陕西省渭南市2021届新高考数学第三次调研试卷含解析

陕西省渭南市2021届新高考数学第三次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若圆锥轴截面面积为60°，则体积为( )
A B ． C D
【答案】D
【解析】
【分析】
设圆锥底面圆的半径为r ，由轴截面面积为r ，再利用圆锥体积公式计算即可.
【详解】
设圆锥底面圆的半径为r ，由已知，1
22r ⨯=r =
所以圆锥的体积213V r π==.
故选：D
【点睛】
本题考查圆锥的体积的计算，涉及到圆锥的定义，是一道容易题.
2．关于x 的不等式0ax b ->的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式()(3)0ax b x +->的解集是（
） A ．(,1)(3,)-∞-+∞U B ．(1,3)-
C ．(1,3)
D ．(,1)(3,)-∞+∞U
【答案】A
【解析】
【分析】
由0ax b ->的解集，可知0a >及1b
a =，进而可求出方程()()30ax
b x +-=的解，从而可求出
()()30ax b x +->的解集.
【详解】
由0ax b ->的解集为()1,+?，可知0a >且1b
a =，
令()()30ax b x +-=，解得11x =-，23x =，
因为0a >，所以()()30ax b x +->的解集为()(),13,-∞-+∞U ，
【点睛】
本题考查一元一次不等式、一元二次不等式的解集，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于基础题.
3．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩
，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（ ） A ．73,2⎛
⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,0- C ．7
,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．()4,5
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f
f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32lo
g 93x f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数
()()y f f x =的零点所在区间.
【详解】
当0x ≤时，()34f x <≤.
当0x ≥时，()2932log 92log 9x x
x f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以
令()()0f f x =，得()32log 93x f x x =+-=，因为()303f =<
，
3377log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=->⨯+-=> ⎪⎝⎭
， 所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 故选：A
【点睛】
本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
4．已知条件:1p a =-，条件:q 直线10x ay -+=与直线210x a y +-=平行，则p 是q 的( ) A ．充要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分不必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】C
【解析】
【分析】
先根据直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行确定a 的值，进而即可确定结果. 【详解】
因为直线10x ay -+=与直线2
10x a y +-=平行，
所以20a a +=，解得0a =或1a =-；即0q a =：或1a =-；
所以由p 能推出q ；q 不能推出p ；
即p 是q 的充分不必要条件.
故选C
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．83π33
B ．4π1633
C ．33π3
D ．3π1633
【答案】D
【解析】
【分析】 结合三视图可知,该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,分别求出体积即可.
【详解】
由三视图可知该几何体的上半部分是半个圆锥,下半部分是一个底面边长为4,高为4的正三棱柱,则上半部分的半个圆锥的体积11143π4π23233
V =⨯⨯⨯=,下半部分的正三棱柱的体积2142342V =⨯⨯=163故该几何体的体积1243π33
V V V =+=+故选:D.
【点睛】
本题考查三视图,考查空间几何体的体积,考查空间想象能力与运算求解能力,属于中档题.
6．不等式42,3
x y x y -⎧⎨+⎩…„的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),25p x y D y x ∀∈-„；2:(,),22p x y D y x ∃∈-…；3:(,),22p x y D y x ∀∈-„；4:(,),24p x y D y x ∃∈-….其中的真命题是（ ）
A ．12,p p
B ．23,p p
C ．13,p p
D ．24,p p 【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组表示的可行域，然后对四个选项一一分析可得结果.
【详解】
作出可行域如图所示，当1,2x y ==时，max (2)3y x -=，即2y x -的取值范围为(,3]-∞，所以1(,),25,x y D y x p ∀∈-„为真命题；
2(,),22,x y D y x p ∃∈-…为真命题；34,p p 为假命题.
故选：
A
【点睛】
此题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于中档题. 7．集合{}2|30A x x x =-≤，(){}
|lg 2B x y x ==-，则A B ⋂=( ) A ．{}|02x x ≤<
B ．{}|13x x ≤<
C ．{}|23x x <≤
D ．{}|02x x <≤
【答案】A
【解析】
【分析】 解一元二次不等式化简集合A ，再根据对数的真数大于零化简集合B ，求交集运算即可.
由230x x -≤可得03x ≤≤，所以{|03}A x x =≤≤，由20x ->可得2x <,所以{|2}B x x =<,所以{|02}A B x x ⋂=≤<，故选A ．
【点睛】
本题主要考查了集合的交集运算，涉及一元二次不等式解法及对数的概念，属于中档题.
