高考数学一轮复习教学案数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入
[知识能否忆起]
一、复数的有关概念
1．复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．
2．复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c ，b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．
3．共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＋d ＝0(a ，b ，c ，d ∈R )．
4．复数的模：向量OZ ―→的长度叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.
二、复数的几何意义
复数z ＝a ＋b i ―→复平面内的点Z (a ，b )―→平面向量OZ . 三、复数的运算
1．复数的加、减、乘、除运算法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则： (1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； (4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )
＝
(ac ＋bd )＋(bc －ad )i
c ＋
d (c ＋d i ≠0)．
2．复数加法、乘法的运算律
对任意z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)；z 1·z 2＝z 2·z 1，(z 1·z 2)·z 3＝z 1·(z 2·z 3)，z 1(z 2＋z 3)＝z 1z 2＋z 1z 3.
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若(1－2i)(a ＋i)为纯虚数，则a 的值等于( )
A ．－6
B ．－2
C ．2
D ．6
解析：选B 由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋2＝0，
1－2a ≠0，由此解得a
＝－2.
2．(·湖南高考)若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝－1，b ＝－1
D ．a ＝1，b ＝－1
解析：选D 由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.
3．(·天津高考)i 是虚数单位，复数5＋3i
4－i ＝( )
A ．1－i
B ．－1＋i
C ．1＋i
D ．－1－i
解析：选C 5＋3i 4－i ＝(5＋3i )(4＋i )(4－i )(4＋i )＝20＋5i ＋12i ＋3i 216－i 2＝17＋17i
17＝1＋i.
4．若复数z 满足z
1＋i ＝2i ，则z 对应的点位于第________象限．
解析：z ＝2i(1＋i)＝－2＋2i ，因此z 对应的点为(－2,2)，在第二象限内． 答案：二
5．若复数z 满足z ＋i ＝3＋i
i ，则|z |＝________.
解析：因为z ＝3＋i
i －i ＝1－3i －i ＝1－4i ，则|z |＝17.
答案：17 1.复数的几何意义
除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意 (1)|z |＝|z －0|＝a (a >0)表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； (2)|z －z 0|表示复数z 对应的点与复数z 0对应的点之间的距离． 2．复数中的解题策略
(1)证明复数是实数的策略：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z . (2)证明复数是纯虚数的策略：①z ＝a ＋b i 为纯虚数⇔a ＝0，b ≠0(a ，b ∈R )； ②b ≠0时，z －z ＝2b i 为纯虚数；③z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0且z ≠0.
复数的有关概念
典题导入
[例1] (1)(·陕西高考)设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚
数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
(2)(·郑州质检)如果复数2－b i
1＋2i (其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，
那么b 等于( )
A ．－23 B.23
C. 2
D ．2
[自主解答] (1)若复数a ＋b
i ＝a －b i 为纯虚数，则a ＝0，b ≠0，ab ＝0；而ab ＝0时a
＝0或b ＝0，a ＋b i 不一定是纯虚数，故“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的必要不充分
条件．
(2)2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(2－2b )－(4＋b )i
5，
依题意有2－2b ＝4＋b ，解得b ＝－2
3.
[答案] (1)B (2)A
由题悟法
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )由它的实部与虚部唯一确定，故复数z 与点Z (a ，b )相对应．
以题试法
1．(·东北模拟)已知x
1＋i ＝1－y i ，其中x ，y 是实数，i 是虚数单位，则x ＋y i 的共轭复
数为( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
解析：选D 依题意得x ＝(1＋i)(1－y i)＝(1＋y )＋(1－y )i ；又x ，y ∈R ，于是有
⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝1＋y ，1－y ＝0，解得x ＝2，y ＝1. x ＋y i ＝2＋i ，因此x ＋y i 的共轭复数是2－i.
复数的几何意义
典题导入
[例2] (·山西四校联考)已知复数z 的实部为－1，虚部为2，则2－i
z (i 为虚部单位)在复
平面内对应的点所在的象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 [自主解答] 选C 依题意得2－i z ＝2－i －1＋2i ＝(2－i )(－1－2i )(－1＋2i )(－1－2i )＝－4－3i
5，因此该复
数在复平面内对应的点的坐标是⎝⎛⎭⎫－45
，－3
5，位于第三象限． 由题悟法
复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题．
以题试法
2．(1)在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )
A ．4＋8i
B ．8＋2i
C ．2＋4i
D ．4＋i
(2)(·连云港模拟)已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．
解析：(1)复数6＋5i 对应的点为A (6,5)，复数－2＋3i 对应的点为B (－2,3)．利用中点坐标公式得线段AB 的中点C (2,4)，故点C 对应的复数为2＋4i.
