绛县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

绛县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图所示，阴影部分表示的集合是（
）
A ．（∁U
B ）∩A B ．（∁U A ）∩B
C ．∁U （A ∩B ）
D ．∁U （A ∪B ）
2． 如图所示，程序执行后的输出结果为（
）
A ．﹣1
B ．0
C ．1
D ．2
3． 下列函数中，与函数的奇偶性、单调性相同的是（ ）
()3
x x
e e
f x --=
A ．
B ．
C ．
D ．(
ln y x =2
y x =tan y x =x
y e
=4． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ）
A ．3，6，9，12，15，18
B ．4，8，12，16，20，24
C ．2，7，12，17，22，27
D ．6，10，14，18，22，26
5． 已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆（x ﹣2）2+y 2=1相切，则双曲线的离心率为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
6． 等差数列{a n }中，a 1+a 5=10，a 4=7，则数列{a n }的公差为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7． 设定义域为（0，+∞）的单调函数f （x ），对任意的x ∈（0，+∞），都有f[f （x ）﹣lnx]=e+1，若x 0是方程f （x ）﹣f ′（x ）=e 的一个解，则x 0可能存在的区间是（ ）
A ．（0，1）
B ．（e ﹣1，1）
C ．（0，e ﹣1）
D ．（1，e ）
8． 抛物线x 2=4y 的焦点坐标是（ ）
A ．（1，0）
B ．（0，1）
C ．（
）
D ．（
）
9． 空间直角坐标系中，点A （﹣2，1，3）关于点B （1，﹣1，2）的对称点C 的坐标为（ ）
A ．（4，1，1）
B ．（﹣1，0，5）
C ．（4，﹣3，1）
D ．（﹣5，3，4）10．函数f （x ﹣）=x 2+，则f （3）=（ ）
A ．8
B ．9
C ．11
D ．10
11．设全集U={1，3，5，7，9}，集合A={1，|a ﹣5|，9}，∁U A={5，7}，则实数a 的值是（
）
A ．2
B ．8
C ．﹣2或8
D ．2或8
12．在区域内任意取一点P （x ，y ），则x 2+y 2＜1的概率是（ ）
A ．0
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．
14．在各项为正数的等比数列{a n }中，若a 6=a 5+2a 4，则公比q= ．15．命题p ：∀x ∈R ，函数
的否定为 ．
16．已知函数的一条对称轴方程为，则函数的最大值为2
1()sin cos sin 2f x a x x x =-+6
x π
=()f x ___________．
【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．
17．命题“(0,)2
x π
∀∈，sin 1x <”的否定是 ▲ ．
18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．
三、解答题
19．某中学为了普及法律知识，举行了一次法律知识竞赛活动．下面的茎叶图记录了男生、女生各
10名学生在该次竞赛活动中的成绩（单位：分）．
已知男、女生成绩的平均值相同．
（1）求的值；
（2）从成绩高于86分的学生中任意抽取3名学生，求恰有2名学生是女生的概率．
20．将射线y=x（x≥0）绕着原点逆时针旋转后所得的射线经过点A=（cosθ，sinθ）．
（Ⅰ）求点A的坐标；
（Ⅱ）若向量=（sin2x，2cosθ），=（3sinθ，2cos2x），求函数f（x）=•，x∈[0，]的值域．
21．某校高一（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，可见部分如图．
（Ⅰ）求分数在[50，60）的频率及全班人数；
（Ⅱ）求分数在[80，90）之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90）间矩形的高；
（Ⅲ）若要从分数在[80，100）之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，求在抽取的试卷中，至少有一份分数在[90，100）之间的概率．
22．已知f（x）=|x﹣1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．
23．
（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF.
（1）求证EF∥BC；
（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长．
24．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．
（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；
（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．　
绛县第三中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A ，但不属于集合B 的元素构成，∴对应的集合表示为A ∩∁U B ．故选：A ．　
2． 【答案】B
【解析】解：执行程序框图，可得n=5，s=0
满足条件s ＜15，s=5，n=4满足条件s ＜15，s=9，n=3满足条件s ＜15，s=12，n=2满足条件s ＜15，s=14，n=1满足条件s ＜15，s=15，n=0
不满足条件s ＜15，退出循环，输出n 的值为0．故选：B ．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，正确判断退出循环时n 的值是解题的关键，属于基础题．　
3． 【答案】A 【解析】
试题分析：所以函数为奇函数，且为增函数.B 为偶函数，C 定义域与不相同，D 为非()()f x f x -=-()f x 奇非偶函数，故选A.
