2013-2014概率论与数理统计试卷

2013-2014概率论与数理统计试卷
1、设C B A ,, 江南⼤学考 1
考试形式开卷（）、闭卷（√），在选项上打（√）
开课教研室应⽤数学命题教师唐旭清命题时间 2014.6 使⽤学期 2013-2-14（2）
三、〖计14分〗设随机变量X 与Y 相互独⽴，且1~(,)X Ga αλ，
2~(,)Y Ga αλ，其中(,)Ga αλ分布的概率密度函数为 1,0()()0,0x
x e x p x x ααλλα--?≥?
=Γ??
参数0,0αλ>>。

设U X Y =+与()V X X Y =+，试求：（1）(,)U V 的联合密度函数,(,)U V P u v ；（2）判别随机变量U 与V 是否相互独⽴？试卷专⽤纸
总张数 3 教研室主任审核签字
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四、〖计14分〗设12,,,n x x x 是来⾃总体X 的⼀个样本，已知随机变量
X 的期望m （0m 1）和⽅差2s （20s >）均存在。

试求
（1）对样本12,,,n x x x 的线性组合
1
n
i i i x α=∑，问：组合系数12,,,n
ααα满⾜什么条
件时，统计量
1
n
i i i x α=∑是m 的⽆偏估计？
（2）进⼀步，当组合系数12,,,n ααα取何值时，统计量1
n
i i i x α=∑是m 的最有效估计？
2
五、〖计14分〗设甲、⼄两台机床加⼯某种零件，零件的直径服从正态
分布。

假设这正态分布相互独⽴。

127,,,x x x 和128,,,y y y 分别来⾃甲、⼄两台机床
加⼯零件直径的样本，且它们的样本均值和样本⽅差分别是：16x =，2
0.2729x S =；
15.925y =，2
0.2164y
S =。

取显著性⽔平0.05α=，试求（1）是否可以认为这两台机床加⼯零件直径的⽅差是相等的？
（2）进⼀步，在（1）的基础之上，是否可以认为这两台机床加⼯零件直径的均值是相等的？（注：写出解题步骤）
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六、〖计12分〗已知某量x 与y 具有近似的线性关系。

今获得x 与y 间
10组试验数据，且有如下数据结果： 0.99x =，0.45y =，81.709xx l =，65.935xy l =和
60.145yy l =。

试求
（1）建⽴y 关于x 的⼀元线性回归⽅程；
（2）对（1）中⼀元线性回归⽅程进⾏显著性检验，其中显著性⽔平0.05α=；（3）当0 3.5x =时，计算y 的预测值。

3
七、〖计12分〗设随机变量X 服从参数为λ（0λ>）的Poisson 分布，
即~()X P λ，其特征函数为
(1)
()it e X t e
l j -=
试利⽤特征函数的性质证明：（1）当λ→+∞ 时，随机变量X Y λλ
λ
-=
按分布收敛于标准
正态分布；（2）Poisson 分布对参数λ具有可加性，即设随机变量X 与Y 相互独⽴，且1~()X P λ，2~()Y P λ，则12~()X Y P λλ++。

附：0.95 1.645u =, 0.975 1.96u =
0.95(13) 1.7709t =, 0.975(13) 2.1604t =, 0.95(14) 1.7613t =, 0.975(14) 2.1448t =
0.950.050.9750.025(1,8) 5.32,(1,8)1238.88,(1,8)7.57,(1,8)1/956.66F F F F ==== 0.950.050.9750.025(1,9) 5.12,(1,9)1240.54, (1,9)7.21,(1,9)1/963.28F F F F ==== 0.950.050.9750.025(6,7) 3.87,(6,7)14.21,(6,7) 5.12,(6,7)1/5.70F F F F ====
0.950.050.9750.025(7,8) 3.5,(7,8)13.73,(7,8) 4.53,(7,8)1/4.90F F F F ====
试卷专⽤纸。