2007年辽宁省高考文科数学试卷及答案

2007年（辽宁卷）数 学（供文科考生使用）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集合{13}A =，，{234}B =，，，则A B = （ ） A ．{1}
B ．{2}
C ．{3}
D ．{1234}，，，
2．若函数()y f x =的反函数．．．图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点（ ） A ．(51)，
B ．(15)，
C ．(11)，
D ．(55)，
3．双曲线
22
1169
x y -=的焦点坐标为（ ） A ．(70)-，，(70)，
B ．(07)-，，(07)，
C ．(50)-，
，(50)，
D ．(05)-，
，(05)， 4．若向量a 与b 不共线，0≠
a b ，且⎛⎫
- ⎪⎝⎭
a a c =a
b a b ，则向量a 与
c 的夹角为（ ） A ．0
B ．
π6
C ．
π3
D ．
π2
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63
B ．45
C ．36
D ．27
6．若m n ，是两条不同的直线，αβγ，，是三个不同的平面，则下列命题中的真命题．．．是（ ） A ．若m βαβ⊂⊥，，则m α⊥ B ．若m β⊥，m α∥，则αβ⊥
C ．若αγ⊥，αβ⊥，则βγ⊥
D ．若m αγ= ，n βγ= ，m n ∥，则αβ∥
7．若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =--的图象，则向量a =（ ）
A ．(12)-，
B ．(1
2)，
C ．(12)-，
D ．(1
2)-， 8．已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+⎧⎪
⎨⎪+-⎩
≤，
≥，≤，则y x 的取值范围是（ ）
A ．965⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
B ．[)965⎛
⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦
，， C ．(][)36-∞+∞ ，，
D ．[36]，
9．函数212
log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ）
A ．5
2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
，
B ．(3)+∞，
C ．52⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
，
D ．(2)-∞，
10．一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是
黑球．若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率为（ ） A ．
122
B ．
111
C ．
322
D ．
211
11．设p q ，是两个命题：2
51
:||30:066
p x q x x ->-
+>，，则p 是q 的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
12．将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第i 个数为i (i 126)a = ，，，，若11a ≠，33a ≠，55a ≠，
135a a a <<，则不同的排列方法种数为（ ）
A ．18
B ．30
C ．36
D ．48
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．已知函数()y f x =为奇函数，若(3)(2)1f f -=，则(2)(3)f f ---= ． 14．41()x
x x
+
展开式中含x 的整数次幂的项的系数之和为 （用数字作答）． 15．若一个底面边长为6
2
，棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 ．
16．设椭圆
22
12516
x y +=上一点P 到左准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足1()2
OM OP OF =+ ，则||OM =
．
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计，统计结果如下表所示： 分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率
（I ）将各组的频率填入表中；
（II ）根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
（III ）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯
1A 1C
1B
C
B
A
M
D
E
管的使用寿命不足1500小时的概率．（本小题满分12分）
18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠= ，AC BC a ==，D E ，分别为棱AB BC ，的中点，M 为棱1AA 上的点，二面角M DE A --为30
．
（I ）证明：111A B C D ⊥；
（II ）求MA 的长，并求点C 到平面MDE 的距离． （本小题满分12分）
19．（本小题满分12分）
已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭R ，（其中0ω>） （I ）求函数()f x 的值域；
（II ）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为π
2
，求函数()y f x =的单调增区间．
20．已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，11b =，且11
113114413144
n n n n n n a a b b a b ----⎧=++⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩（2n ≥）
（I ）令n n n c a b =+，求数列{}n c 的通项公式；
（II ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和公式n S ．（本小题满分12分）
21．已知正三角形OAB 的三个顶点都在抛物线2
2y x =上，其中O 为坐标原点，设圆C 是OAB △的内接圆（点C 为圆心）
（I ）求圆C 的方程；
（II ）设圆M 的方程为2
2
(47cos )(7sin )1x y θθ--+-=，过圆M 上任意一点P 分别作圆C 的
两条切线PE PF ，，切点为E F ，，求CE CF
，的最大值和最小值．（本小题满分14分）
22．已知函数3
2
2