8．已知函数()ln 2f x x ax =-，()2
42ln ax g x x x
=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a 的取值范围为（ ）
A ．(]0,e
B ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦
C ．(),e +∞
D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 【答案】B
【解析】
【分析】 由题意可将方程转化为ln 422ln x ax a x x -=-，令()ln x t x x
=，()()0,11,x ∈+∞U ，进而将方程转化为()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，即()2t x =-或()2t x a =，再利用()t x 的单调性与最值即可得到结论.
【详解】
由题意知方程()()f x g x =在()()0,11,+∞U 上恰有三个不相等的实根， 即2
4ln 22ln ax x ax x x
-=-，①. 因为0x >，①式两边同除以x ，得
ln 422ln x ax a x x -=-. 所以方程ln 4220ln x ax a x x
--+=有三个不等的正实根. 记()ln x t x x
=，()()0,11,x ∈+∞U ，则上述方程转化为()()4220a t x a t x --+=. 即()()220t x t x a +-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()2t x =-或()2t x a =.
因为()21ln x t x x
-'=，当()()0,11,x e ∈U 时，()0t x '>，所以()t x 在()0,1，()1,e 上单调递增，且0x →时，()t x →-∞.
当(),x e ∈+∞时，()0t x '
<，()t x 在(),e +∞上单调递减，且x →+∞时，()0t x →. 所以当x e =时，()t x 取最大值1，当()2t x =-，有一根.
所以()2t x a =恰有两个不相等的实根，所以102a e
<<
. 故选：B.
【点睛】 本题考查了函数与方程的关系，考查函数的单调性与最值，转化的数学思想，属于中档题.
9．设m ∈R ，命题“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是( )
A ．任意0m >，使方程20x x m +-=无实根
B ．任意0m ≤，使方程20x x m +-=有实根
C ．存在0m >，使方程20x x m +-=无实根
D ．存在0m ≤，使方程20x x m +-=有实根
【答案】A
【解析】
【分析】
只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.
【详解】
由特称命题的否定是全称命题，知“存在0m >，使方程20x x m +-=有实根”的否定是
“任意0m >，使方程20x x m +-=无实根”.
故选：A
【点睛】
本题考查含有一个量词的命题的否定，此类问题要注意在两个方面作出变化：1.量词，2.结论，是一道基础题.
10．已知,m n 是两条不重合的直线，,αβ是两个不重合的平面，下列命题正确的是（ ）
A ．若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP
B ．若m n ∥，m α⊥，n β⊥，则αβP
C ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥
D ．若m n ⊥，m αP ，n β⊥，则αβ⊥
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果.
A 选项，若m αP ，m βP ，n α∥，n β∥，则αβP 或α与β相交；故A 错；
B 选项，若m n ∥，m α⊥，则n α⊥，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP ，故B 正确；
C 选项，若m n ⊥，m α⊂，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊂，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故C 错；
D 选项，若m n ⊥，m αP ，则n α⊂或n α∥或n 与α相交，又n β⊥，,αβ是两个不重合的平面，则αβP 或α与β相交；故D 错；
故选B
【点睛】
本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常考题型. 11．著名的斐波那契数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，…，满足121a a ==，21n n n a a a ++=+，*N n ∈，
若2020
211n n k a a
-==∑，则k =( )
A ．2020
B ．4038
C ．4039
D ．4040 【答案】D
【解析】
【分析】
计算134a a a +=，代入等式，根据21n n n a a a ++=+化简得到答案.
【详解】
11a =，32a =，43a =，故134a a a +=，
2020
21134039457403967403940401............n n a a a a a a a a a a a a -==+++=++++=+++==∑，
故4040k =.
故选：D .
【点睛】
本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.