(2)由条件得OC ＝(3，－4)，OA ＝(－1,2)，OB ＝(1，－1)， 根据OC ＝λOA ＋μOB 得
(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ －λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
λ＝－1，μ＝2. ∴λ＋μ＝1. 答案：(1)C (2)1
复数的代数运算
典题导入
[例3] (1)(·山东高考)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i
D ．－3－5i (2)(·重庆高考)复数i 2＋i 3＋i 41－i ＝( )
A ．－12－12i
B ．－12＋12i
C.12－1
2
i
D.12＋12
i [自主解答] (1)z ＝11＋7i 2－i ＝(11＋7i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝15＋25i
5＝3＋5i.
(2)i 2＋i 3＋i 41－i ＝(－1)＋(－i )＋11－i ＝－i
1－i
＝
－i (1＋i )
(1－i )(1＋i )＝1－i 2＝12－1
2i.
[答案] (1)A (2)C
由题悟法
1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i 的幂写成最简形式．
2．记住以下结论，可提高运算速度： ①(1±i)2＝±2i ；②
1＋i 1－i ＝i ；③1－i 1＋i
＝－i ；④a ＋b i i ＝b －a i ；⑤i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋
2＝
－1，i 4n ＋
3＝－i(n ∈N )．
以题试法
3．(1)(·山西四校联考)设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则
z z ＋z 2
的值为( )
A ．－3i
B ．－2i
C ．i
D ．－i
(2)i 为虚数单位，⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋i 1－i 4＝________.
解析：(1)依题意得z
z ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝－i 2＋i
1－i
－2i ＝i －2i ＝－i.
(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
(1＋i )224＝i 4＝1. 答案：(1)D (2)1
1．(·江西高考)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( )
A ．0
B ．－1
C ．1
D ．－2
解析：选A ∵z ＝1＋i ，∴z ＝1－i ，∴z 2＋z 2＝(z ＋z )2－2z z ＝4－4＝0，∴z 2＋z 2的虚部为0.
2．(·北京高考)在复平面内，复数10i 3＋i 对应的点的坐标为( )
A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(－1,3)
D ．(3，－1)
解析：选A 由10i
3＋i ＝10i (3－i )(3＋i )(3－i )＝10(1＋3i )10＝1＋3i 得，该复数对应的点为(1,3)．
3．(·长春调研)若复数(a ＋i)2在复平面内对应的点在y 轴负半轴上，则实数a 的值是( )
A ．1
B ．－1 C. 2
D ．－ 2
解析：选B 因为复数(a ＋i)2＝(a 2－1)＋2a i ，所以其在复平面内对应的点的坐标是(a 2
－1,2a )，又因为该点在y 轴负半轴上，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，
2a <0，解得a ＝－1.
4．(·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )
(1－i )2等于( )
A.52 B ．－52
C.52
i
D ．－52
i
解析：选B (1＋2i )(2＋i )(1－i )2＝2＋4i ＋i ＋2i 2－2i ＝5i －2i ＝－5
2. 5．(·河南三市调研)已知i 为虚数单位，复数z ＝2＋i 1－2i
，则|z |＋1
z ＝( )
A ．i
B ．1－i
C ．1＋i
D ．－i
解析：选B 由已知得z ＝2＋i 1－2i ＝－2i 2＋i 1－2i ＝i (1－2i )1－2i ＝i ，|z |＋1z ＝|i|＋1
i ＝1－i.
6．(·安徽名校模拟)设复数z 的共轭复数为z ，若(2＋i)z ＝3－i ，则z ·z 的值为( ) A ．1 B ．2 C. 2
D ．4
解析：选B 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，代入(2＋i)z ＝3－i ，得(2a －b )＋(2b ＋a )i ＝3－i ，从而可得a ＝1，b ＝－1，那么z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2.
