上海东方中学八年级数学上册第四单元《整式的乘法与因式分解》检测题(含答案解析)

一、选择题
1．多项式2425a ma ++是完全平方式，那么m 的值是（ ）
A ．10±
B ．20±
C ．10
D ．20
2．如果多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，则a 的值为（ ） A ．52- B ．52 C ．5 D ．-5
3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如左图可以用来解释（a+b ）2－（a －b ）2=4ab ．那么通过右图面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A ．22()()a b a b a b -=+-
B ．22()(2)a b a b a ab b -+=+-
C ．222()2a b a ab b -=-+
D ．222()2a b a ab b +=++
4．按照如图所示的运算程序，能使输出y 的值为5的是（ ）
A ．1,4m n ==
B ．2,5m n ==
C ．5,3m n ==
D ．2,2m n == 5．下列运算中，正确的个数是（ ） ①2352x x x +=；②()326x x =；③03215⨯-=；④538--+=
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
6．下列计算中能用平方差公式的是（ ）．
A ．()()a b a b -+-
B ．1133x y y x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
C ．22x x
D ．()()21x x -+
7．下列各式计算正确的是（ ）
A ．224a a a +=
B ．236a a a ⋅=
C ．()22439a a -=
D ．22(1)1a a +=+
8．记A n ＝（1﹣
212）（1﹣213）（1﹣214）…（1﹣2
1n ），其中正整数n ≥2，下列说法正确的是（ ）
A ．A 5＜A 6
B ．A 52＞A 4A 6
C ．对任意正整数n ，恒有A n ＜34
D ．存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜
10082015 9．计算()()20202021323
2 -⨯的结果是( ) A ．32- B ．23
- C ．23 D ．32 10．下列各式计算正确的是（ ） A ．5210a a a = B ．()428=a a C ．()236a b a b = D ．358a a a +=
11．已知代数式2a －b ＝7，则－4a ＋2b ＋10的值是（ ）
A ．7
B ．4
C ．－4
D ．－7 12．下列运算正确的是（ ）． A ．236x x x =
B ．2242x x x +=
C ．22(2)4x x -=-
D ．358(3)(5)15a a a --=
二、填空题
13．已知2a －b ＋2＝0，则1－4a ＋2b 的值为______．
14．若23x =，25y =，则22x y +=____________．
15．我们知道，同底数幂的乘法法则为m n m n a a a +⋅=（其中0a ≠，m 、n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算：()()()h m n h m h n +=⋅；比如(2)3h =，则(4)(22)339h h =+=⨯=，若(2)(0)h k k =≠，那么(8)h ＝_______，(2)(2020)h n h ⋅＝_______．
16．已知x 2－3x －1＝0，则2x 3－3x 2－11x ＋1＝________．
17．计算：()()2
99990.045⎡⎤⨯-⎣⎦的结果是______． 18．若2x y a +=，2x y b -=，则22x y -的值为____________．
19．若210x x --=，则3225x x -+的值为________．
20．若9m ＝4，27n ＝2，则32m ﹣3n ＝__．
三、解答题
21．如图1，将一个长为4a ，宽为2b 的长方形，沿图中虚线均匀分成4个小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形．
（1）图2的空白部分的边长是多少？（用含a ，b 的式子表示）
（2）若2a+b=7，且ab=6，求图2中的空白正方形的面积；
（3）观察图2，用等式表示出（2a-b ）2，ab 和（2a+b ）2的数量关系．
22．（1）计算：()()()()2
3232121a a a a a -++-+-
（2）分解因式：244xy xy x -+ 23．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系；
（2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =
，试求x y +的值； （3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．
24．先化简，再求值：()()()2
222x y x y x y --+-其中1x =-，2y =
25．计算：
（1）x 2·
x （2）（x 3）5
（3）（-2x 3）2
26．因式分解：
（1）4x 2y ﹣4xy +y ；
（2）9a 2﹣4（a +b ）2．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
由4a 2+ma+25是完全平方式，可知此完全平方式可能为（2a±5）2，再求得完全平方式的结果，根据多项式相等，即可求得m 的值．
【详解】
解：∵4a 2+ma+25是完全平方式，
∴4a 2+ma+25=（2a±5）2=4a 2±20a+25，
∴m=±20．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
2．B
解析：B
【分析】
把多项式的乘积展开，合并同类项，令含y 的一次项的系数为0，可求出a 的值．
【详解】
()2y a +()5y -=5y-y 2+10a-2ay=-y 2+(5-2a)y+10a ，
∵多项式()2y a +与多项式()5y -的乘积中不含y 的一次项，
∴5-2a=0，
∴a=
52
． 故选B ．
【点睛】 本题考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于将多项式的乘积展开，令含y 的一次项的系数为0，得到关于a 的方程．
3．C
解析：C
【分析】
利用不同的方法表示出空白部分的面积：一种是利用公式2
()a b -直接计算，另一种是割补法得222a ab b -+，根据面积相等即可建立等式，得出结论．
【详解】
解：空白部分的面积：2()a b -，
还可以表示为：222a ab b -+，
∴此等式是222()2a b a ab b -=-+．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了完全平方公式的几何意义，注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示出空
白部分的面积是解题的关键．
4．D
解析：D
【分析】
根据题意逐一计算即可判断．
【详解】
A 、当m=1，n=4时，则m n <，∴2224210y n =+=⨯+=，不合题意；
B 、当m=2，n=5时，则m n <，∴2225212y n =+=⨯+=，不合题意；
C 、当m=5，n=3时，则m n >，∴3135114y m =-=⨯-=，不合题意；
D 、当m=2，n=2时，则m n >，∴313215y m =-=⨯-=，符合题意；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，有理数的混合运算等知识，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．
5．A
解析：A
【分析】
①根据同类项的定义判断计算；②根据幂的乘方公式计算；
③利用零指数幂和有理数的混合运算法则计算；④根据同类项的定义判断计算.
【详解】
∵2x 与3x 不是同类项，无法合并，∴①是错误的；
∵()3
26x x =，∴②是正确的； ∵032112-1=1⨯-=⨯，∴③是错误的； ∵53-5+3=-2--+=，∴④是错误的；
综上所述，只有一个正确，
故选：A.
【点睛】
本题考查了合并同类项，幂的乘方，零指数幂，绝对值，有理数的混合运算，熟练掌握公式及其运算法则是解题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
根据平方差公式()()22
a b a b a b -+=-一项一项代入判断即可． 【详解】
A 选项：两项都是互为相反数，故不能用平方差公式；
B 选项：两项有一项完全相同，另一项为相反数，故可用平方差公式；
C 选项：两项完全相同，故不能用平方差公式；
D 选项：有一项2-与1不同，故不能用平方差公式．
故选：B ．
【点睛】
此题考查平方差的基本特征：()()22
a b a b a b -+=-中a 与b 两项符号不同，难度一般．
7．C
解析：C
【分析】
根据合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方进行计算．
【详解】
解：A. 2222a a a +=，故选项A 计算错误；
B. 235a a a ⋅=，故选项B 计算错误；
C. ()22439a a -=，故选项C 计算正确；
D. 22(11)2a a a +=++，故选项D 计算错误；
故选：C
【点睛】
本题考查了合并同类项、完全平方公式、幂的乘方与积的乘方，熟记计算法则即可解题． 8．D
解析：D
【分析】
根据平方差公式因式分解然后约分，便可归纳出来即可．
【详解】
解：A 、A 5＝22221111631111==2345105
⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， A 6＝231715612
⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭， 37512
> ∴A 5＞A 6，
此选项不符合题意；
B 、A 4＝2221115111=2348
⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴A 52＝
925，A 4A 6＝5735=81290⨯， ∵9352590
<， ∴A 52＜A 4A 6，
此选项不符合题意；
C 、∵A 2＝2131=24-
， 且345674681012
<<<<<， ∴n ≥2时，恒有A n ≤34
， 此选项不符合题意；
D 、当m ＝2015时，A m ＝
2015+120161008==2201540302015⨯， 当n ＞m 时，A n ＜10082015
， ∴存在正整数m ，使得当n ＞m 时，A n ＜
10082015， 此选项符合题意；
故选择：D ．
【点睛】
本题考查数字的变化规律，平方差公式，关键是根据题目找出规律是关键．
9．D
解析：D
【分析】
利用积的乘方的逆运算解答．
【详解】
()()202020213232 -⨯ =20202020233322⎛⎫⎛⎫-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=2020233322⎛⎫-⨯⨯ ⎪⎝⎭
=32
． 故选：D ．
【点睛】
此题考查积的乘方的逆运算，掌握积的乘方的计算公式是解题的关键．
10．B
解析：B
【分析】
根据同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、合并同类项法则逐一计算即可判断．
【详解】
解：A 、a 5•a 2＝a 7，此选项计算错误，故不符合题意；
B 、（a 2）4＝a 8，此选项计算正确，符合题意；
C 、（a 3b ）2＝a 6b 2，此选项计算错误，故不符合题意；
D 、a 3与a 5不能合并，此选项计算错误，故不符合题意．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查幂的运算，合并同类项，解题的关键是熟练掌握同底数幂相乘、幂的乘方与积的乘方的运算法则．
11．C
解析：C
【分析】
直接将原式变形，进而把已知代入求出答案．
【详解】
解：∵－4a ＋2b ＋10
=10-2（2a-b ），
把2a-b=7代入上式得：原式=10-2×7=10-14=-4．
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，正确将原式变形是解题关键．
12．D
解析：D
【分析】
根据整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算并判断．
【详解】
A 、235x x x =，故该项错误；
B 、2222x x x +=，故该项错误；
C 、22(2)4x x -=，故该项错误；
D 、358(3)(5)15a a a --=，故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查整式的计算，正确掌握整式的同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，单项式乘以单项式计算法则是解题的关键．
二、填空题
13．5【分析】由得整体代入代数式求值【详解】解：∵∴∴原式故答案是：5
【点睛】本题考查代数式求值解题的关键是掌握整体代入的思想
解析：5
【分析】
由220a b -+=得22a b -=-，整体代入代数式求值．
【详解】
解：∵220a b -+=，
∴22a b -=-，
∴原式()()122122145a b =-+=-⨯-=+=．
故答案是：5．
【点睛】
本题考查代数式求值，解题的关键是掌握整体代入的思想．
14．75【分析】逆用积的乘方可得再逆用幂的乘方即可求解【详解】解：故答案为：75【点睛】本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用掌握积的乘方和幂的乘方是解题的关键
解析：75
【分析】
逆用积的乘方可得22222x y x y +=⋅，再逆用幂的乘方即可求解．
【详解】
解：()2222222223575x y x y x y
+=⋅=⋅=⨯=， 故答案为：75．
【点睛】
本题考查积的乘方和幂的乘方的逆用，掌握积的乘方和幂的乘方是解题的关键． 15．kn+1010【分析】根据h （m+n ）=h （m ）•h （n ）通过对所求式子变形然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题【详解】解：
∵∴===∵===kn•k1010=kn+1010故答案为：kn+101
解析：4k k n+1010
【分析】
根据h （m+n ）=h （m ）•h （n ），通过对所求式子变形，然后根据同底数幂的乘法计算即可解答本题．
【详解】