12．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( )
A ．1或1-
B ．25或25-
C ．1或25-
D ．1-或25
【答案】B
根据三角函数的定义求得sin ,cos a a 后可得结论．
【详解】
由题意得点P 与原点间的距离5r m =
=．
①当0m >时，5r m =， ∴3344sin ,cos 5555
m m a a m m -====-， ∴3422sin cos 2555a a +=⨯-=． ②当0m <时，5r m =-，
∴3344sin ,cos 5555
m m a a m m -==-==--， ∴3422sin cos 2555a a ⎛⎫+=⨯-+
=- ⎪⎝⎭． 综上可得2sin cos a a +的值是
25或25
-． 故选B ．
【点睛】 利用三角函数的定义求一个角的三角函数值时需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x ，纵坐标y ，该点到原点的距离r ，然后再根据三角函数的定义求解即可．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．命题“20210x x x ∃<-->，”的否定是______．
【答案】0x ∀<，2210x x --≤
【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题20210x x x ∃<-->，，
则该命题的否定是：0x ∀<，2210x x --≤
故答案为：0x ∀<，2210x x --≤．
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
14．已知函数()cos 2(sin cos )32019f x x a x x x =+-++在[0,]π上单调递增，则实数a 值范围为
【答案】[2
-
【解析】
【分析】 由()0f x '≥在[0,]π上恒成立可求解．
【详解】
()2sin 2(cos sin )3f x x a x x '=-+++，
令cos sin )4
t x x x π=+=+，∵[0,]x π∈
，∴[t ∈-， 又21sin 2t x =+，2sin 21x t =-，从而2()25f x t at '=-++，令2()25g t t at =-++，
问题等价于()0g t ≥
在[1t ∈-
时恒成立，∴(1)250450g a g -=--+≥⎧⎪⎨=-++≥⎪⎩
，解得32a -≤≤．
故答案为：[,3]2
-
． 【点睛】
本题考查函数的单调性，解题关键是问题转化为()0f x '≥恒成立，利用换元法和二次函数的性质易求解．
15．已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为9π和15π，则该圆锥的体积为________
【答案】12π
【解析】
【分析】
依据圆锥的底面积和侧面积公式，求出底面半径和母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，最后利用圆锥的体积公式求出体积。

【详解】
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，所以有 2915r rl πππ
⎧=⎨=⎩ 解得35r l =⎧⎨=⎩
，4h ∴== 故该圆锥的体积为22
11V=341233r h πππ=⨯⨯=。

【点睛】
本题主要考查圆锥的底面积、侧面积和体积公式的应用。

16．函数()f x 满足()()4f x f x =-，当[)2,2x ∈-时，3223,2()1,2
x x a x a f x x a x ⎧++-≤≤=⎨-<<⎩，若函数()f x
在[)0,2020上有1515个零点，则实数a 的范围为___________. 【答案】1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】
【分析】 由已知，()f x 在[2,2)-上有3个根，分21a >≥，01a <<，
10a -<≤，21a -<≤-四种情况讨论()f x 的单调性、最值即可得到答案.
【详解】
由已知，()f x 的周期为4，且至多在[2,2)-上有4个根，而[)0,2020含505个周期，所以()f x 在[2,2)-上有3个根，设32()23g x x x a =++，'2()66g x x x =+，易知()g x 在(1,0)-上单调递减，在(,1)-∞-，(1,)+∞上单调递增，又(2)40g a -=-<，(1)50g a =+>.
若21a >≥时，()f x 在(,2)a 上无根，()f x 在[2,]a -必有3个根，
则(1)0(0)0f f ->⎧⎨<⎩，即100a a +>⎧⎨<⎩
，此时a ∈∅； 若01a <<时，()f x 在(,2)a 上有1个根，注意到(0)0f a =>，此时()f x 在[2,]a -不可能有2个根，故不满足；
若10a -<≤时，要使()f x 在[2,]a -有2个根，只需(1)0()0
f f a ->⎧⎨≤⎩，解得102a -≤≤； 若21a -<≤-时，()f x 在[2,]a -上单调递增，最多只有1个零点，不满足题意；
综上，实数a 的范围为102a -
≤≤. 故答案为：1,02
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点个数问题，涉及到函数的周期性、分类讨论函数的零点，是一道中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设函数 . (I)求的最小正周期；
(II)若且，求的值.
【答案】 (I)；(II)
【解析】 【分析】 (I)化简得到
，得到周期.
(II) ，故，根据范围判断，代入计算得到答
案. 【详解】 (I)
，故.
(II) ，故，，
，故，，
故，故，
.
【点睛】
本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
18．已知曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为38cos 43sin
4x t y t ππ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（
t
为参数）.
（1）求1C 和2C 的普通方程；
（2）过坐标原点O 作直线交曲线1C 于点M （M 异于O ），交曲线2C 于点N ，求
||
||
ON OM 的最小值.
【答案】（1）曲线1C 的普通方程为：2
2
(2)4x y -+=；曲线2C 的普通方程为：80x y +-=（2）21)
【分析】
（1）消去曲线12,C C 参数方程中的参数，求得1C 和2C 的普通方程.