7．(·长沙模拟)已知集合M ＝⎩
⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，
(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
解析：选B 由已知得M ＝{i ，－1，－i,2}，Z 为整数集，∴Z ∩M ＝{－1,2}，即集合Z ∩M 中有2个元素．
8．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )
A ．1－2i 或－1＋2i
B ．1＋2i 或－1－2i
C ．－7－24i
D ．7＋24i
解析：选B 设(x ＋y i)2＝－3＋4i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2－y 2＝－3，xy ＝2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－1，
y ＝－2.
9．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.
解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.
答案：2 2
10．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2z
z －1
＝________.
解析：z 2－2z z －1＝(z －1)2－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i ＝－i －i －i·i ＝－2i.
答案：－2i
11．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则有a 2＋b 2＝5.
于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.
由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34
a 代入得a 2
＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4，
b ＝3或
⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－4，
b ＝－3.
∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i. 答案：±(4－3i)
12.(－1＋i )(2＋i )
i 3
＝________.
解析：(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i ＝－1－3i.
答案：－1－3i
13．(·上海高考改编)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，则z 2＝________.
解析：(z 1－2)(1＋i)＝1－i ⇒z 1＝2－i. 设z 2＝a ＋2i ，a ∈R . 则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)
＝(2a ＋2)＋(4－a )i.
∵z 1·z 2∈R ，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i. 答案：4＋2i
14．若复数z ＝a 2－1＋(a ＋1)i(a ∈R )是纯虚数，则1z ＋a
的虚部为________．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 2－1＝0，a ＋1≠0，
所以a ＝1，所以1z ＋a ＝11＋2i ＝1－2i (1＋2i )(1－2i )＝15－2
5i ，
根据虚部的概念，可得1z ＋a
的虚部为－2
5.
答案：－2
5
1．(·山东日照一模)在复数集C 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1＋x ，x ∈R ，
(1－i )x ，x ∉R ，则f (1＋i)等
于( )
A ．2＋i
B ．－2
C ．0
D ．2
解析：选D ∵1＋i ∉R ，∴f (1＋i)＝(1－i)(1＋i)＝2.
2．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(1－2i)(a ＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a >1
2
”是“点M 在第四象限”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选C z ＝(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i ，若其对应的点在第四象限，则a ＋2>0，且1－2a <0，解得a >12.即“a >1
2
”是“点M 在第四象限”的充要条件．
3．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y
x 的最大值为________．
解析：|z －2|＝
(x －2)2＋y 2＝3，
∴(x －2)2＋y 2＝3.
由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3. 答案： 3
4．复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i ，与复数12＋16i 互为共轭复数，则实数m ＝________.
解析：根据共轭复数的定义得
⎩⎪⎨
⎪⎧
m 2＋5m ＋6＝12，
m 2－2m －15＝－16.
解之得m ＝1. 答案：1
5．已知z 是复数，z ＋2i ，
z
2－i
均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．
解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，
则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2. ∵z
2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋1
5(x －4)i. 由题意得x ＝4，∴z ＝4－2i. ∴(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i.
由于(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．
6．设z 是虚数，ω＝z ＋1
z ，且－1<ω<2.
(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设u ＝1－z
1＋z ，求证：u 为纯虚数．
解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ，b ≠0)，
ω＝a ＋b i ＋1a ＋b i ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫
b －b a 2＋b 2i ，
∵ω是实数，∴b －b
a 2＋b
2＝0.
又b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴|z |＝1，ω＝2a . ∵－1<ω<2，∴－1
2
<a <1，
即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭
⎫－1
2，1. (2)u ＝1－z 1＋z ＝1－a －b i 1＋a ＋b i ＝1－a 2－b 2－2b i (1＋a )2＋b 2＝－b
a ＋1i.
∵－1
2
<a <1，b ≠0，∴u 为纯虚数．
1．已知a ＋2i
i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选B a ＋2i i ＝i (a ＋2i )
i 2
＝2－a i ＝b ＋i ，由复数相等的条件得b ＝2，a ＝－1，则a ＋b ＝1.
2．对任意复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A ．|z －z |＝2y B ．z 2＝x 2＋y 2 C ．|z －z |≥2x
D ．|z |≤|x |＋|y |
解析：选D ∵z －z ＝2y i ，∴|z －z |＝2|y |，选项A 、C 错误；而z 2＝(x ＋y i)2＝x 2－y 2
＋2xy i ，选项B 错误；而|z |＝x 2＋y 2，|z |2＝x 2＋y 2，(|x |＋|y |)2＝x 2＋y 2＋2|xy |≥x 2＋y 2，因此|z |≤|x |＋|y |.