解：∵()()()h m n h m h n +=⋅，(2)(0)h k k =≠，
∴(8)h =(2222)h +++=(2)(2)(2)(2)h h h h ⋅⋅⋅=4k ，
∵(2)(0)h k k =≠，
(2)(2020)h n h ⋅
=(22...2)(22...2)h h +++⋅+++
=(2)(2)...(2)(2)(2)...(2)h h h h h h ⋅⋅⨯⋅⋅
=k n •k 1010
=k n+1010，
故答案为：4k ，k n+1010．
【点睛】
本题考查同底数幂的乘法、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新运算求出所求式子的值．
16．4【分析】根据x2－3x －1＝0可得x2－3x ＝1再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值【详解】解：∵x2－3x －1＝0∴x2－3x ＝1∴==将x2－3x ＝1代入原式==将x2－3x ＝1代
解析：4
【分析】
根据x 2－3x －1＝0可得x 2－3x ＝1，再将所求代数式适当变形后分两次整体代入即可求得值．
【详解】
解：∵x 2－3x －1＝0，
∴x 2－3x ＝1，
∴3223111x x x --+
=223132611x x x x -+-+
=()22
233111x x x x x -+-+
将x 2－3x ＝1代入
原式=221113x x x +-+
=23)13(x x -+
将x 2－3x ＝1代入
原式=314+=，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查代数式求值，因式分解法的应用．解决此题的关键是掌握“降次”思想和整体思想． 17．1【分析】根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可【详解】解：原式故答案为：1【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方熟练掌握法则是解题的关键
解析：1
【分析】
根据积的乘方的逆运算和幂的乘方计算即可
【详解】
解：原式()
()()()99992999999990.0450.04250.110425⎡⎤⨯-⨯⨯⎣===⎦== 故答案为：1
【点睛】
本题考查了积的乘方的逆运算和幂的乘方，熟练掌握法则是解题的关键
18．【分析】应用平方差把多项式因式分解再整体代入即可【详解】解：把代入原式=故答案为：【点睛】本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值是解题的关键 解析：4ab ．
【分析】
应用平方差把多项式22
x y -因式分解，再整体代入即可．
【详解】
解：22()()x y x y x y -=+-，
把2x y a +=，2x y b -=代入，
原式=224a b ab ⨯=，
故答案为：4ab ．
【点睛】
本题考查了运用平方差公式因式分解和整体代入求值，能够熟练运用平方差把多项式因式分解并整体代入求值，是解题的关键． 19．【分析】首先将已知条件变形为再把要求的式子变形然后整体代入即可求解【详解】解：∵即∴故答案为：4【点睛】此题主要考查了代数式求值把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键
解析：【分析】
首先将已知条件210x x --=变形为21x x -=，21x x -=，再把要求的式子变形，然后整体代入即可求解．
【详解】
解：∵210x x --=，即21x x -=，21x x -=，
∴()
323222514x x x x x -+=---+ ()()2214x x x x =---+
4x x =-+
4=．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键． 20．2【分析】根据指数的运算把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法再用幂的乘方的逆运算即可【详解】解：32m ﹣3n ＝32m÷33n ＝＝9m÷27n ＝4÷2＝2；故答案为：2【点睛】本题考查了幂的乘方与同底数幂
解析：2
【分析】
根据指数的运算，把32m ﹣3n 改写成同底数幂除法，再用幂的乘方的逆运算即可．
【详解】
解：32m ﹣3n ，
＝32m ÷33n ，
＝23(3)(3)m n
÷
＝9m ÷27n ，
＝4÷2，
＝2；
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了幂的乘方与同底数幂的除法的逆运算，根据指数的运算特点，把原式改写成对应的幂的运算是解题关键． 三、解答题
21．（1）2a-b ；（2）1；（3）22(2)(2)8a b a b ab +=-+
【分析】
（1）观察由已知图形，求出小长方形的长为2 a ，宽为b ，那么图2中的空白部分的正方形的边长是小长方形的长—小长方形的宽；
（2）通过观察图形，大正方形的边长为小长方形的长和宽的和．图2中空白部分的正方形的面积为大正方形的面积 - 四个小长方形的面积；