（2）设出过原点O 的直线的极坐标方程，代入曲线12,C C 的极坐标方程，求得,ON OM 的表达式，结合三角函数值域的求法，求得||
||
ON OM 的最小值.
【详解】
（1）曲线1C 的普通方程为：2
2
(2)4x y -+=； 曲线2C 的普通方程为：80x y +-=.
（2）设过原点的直线的极坐标方程为30,,4R πθββπβρ⎛⎫
=≤<≠∈ ⎪⎝⎭
； 由22(2)4x y -+=得22
40x y x +-=，所以曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=
在曲线1C 中，4|o |c s OM β=.
由80x y +-=得曲线2C 的极坐标方程为cos sin 80ρθρθ+-=，所以 而O 到直线与曲线2C 的交点N 的距离为8
||sin cos ON ββ
=
+，
因此
28
||2
4
sin cos ||4cos sin cos cos 21
4ON OM ββπββββ
β+===+⎛
⎫++ ⎪⎝
⎭，
即||||ON OM
1)=. 【点睛】
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.
19．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，并且222b c a bc +-=. （1）已知_______________，计算ABC V 的面积；
请①a =
2b =，③sin 2sin C B =这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，
只需选择其中的一种情况作答即可，如果选择多种情况作答，以第一种情况的解答计分. （2）求cos cos B C +的最大值. 【答案】（1）见解析（2）1 【解析】
（1） 选②2b =，③sin 2sin C B =．可得24c b ==，结合222b c a bc +=+，求得3
A π
=．即可；若
选①a =2b =．由222b c a bc +=+可得3c =由222b c a bc +=+，求得3
A π
=．即可；若选
①a =
sin 2sin C B =，可得2c b =，又222b c a bc +=+，可得b =
，c = （2）化简cos cos sin()6B C B π
+=+，根据角的范围求最值即可．
【详解】
（1）若选②2b =，③sin 2sin C B =．
sin 2sin C B =Q ，
24c b ∴==，
222b c a bc +=+Q ，
2221
cos 22
b c a A bc +-∴==，
又(0,)A π∈Q ，
3
A π
∴=
．
ABC ∆∴的面积11sin 24222
S bc A ==⨯⨯⨯=
若选①a =
2b =．由222b c a bc +=+可得3c =，
222b c a bc +=+Q ，
2221
cos 22
b c a A bc +-∴==，
又(0,)A π∈Q ，
3
A π
∴=
．
ABC ∆∴的面积11sin 2322S bc A ==⨯⨯=
若选①a =
sin 2sin C B =
sin 2sin C B =Q ，
2c b ∴=，
又222b c a bc +=+，
222472b b b ∴+=+，可得b =
，c =
ABC ∆∴的面积11sin 223326
MBC S bc A ==⨯=
． （2）3
A π
=
Q
1cos cos cos cos[()]cos cos()cos cos 332B C B B B B B B B πππ∴+=+-+=-+=-+
1cos sin()26
B B B π
=+=+ Q 2
03
B π<<，
5366
B πππ∴<+< ∴当3
B π
=
时，sin()cos cos 6B B C π
+=+有最大值1．
【点睛】
本题考查了正余弦定理，三角三角恒等变形，考查了计算能力，属于中档题．
20．已知矩阵2011M ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．
【答案】矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】 【分析】
先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令()0f λ=解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量. 【详解】
由题意，矩阵M 的特征多项式为()22
321
1
f λλλλλ-==-+--，
令()0f λ=，解得11λ=，22λ=，
将11λ=代入二元一次方程组()()200
10x y x y λλ⎧-⋅+⋅=⎪⎨-+-=⎪⎩
，解得0x =，
所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
；
同理，矩阵M 属于特征值2的一个特征向量为11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
v
【点睛】
本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
21．设数列{}n a ，{}n b 的各项都是正数，n S 为数列{}n a 的前n 项和，
且对任意n *∈N ，都有2
2n n n a S a =-，1b e =，21n n b b +=，ln n n n c a b =⋅（e 是自然对数的底数）.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n c 的前n 项和n T .
【答案】（1）n a n =，1
2n n b e -=（2）(1)21n n T n =-⋅+
【解析】 【分析】
（1）当2n ≥时,21112n n n a S a ---=-,与22n n n a S a =-作差可得11(2)n n a a n --=≥,即可得到数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,即可求解；对21n n b b +=取自然对数,则1ln 2ln n n b b +=,即{}ln n b 是以1为首项,
以2为公比的等比数列,即可求解；
（2）由（1）可得1
ln 2n n n n c a b n -==⋅,再利用错位相减法求解即可.