3．已知虚数z ，使得z 1＝z 1＋z 2和z 2＝z 2
1＋z 都为实数，求z .
解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，且y ≠0)，则 z 2＝x 2－y 2＋2xy i ，∴z 1＝
x (x 2＋y 2＋1)＋y (1－x 2－y 2)i
(x 2－y 2＋1)2＋4x 2y
2
， ∵z 1∈R ，又y ≠0，∴x 2＋y 2＝1，
同理，由z 2
∈R 得x 2
＋2x ＋y 2
＝0，解得⎩⎨⎧
x ＝－12
，
y ＝±3
2.
∴z ＝－12±3
2i.
三角函数、解三角形 平面向量、数系的扩充与复数的引入
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(·新课标全国卷)复数z ＝－3＋i
2＋i 的共轭复数是( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
解析：选D z ＝－3＋i 2＋i ＝(－3＋i )(2－i )
(2＋i )(2－i )＝－1＋i ，所以z ＝－1－i.
2．(·潍坊模拟)已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝4
5，则tan 2x ＝( ) A.7
24 B ．－724
C.247
D ．－247
解析：选D 依题意得sin x ＝－1－cos 2x ＝－35，tan x ＝sin x cos x ＝－3
4，所以tan 2x ＝
2tan x
1－tan 2x
＝
2×⎝⎛⎭
⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247. 3．(·广州调研)设复数z 1＝1－3i ，z 2＝3－2i ，则z 1
z 2在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：选D 因为z 1z 2＝1－3i 3－2i ＝(1－3i )(3＋2i )(3－2i )(3＋2i )＝9－7i 13，所以z 1
z 2
在复平面内对应的点为
⎝⎛⎭⎫913
，－713，在第四象限．
4．(·邵阳模拟)已知a ＝(1，sin 2x )，b ＝(2，sin 2x )，其中x ∈(0，π)．若|a ·b |＝|a ||b |，则tan x 的值等于( )
A ．1
B ．－1 C. 3
D.2
2
解析：选A 由|a ·b |＝|a ||b |知， a ∥b ，所以sin 2x ＝2sin 2x ，
即2sin x cos x ＝2sin 2x ，而x ∈(0，π)， 所以sin x ＝cos x ，tan x ＝1.
5．(·福州质检查)“cos α＝35”是“cos 2α＝－725”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A ∵cos α＝35，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝2×925－1＝－725，∴由cos α＝3
5可推
出cos 2α＝－7
25
.
由cos 2α＝－725得cos α＝±35，∴由cos 2α＝－725不能推出cos α＝3
5.
综上，“cos α＝35”是“cos 2α＝－7
25”的充分而不必要条件．
6．若函数f (x )＝sin x ＋φ
3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )
A.π2
B.2π3
C.3π2
D.5π3
解析：选C ∵f (x )为偶函数，∴φ3＝k π＋π
2(k ∈Z )，
∴φ＝3k π＋32π(k ∈Z )．又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3
2
π.
7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是钝角三角形 C ．一定是直角三角形 D ．一定是斜三角形
解析：选C 在△ABC 中，因为c cos A ＝b ，根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 2
2bc
＝b ，故c 2
＝a 2＋b 2，因此△ABC 一定是直角三角形．
8．设点A (2,0)，B (4,2)，若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为( )
A ．(3,1)
B ．(1，－1)
C ．(3,1)或(1，－1)
D ．无数多个
解析：选C 设P (x ，y )，则由|AB |＝2|AP |，得AB ＝2AP 或AB ＝－2AP .
AB ＝(2,2)，AP ＝(x －2，y )，即(2,2)＝2(x －2，y )，x ＝3，y ＝1，P (3,1)，或(2,2)＝
－2(x －2，y )，x ＝1，y ＝－1，P (1，－1)．
9．(·福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π
4个单位后，所得到的图象对
应的函数的一个单调递增区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫－π
4，0
B.⎝⎛⎭
⎫0，π
2 C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4
D.⎝⎛⎭⎫
3π4，π
解析：选B 将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R )的图象向右平移π
4个单位后得到函数g (x )＝
sin2⎝⎛⎭⎫x －π4＝－cos 2x 的图象，则函数g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π
2，k ∈Z ，而满足条件的只有B.