（3）通过观察图形知：（2 a +b ）2 ,（2 a -b ）2 , 8 a b ．分别表示的是大正方形、空白部分的正方形及小长方形的面积，据此即可解答．
【详解】
解：()1长为4a ，宽为2b 的长方形分成四个小长方形，
则小长方形的长为422a a ÷=，宽为22b b ÷=，
图2的空白部分的边长=小长方形的长 - 小长方形的宽，即图2的空白部分的边长是2a b -；
()2由图2可知，S 空白小正方形=()()22
2=28a b a b ab -+-， 27a b +=，且6ab =，
∴S 空白小正方形=()()222=28a b a b ab -+-=()2
786=1-⨯； ()3由图2可以看出，大正方形面积=空白部分的正方形的面积+四个小长方形的面积， 即：22
(2)(2)8a b a b ab +=-+．
【点睛】
此题考查了学生观察、分析图形解答问题的综合能力，以及对列代数式、代数式求值的理解与掌握．关键是通过观察图形找出各图形之间的关系．
22．（1）10；（2）()22x y -
【分析】
（1）根据整式的乘法公式及运算法则即可求解；
（2）先提取x ，再根据完全平方公式即可因式分解．
【详解】
（1）解：原式222366941a a a a a =-+++-+
10=
()2解：原式()244x y y =-+
()22x y =-．
【点睛】
此题主要考查整式的运算与因式分解，解题的关键是熟知整式的运算法则及因式分解的方法．
23．（1）()()224a b a b ab +--=；（2）6x y +=±；（3）-15．
【分析】
（1）由长方形的面积公式解得图1的面积，图2中白色部分面积为大正方形面积与小正方形面积的差，又由图1与图2中的空白面积相等，据此列式解题；
（2）由（1）中结论可得()()224x y x y xy +--=，将5x y -=，114
xy =
整体代入，结合平方根性质解题；
（3）将()2019m -与()2021m -视为一个整体，结合（1）中公式，及平方的性质解题即可．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为()()
()()2222a b b a a b a b +--=+-- ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等 ∴()()224a b a b ab +--=
（2）根据（1）中的结论，可知()()224x y x y xy +--=
∵5x y -=，114xy =
∴()2211544x y +-=⨯
∴()2
36x y += ∴6x y +=±
（3）∵()()201920212m m -+-=-
∴()()2
201920214m m -+-=⎡⎤⎣⎦ ∴()()()()22
201922019202120214m m m m -+--+-=
∵()()22
2019202134m m -+-= ∴()()22019202143430m m --=-=-
∴()()2019202115m m --=-．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24．248xy y -+，40
【分析】
先提公因式(2)x y -，然后计算括号内的运算，得到最简整式，然后把1x =-，2y =代入计算，即可得到答案．
【详解】
解：原式()()()222x y x y x y =---+⎡⎤⎣⎦
()[]222x y x y x y =----
()42y x y =--
248xy y =-+．
当1x =-，2y =时，
原式()4212240=-⨯⨯--⨯=．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算，整式的化简求值，解题的关键是掌握运算法则进行化简． 25．（1）3x ，（2）15x ，（3）64x ．
【分析】
（1）按照同底数幂相乘法则计算即可；
（2）按照幂的乘方法则计算即可；
（3）先按照积的乘方运算，再计算幂的乘方即可．
【详解】
解：（1）2213x x x x +⋅==，
（2）353515()x x x ⨯==，
（3）322326(2)(2)()4x x x -=-⨯=．
【点睛】
本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方运算，熟练掌握这些幂的运算法则是解题关键．
26．（1）y （2x ﹣1）2；（2）（5a +2b ）（a ﹣2b ）
【分析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用平方差公式分解，再化简即可．
【详解】
解：（1）4x2y﹣4xy+y
＝y（4x2﹣4x+1）
＝y（2x﹣1）2；
（2）9a2﹣4（a+b）2
＝[3a+2（a+b）][3a﹣2（a+b）]
＝（5a+2b）（a﹣2b）．
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．。