()9cos 48cos 18sin f x x x x αβα=-++，()()g x f x '=，且对任意的实数t 均
有(1cos )0g t +≥，(3sin )0g t +≤． （I ）求函数()f x 的解析式；
（II ）若对任意的[266]m ∈-，，恒有2
()11f x x mx --≥，求x 的取值范围．（本小题满分12分）
2007年（辽宁卷）数文试题答案与评分参考
1．C 2．A 3．C 4．D 5．B 6．B 7．C 8．A 9．D 10．D 11．A 12．B 13．1 14．72 15．43π 16．2
17．本小题主要考查频率、概率、总体分布的估计、独立重复试验等基础知识，考查使用统计的有关知识解决实际问题的能力．满分12分． （I ）解： 分组 [500，900) [900，1100) [1100，1300) [1300，1500) [1500，1700) [1700，1900) [1900，+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
····································································································································· 4分
（II ）解：由（I ）可得0.0480.1210.2080.2230.6+++=，所以灯管使用寿命不足1500小时的频率为0.6． ································································································································ 8分
（III ）解：由（II ）知，1支灯管使用寿命不足1500小时的概率0.6P =，根据在n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率公式可得
223
333
(2)(3)C 0.60.40.60.648P P +=+= ． 所以至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率是0.648． ···································· 12分
18．本小题主要考查空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力与思维能力．满分12分．
（I ）证明：连结CD ，三棱柱111ABC A B C -是直三棱柱，
∴1CC ⊥平面ABC ，∴CD 为1C D 在平面ABC 内的射影． ABC △中，AC BC =，D 为AB 中点，
∴AB CD ⊥，∴1AB C D ⊥．
11A B AB ∥，∴111A B C D ⊥．
（II ）解法一：过点A 作CE 的平行线，
交ED 的延长线于F ，连结MF ．
D E ，分别为AB BC ，的中点，DE AC ∴⊥． 又 AF CE ∥，CE AC ⊥．∴AF DE ⊥．
MA ⊥平面ABC ，∴AF 为MF 在平面ABC 内的射影．
∴MF DE ⊥．MFA ∴∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠= ．
在Rt MAF △中，122
a
AF BC =
=，30MFA ∠= ， 3
6
AM a ∴=
． 作AG MF ⊥，垂足为G ，
1A 1C
1B
C
B
A M
D
E
F G
MF DE ⊥，AF DE ⊥，∴DE ⊥平面DMF ， 平面MDE ⊥平面AMF ，∴AG ⊥平面MDE ．
在Rt GAF △中，30GFA ∠=
，2
a AF =，
∴4a AG =，即A 到平面MDE 的距离为4
a
．
CA DE ∥，∴CA ∥平面MDE ，
∴C 到平面MDE 的距离与A 到平面MDE 的距离相等，为4
a
．
解法二：过点A 作CE 的平行线，交ED 的延长线于F ，连接MF ． D E ，分别为AB BC ，的中点， ∴DE AC ∥．
又 AF CE ∥，CE DE ⊥ ∴AF DE ⊥．
MA ⊥平面ABC ，
∴AF 是MF 在平面ABC 内的射影， ∴MF DE ⊥．
∴MFA ∠为二面角M DE A --的平面角，30MFA ∠= ．
在Rt MAF △中，122
a
AF BC =
=，30MFA ∠= ， ∴3
6
AM a =
． ·
·················································································································· 8分 设C 到平面MDE 的距离为h ，
∴M CDE C MDE V V --=．
∴11
33
CDE MDE S MA S h = △ 2128CDE
a S CE DE == △，3
6
MA a =， 211322cos3012
MDE AF S DE MF DE a =
== △， ∴22
1313386312
a a a h ⨯⨯
=⨯⨯， ∴4a h =
，即C 到平面MDE 的距离为4
a
． ······································································ 12分 19．本小题主要考查三角函数公式，三角函数图象和性质等基础知识，考查综合运用三角函数有关
知识的能力．满分12分． （I ）解：3131()sin cos sin cos (cos 1)2222
f x x x x x x ωωωωω=
++--+
312sin cos 122x x ωω⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭
π2sin 16x ω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． ····················································· 5分 由π1sin 16x ω⎛
⎫--
⎪⎝
⎭≤≤，得π32sin 116x ω⎛
⎫--- ⎪⎝⎭
≤≤，
可知函数()f x 的值域为[31]-，． ·························································································· 7分 （II ）解：由题设条件及三角函数图象和性质可知，()y f x =的周期为π，又由0ω>，得
2π
πω
=，
即得2ω=．··························································································································· 9分 于是有π()2sin 216f x x ⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
，再由πππ2π22π()262k x k k --+∈Z ≤≤，解得 ππ
ππ()63