10．(·西安名校三检)已知tan β＝43，sin(α＋β)＝513，且α，β∈(0，π)，则sin α的值为
( )
A.63
65 B.1365 C.3365
D.6365或3365
解析：选A 依题意得sin β＝45，cos β＝35；注意到sin(α＋β)＝5
13<sin β，因此有α＋
β>π2(否则，若α＋β≤π2，则有0<β<α＋β≤π
2，0<sin β<sin(α＋β)，这与“sin(α＋β)<sin β”矛盾)，cos(α＋β)＝－1213，sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝6365
.
11．(·河南三市调研)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且b 2
＝a 2－ac ＋c 2，C －A ＝90°，则cos A cos C ＝( )
A.1
4
B.24
C ．－14
D ．－
24
解析：选C 依题意得a 2
＋c 2
－b 2
＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝1
2
.又0°<B <180°，所
以B ＝60°，C ＋A ＝120°.又C －A ＝90°，
所以C ＝90°＋A ，A ＝15°，cos A cos C ＝cos A cos(90°＋A )＝－12sin 2A ＝－12sin 30°＝－1
4.
12．(·广东高考)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α∘β＝α·β
β·β.若两个非零的平
面向量a ，b 满足a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，且a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫
n 2|n ∈Z 中，则a ∘b ＝( )
A.5
2 B.32 C ．1
D.12
解析：选D a ∘b ＝a ·b b ·b ＝|a ||b|cos θ|b |2＝|a |cos θ
|b |，①
b ∘a ＝b ·a a ·a ＝|b ||a |cos θ|a |2＝|b |cos θ
|a |.②
∵θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴0<cos θ<22
. ①×②得(a ∘b )(b ∘a )＝cos 2θ∈⎝⎛⎭
⎫0，1
2. 因为a ∘b 和b ∘a 都在集合⎩⎨⎧⎭
⎬⎫n 2|n ∈Z 中，设a ∘b ＝n 1
2，
b ∘a ＝n 22(n 1，n 2∈Z )，即(a ∘b )·(b ∘a )＝cos 2θ＝n 1n 2
4，所以0<n 1n 2<2，所以n 1，n 2的值
均为1，故a ∘b ＝n 12＝1
2
.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13．△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A
sin (A ＋C )
＝________.
解析：sin A sin (A ＋C )＝sin A sin B ＝a b ＝2
3.
答案：23
14．(·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.
解析：a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，
∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0. ∴m ＝－12
.
∴a ＝(1，－1)．∴|a |＝ 2. 答案： 2
15.如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB 与旗杆所在直线MN 共面，在该列的第一个座位A 和最后一个座位B 测得旗杆顶端N 的仰角分别为60°和30°，且座位A 、B 的距离为106米，则旗杆的高度为________米．
解析：由题可知∠BAN ＝105°，∠BNA ＝30°，由正弦定理得
AN sin 45°＝106sin 30°，解得AN ＝203(米)，在Rt △AMN 中，MN ＝203sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．
答案：30
16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫
π4＋x －3cos 2x －1，x ∈R ，若函数h (x )＝f (x ＋α)的图象关于点⎝⎛⎭
⎫－π
3，0对称，且α∈(0，π)，则α的值为________． 解析：∵f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x －3cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3，∴h (x )＝f (x ＋α)＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋2α－π
3. ∵函数h (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫－π3，0∴－2π3＋2α－π
3＝k π.∴α＝(k ＋1)π2，k ∈z .又α∈(0，π)，∴α＝π
2
.
答案：π2
三、解答题(本题共6小题，共70分)
17．(本小题满分10分)(·广州二测)已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π
3(A >0，ω>0)在某一个周期内的图象的最高点和最低点的坐标分别为⎝⎛⎭⎫5π12，2，⎝⎛⎭
⎫11π
12，－2. (1)求A 和ω的值；
(2)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝4
5
，求f (α)的值．
解：(1)∵函数f (x )在某一周期内的图象的最高坐标为⎝⎛⎭⎫
5π12，2， ∴A ＝2，得函数f (x )的周期T ＝2⎝⎛⎭⎫11π12－5π12＝π， ∴ω＝2πT
＝2.
(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin α＝4
5， ∴cos α＝
1－sin 2α＝3
5
，
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2425，cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝－7
25.