【详解】
解:（1）因为0n a >,2
2n n n a S a =-,①
当1n =时,2
1112a S a =-,解得11a =； 当2n ≥时,有2
1112n n n a S a ---=-,②
由①-②得,()()2
2
11112(2)n n n n n n n n a a S S a a a a n -----=---=+≥,
又0n a >,所以11(2)n n a a n --=≥,
即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列,故n a n =,
又因为2
1n n b b +=,且0n b >,取自然对数得1ln 2ln n n b b +=,所以
1
ln 2ln n n
b b +=, 又因为1ln ln 1b e ==,
所以{}ln n b 是以1为首项,以2为公比的等比数列,
所以1
ln 2n n b -=,即1
2n n b e -=
（2）由（1）知,1
ln 2n n n n c a b n -==⋅,
所以1221
112(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,③
123121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n T n n -⨯=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯L ,④
③减去④得:2112222n n
n T n --=++++-⨯L
()()121221212121
n n n n n n n n -=
-⨯=--⨯=---,
所以(1)21n
n T n =-⋅+
【点睛】
本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和. 22．已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5=45，a 2+a 6=1． （I ）求{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }满足：
12222b b ++…1()2
n n n b a n N *
+=+∈，求{b n }的前n 项和． 【答案】（I ）21n a n =-；（Ⅱ）224n +- 【解析】 【分析】 【详解】 （Ⅰ）设等差数列的公差为4，则依题设2d =．
由,可得2n c =． 由，得
，可得
．
所以．
可得． （Ⅱ）设，则
.
即
，
可得2n c =，且． 所以，可知．
所以，
所以数列是首项为4，公比为2的等比数列．
所以前n 项和
．
考点：等差数列通项公式、用数列前n 项和求数列通项公式．
23．已知函数1()lnx
f x x
+=
（1）若1
()f x ax x
<+恒成立，求实数a 的取值范围；
（2）若方程()f x m =有两个不同实根1x ，2x ，证明：122x x +>． 【答案】（1）1
(,)2e
+∞（2）详见解析 【解析】 【分析】
（1）将原不等式转化为2
ln x a x
>
，构造函数2ln ()x
g x x =，求得()g x 的最大值即可； （2）首先通过求导判断()f x 的单调区间，考查两根的取值范围，再构造函数()()(2)h x f x f x =--，将问题转化为证明()0h x <，探究()h x 在区间内的最大值即可得证． 【详解】
解：（1）由1
()f x ax x <+，即
ln x ax x <， 即2ln x
a x
>
， 令2ln (),(0)x
g x x x =>，则只需max ()a g x >，
3
12ln ()x
g x x
'-=，令()0g x '=，得x =
()g x ∴在上单调递增，在)+∞上单调递减，
max 1()2g x g e
∴==
， a ∴的取值范围是1
(
,)2e
+∞； （2）证明：不妨设'
122
ln ,()x
x x f x x <=-
， ∴当(0,1)x ∈时，'()0,()f x f x >单调递增，
当(1,)x ∈+∞时，'
()0,()f x f x <单调递减，
1(1)1,0f f e ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
Q ，当x →+∞时，()0f x →，
121
0m 1,1x x e
∴<<<<<，
要证122x x +>，即证212x x >-， 由211,
21,
()x x f x >->在(1,)+∞上单调递增，
只需证明()()212f x f x <-，
由()()12f x f x =，只需证明()()112f x f x <-， 令()()(2)h x f x f x =--，(0,1)x ∈， 只需证明()0h x <，
易知22
ln ln(2)
(1)0,()()(2)(2)x x h h x f x f x x x '''
-==+-=-
--， 由(0,1)x ∈，故22
ln 0,(2)x x x -><-，
22
ln ln(2)ln[(2)]
()0(2)(2)
x x x x h x x x '-----∴>
=>--， 从而()h x 在(0,1)上单调递增，
由(1)0h =，故当(0,1)x ∈时，()0h x <， 故122x x +>，证毕． 【点睛】
本题考查利用导数研究函数单调性，最值等，关键是要对问题进行转化，比如把恒成立问题转化为最值问题，把根的个数问题转化为图像的交点个数，进而转化为证明不等式的问题，属难题．。