k x k k -
+∈Z ≤≤． 所以()y f x =的单调增区间为ππππ63k k ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，()k ∈Z ·
············································· 12分 20．本小题主要考查等差数列，等比数列等基础知识，考查基本运算能力．满分12分． （Ｉ）解：由题设得11()2(2)n n n n a b a b n --+=++≥，即
12n n c c -=+（2n ≥）
易知{}n c 是首项为113a b +=，公差为２的等差数列，通项公式为
21n c n =+． ·
························································································································· 4分 （II ）解：由题设得111
()(2)2
n n n n a b a b n ---=
-≥，令n n n d a b =-，则 11
(2)2
n n d d n -=
≥． 易知{}n d 是首项为111a b -=，公比为
1
2
的等比数列，通项公式为 1
1
2
n n d -=
． ···························································································································· 8分 由1
211
2n n n n n a b n a b -+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得 11
22
n n a n =
++， ················································································································ 10分 求和得2
1122
n n n S n =-+++． ·························································································· 12分
21．本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．
（I ）解法一：设A B ，两点坐标分别为2112y y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，2
222y y ⎛⎫
⎪⎝⎭
，，由题设知 222
2222
222
111222
12()222
2y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得22
1212y y ==，
所以(623)A ，，(623)B -，或(623)A -，，(623)B ，．
设圆心C 的坐标为(0)r ，
，则2
643
r =⨯=，所以圆C 的方程为 22(4)16x y -+=． ·
············································································································· 4分 解法二：设A B ，两点坐标分别为11()x y ，，22()x y ，，由题设知
2222
1122
x y x y +=+． 又因为2112y x =，2
222y x =，可得22112
222x x x x +=+．即 1212()(2)0x x x x -++=．
由10x >，20x >，可知12x x =，故A B ，两点关于x 轴对称，所以圆心C 在x 轴上．
设C 点的坐标为(0)r ，，则A 点坐标为3322r r ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，于是有2
33
222r r ⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭
，解得4r =，所以圆C 的方程为2
2
(4)16x y -+=． ······················································································· 4分 （II ）解：设2ECF a ∠=，则
2||||cos216cos232cos 16CE CF CE CF ααα===-
．·
··········································· 8分 在Rt PCE △中，4
cos ||||
x PC PC α=
=，由圆的几何性质得 ||||17PC MC +=≤18+=，||||1716PC MC -=-=≥，
所以
12
cos 23α≤≤，由此可得 1689
CE CF -- ≤≤．
则CE CF 的最大值为169
-，最小值为8-．
22.本题考查函数的性质、导数的应用、不等式的解法等知识，考查数形结合能力以及综合应用数学基础关系解决问题的能力。

（1）解法一、由题设得：
][]][]20003()318cos 48cos ,1(1,2,3sin 2,4,
()012()024(2)0.
()0()426cos ,1
6cos 6,6cos 6,cos 1,(2)0cos 2
()39t
g x x x e t g x x g x x g g x x y g x x x g f x x x αβααααβ-=-++∈+∈≥∈≤∈===≥+=≥≤====-又由知在（，成立，在，成立，由此易得设的另一根为，由的图像为开口向上的抛物线得，而所以又得代人得，即得
224.
x +解法二：由题设得
()()()][]2()318cos 48cos ,10,3sin 0
331(2)0,3sin (2)0,(4)3sin 0,
22(2)1236cos 48cos 0(4)4872cos 48cos 0()012()024(2)0.
t t
g x x x g e
g t g e g g g g g g g x x g x x g αβππαβαβ--=-++≥+≤⎛⎫⎛
⎫+=≥+=≤=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭=-+=⎧⎨
=-+≤⎩≥∈≤∈=又由
①
即有②知在（，成立，在，成立，由此易得由321
636cos 0,1cos 0cos 1,cos 1.cos 2
()3924.
f x x x x ααααβ-≤-≤≥===-+①②得3即。

又1-故代人①得，即得
（ii ）解：由题设知，对任意的
[]222
226,6924110,()92411,(26)26924110,(6)692410,
11
1,9111,331
1.
3
m mx x x h m mx x x h x x x h x x x x x x ∈--++≥=-++⎧-=--++≥⎪⎨=-++≥⎪⎩⎧-≤≤⎪⎪⎨
⎪-≤≤⎪⎩-≤≤恒有令则有
解得即。