∴f (α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝2⎝⎛⎭⎫sin 2αcos π3－cos 2αsin π
3 ＝2⎝⎛⎭
⎫2425×12＋725×32＝24＋7325.
18．(本小题满分12分)(·天津高考)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3＋2cos 2x －1，x ∈R .
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π4，π
4上的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π
3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos
2x ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
4. 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π.
(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π4上是减函数，又f ⎝⎛⎭⎫－π
4＝－1，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 19．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C .
(1)求角B 的大小；
(2)设m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)，且m ·n 的最大值是5，求k 的值．
解：(1)因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，所以在△ABC 中，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos
B ＝sin B cos
C ，
所以2sin A cos B ＝sin B cos C ＋cos B sin C ， 即2sin A cos B ＝sin A .
又在△ABC 中，sin A >0，B ∈(0，π)，所以cos B ＝12.所以B ＝π
3.
(2)因为m ＝(sin A ，cos 2A )，n ＝(4k,1)(k >1)， 所以m ·n ＝4k sin A ＋cos 2A ＝－2sin 2A ＋4k sin A ＋1， 即m ·n ＝－2(sin A －k )2＋2k 2＋1.
又B ＝π
3，所以A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3.所以sin A ∈(0,1]． 所以当sin A ＝1⎝⎛⎭⎫A ＝π
2时，m ·n 的最大值为4k －1. 又m ·n 的最大值是5，所以4k －1＝5.所以k ＝3
2
.
20．(本小题满分12分)已知复数z 1＝sin 2x ＋t i ，z 2＝m ＋(m －3cos 2x )i(i 为虚数单位，t ，m ，x ∈R )，且z 1＝z 2.
(1)若t ＝0且0<x <π，求x 的值；
(2)设t ＝f (x )，已知当x ＝α时，t ＝1
2
，试求cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3的值． 解：(1)因为z 1＝z 2，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
sin 2x ＝m ，
t ＝m －3cos 2x ，
即t ＝sin 2x －3cos 2x .
若t ＝0，则sin 2x －3cos 2x ＝0，得tan 2x ＝ 3. 因为0<x <π，所以0<2x <2π，所以2x ＝π3或2x ＝4π
3，
所以x ＝π6或x ＝2π
3
.
(2)因为t ＝f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π
3， 因为当x ＝α时，t ＝1
2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3＝12， sin ⎝⎛⎭⎫π3－2α＝－1
4
，
所以cos ⎝⎛⎭⎫4α＋π3＝cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2cos 2⎝⎛⎭⎫2α＋π6－1＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π3－2α－1＝2⎝⎛⎭⎫－1
42－1＝－7
8
. 21．(本小题满分12分)(·长春调研)如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A ，B 两点．
(1)如果A ，B 两点的纵坐标分别为45，12
13，求cos α和sin β；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值；
(3)已知点C (－1，3)，求函数f (α)＝OA ·
OC 的值域． 解：(1)根据三角函数的定义，得sin α＝45，sin β＝12
13.
又α是锐角，所以cos α＝3
5.
(2)由(1)知sin β＝12
13
.
因为β是钝角，所以cos β＝－5
13.
所以cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α ＝⎝⎛⎭⎫－513×35＋1213×45＝3365
. (3)由题意可知，OA ＝(cos α，sin α)，OC ＝(－1，3)． 所以f (α)＝OA ·OC ＝3sin α－cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π
6， 因为0<α<π2，所以－π6<α－π6<π
3
，
所以－12<sin ⎝⎛⎭⎫α－π6<3
2，从而－1<f (α)< 3. 所以函数f (α)的值域为(－1, 3)．
22．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长，已知 2sin A ＝3cos A .
(1)若a 2－c 2＝b 2－mbc ，求实数m 的值； (2)若a ＝3，求△ABC 面积的最大值．
解：(1)由2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝1
2
或cos A ＝－2(舍)．
而a 2－c 2＝b 2－mbc 可以变形为b 2＋c 2－a 22bc ＝m
2，
即cos A ＝m 2＝1
2，所以m ＝1.
(2)由(1)知 cos A ＝12，则sin A ＝3
2.
又b 2＋c 2－a 22bc ＝1
2
，
所以bc ＝b 2＋c 2－a 2≥2bc －a 2，即bc ≤a 2.当且仅当b ＝c 时等号成立．故S △ABC ＝bc 2sin
A ≤a 22·32＝334.。