A ．20 B ．17 C ．42
D ．84
解析：选B 由a 3＋a 5＋a 11＋a 17＝4，得2(a 4＋a 14)＝4，即a 4＋a 14＝2，则a 1＋a 17＝2，故S 17＝
17(a 1＋a 17)
2＝17.
4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＞0，a 3＋a 10＞0，a 6a 7＜0，则满足S n ＞0的最大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
解析：选C ∵a 1＞0，a 6a 7＜0，∴a 6＞0，a 7＜0，等差数列的公差小于零．又∵a 3＋a 10＝a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＝2a 7＜0，∴S 12＞0，S 13＜0，∴满足S n ＞0的最大自然数n 的值为12.
5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若
S n
S 2n
为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为( )
A ．b n ＝n －1
B ．b n ＝2n －1
C ．b n ＝n ＋1
D ．b n ＝2n ＋1
解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，
S n S 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋1
2
n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋1
2×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝1
4.所以数列{b n }的通项公式
为b n ＝2n －1.
6．设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10
a 2n
的
最大值是( )
A ．310
B ．212
C ．180
D ．121
解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，依题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以2
2a 1＋d ＝a 1＋
3a 1＋3d ，化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2
，所以S n ＋10
a 2n ＝
(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦
⎥⎥⎤
12(2n －1)＋2122n －1
2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12≤121.即S n ＋10a 2n 的最大值为121. 二、填空题
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 2
2＝1，则数列{a n }的公差d 是________．
解析：由S 33－S 2
2＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.
答案：2
8．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13等于________．
解析：因为S 17＝a 1＋a 17
2×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3.根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，所以
a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.答案：3
9．在等差数列{a n }中，a 9＝1
2
a 12＋6，则数列{a n }的前11项和S 11等于________．
解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6，设公差为d ，由a 9＝12a 12＋6得a 6＋3d ＝1
2(a 6＋6d )＋6，解得a 6＝12，
所以S 11＝11×12＝132.答案：132
10．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前 n 项和为S n ，当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．
解析：由题意，当且仅当n ＝8时S n 有最大值，可得
⎩⎪⎨⎪⎧
d <0，a 8>0，a 9
<0，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
d <0，
7＋7d >0，7＋8d <0，
解得－1<d <－7
8
.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 三、解答题
11．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝
a n －12a n －1＋1
(n ∈N *，n ≥2)，数列{b n }满足关系式b n ＝1
a n (n ∈N *)．
(1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：∵b n ＝1a n ，且a n ＝a n －12a n －1＋1，∴b n ＋1＝1a n ＋1
＝1
a n 2a n ＋1
＝2a n ＋1a n ，
∴b n ＋1－b n ＝2a n ＋1a n －1a n ＝2.又∵b 1＝1
a 1＝1，∴数列{
b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知数列{b n }的通项公式为b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又b n ＝1a n
，∴a n ＝1
b n
＝
1
2n －1
.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝1
2n －1
.
12．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72，若b n ＝1
2a n
－30，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．
解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故数列{a n }为等差数列．设数列{a n }的首项为a 1，
公差为d ，由a 3＝10，S 6＝72得，⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋2d ＝10，6a 1＋15d ＝72，解得a 1＝2，d ＝4.故a n ＝4n －2，则
b n ＝1
2
a n －30＝2n
－31，令⎩⎪⎨⎪⎧ b n ≤0，b n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
2n －31≤0，2(n ＋1)－31≥0，
解得292≤n ≤31
2
，∵n ∈N *，∴n ＝15，即数列{b n }的前15项
均为负值，∴T 15最小．∵数列{b n }的首项是－29，公差为2，∴T 15＝15(－29＋2×15－31)
2＝－225，∴数列
{b n }的前n 项和T n 的最小值为－225.。