考点：函数的单调性与奇偶性．4． 【答案】C
【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验，采用系统抽样的间隔为30÷6=5，只有选项C 中编号间隔为5，故选：C ．　
5． 【答案】D 【解析】解：双曲线
﹣
=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为 y=±x ，即x ±y=0．
根据圆（x﹣2）2+y2=1的圆心（2，0）到切线的距离等于半径1，
可得，1=，∴=，
，可得e=．
故此双曲线的离心率为：．
故选D．
【点评】本题考查点到直线的距离公式，双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出的值，是解题的关键．
6．【答案】B
【解析】解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2，
故选B．
7．【答案】D
【解析】解：由题意知：f（x）﹣lnx为常数，令f（x）﹣lnx=k（常数），则f（x）=lnx+k．
由f[f（x）﹣lnx]=e+1，得f（k）=e+1，又f（k）=lnk+k=e+1，
所以f（x）=lnx+e，
f′（x）=，x＞0．
∴f（x）﹣f′（x）=lnx﹣+e，
令g（x）=lnx﹣+﹣e=lnx﹣，x∈（0，+∞）
可判断：g（x）=lnx﹣，x∈（0，+∞）上单调递增，
g（1）=﹣1，g（e）=1﹣＞0，
∴x0∈（1，e），g（x0）=0，
∴x0是方程f（x）﹣f′（x）=e的一个解，则x0可能存在的区间是（1，e）
故选：D．
【点评】本题考查了函数的单调性，零点的判断，构造思想，属于中档题．
8．【答案】B
【解析】解：∵抛物线x2=4y中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，
∴焦点坐标为（0，1），
故选：B．
【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2py的焦点坐标为（0，），属基础题．　
9．【答案】C
【解析】解：设C（x，y，z），
∵点A（﹣2，1，3）关于点B（1，﹣1，2）的对称点C，
∴，解得x=4，y=﹣3，z=1，
∴C（4，﹣3，1）．
故选：C．
10．【答案】C
【解析】解：∵函数=，∴f（3）=32+2=11．
故选C．
11．【答案】D
【解析】解：由题意可得3∈A，|a﹣5|=3，
∴a=2，或a=8，
故选D．
12．【答案】C
【解析】解：根据题意，如图，设O（0，0）、A（1，0）、B（1，1）、C（0，1），
分析可得区域表示的区域为以正方形OABC的内部及边界，其面积为1；
x2+y2＜1表示圆心在原点，半径为1的圆，在正方形OABC的内部的面积为=，
由几何概型的计算公式，可得点P （x ，y ）满足x 2+y 2＜1的概率是=；
故选C ．
【点评】本题考查几何概型的计算，解题的关键是将不等式（组）转化为平面直角坐标系下的图形的面积，进而由其公式计算．　
二、填空题
13．【答案】3
2
【解析】
试题分析：由题意得11,422
k α
α==⇒=∴32k α+=
考点：幂函数定义14．【答案】　2　．
【解析】解：由a 6=a 5+2a 4得，a 4q 2=a 4q+2a 4，即q 2﹣q ﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，又各项为正数，则q=2，故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．　
15．【答案】　∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2x 0+sin2x 0＞3　．
【解析】解：全称命题的否定是特称命题，即为∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2x 0+sin2x 0＞3，
故答案为：∃x 0∈R ，函数f （x 0）=2cos 2x 0+sin2x 0＞3，
16．【答案】1【
解
析
】
17．【答案】()
0,2x π
∃∈，sin 1
≥【解析】
试题分析：“(0,)2x π
∀∈，sin 1x <”的否定是()
0,2
x π∃∈，sin 1
≥考点：命题否定
【方法点睛】（1）对全称（存在性）命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.（2）判定全称命题“∀x ∈M ，p （x ）”是真命题，需要对集合M 中的每个元素x ，证明p （x ）成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M 中的一个特殊值x 0，使p （x 0）不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x ＝x 0，使p （x 0）成立即可，否则就是假命题.18．【答案】= ．
【解析】解：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，∵已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1，∴sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ．
再由正弦定理可得 ab+bc=2b 2，即 a+c=2b ，故a ，b ，c 成等差数列．C=
，由a ，b ，c 成等差数列可得c=2b ﹣a ，
由余弦定理可得 （2b ﹣a ）2=a 2+b 2﹣2abcosC=a 2+b 2+ab ．
化简可得 5ab=3b 2，∴ =．故答案为：．
【点评】本题主要考查等差数列的定义和性质，二倍角公式、余弦定理的应用，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】（１） ；（２） ．7a =310
P =【解析】
试题分析： （１）由平均值相等很容易求得的值；（２）成绩高于分的学生共五人，写出基本事件共8610个，可得恰有两名为女生的基本事件的个数，则其比值为所求．
其
中恰有2名学生是女生的结果是，，共3种情况．(96,93,87)(96,91,87)(96,90,87)所以从成绩高于86分的学生中抽取了3名学生恰有2名是女生的概率．13
10
P =考点：平均数；古典概型．
【易错点睛】古典概型的两种破题方法：（1）树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求．另外在确定基本事件时，可以看成是有序的，如与不同；有),(y x ()1,2()2,1时也可以看成是无序的，如相同．（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比)1,2)(2,1(较困难或者比较繁琐时，考虑其反面，即对立事件，应用求解较好．)(1)(A P A P -=20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）设射线y=x （x ≥0）的倾斜角为α，则tan α=，α∈（0，
）．
∴tan θ=tan （α+）==，
∴由解得，
∴点A 的坐标为（，）．
（Ⅱ）f（x）=•=3sinθ•sin2x+2cosθ•2cos2x=sin2x+cos2x
=sin（2x+）
由x∈[0，]，可得2x+∈[，]，
∴sin（2x+）∈[﹣，1]，
∴函数f（x）的值域为[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程的思想，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）分数在[50，60）的频率为0.008×10=0.08，
由茎叶图知：
分数在[50，60）之间的频数为2，
∴全班人数为．
（Ⅱ）分数在[80，90）之间的频数为25﹣22=3；
频率分布直方图中[80，90）间的矩形的高为．
（Ⅲ）将[80，90）之间的3个分数编号为a1，a2，a3，[90，100）之间的2个分数编号为b1，b2，
在[80，100）之间的试卷中任取两份的基本事件为：
（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）共10个，
其中，至少有一个在[90，100）之间的基本事件有7个，
故至少有一份分数在[90，100）之间的概率是．
22．【答案】
【解析】解：（1）不等式即|x﹣1|+|x+2|≥5，由于|x﹣1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到﹣2和1对应点的距离之和，而﹣3和2对应点到﹣2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a2﹣2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a2﹣2a．
而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，
∴3＞a2﹣2a，解得﹣1＜a＜3，
故所求的a的取值范围为（﹣1，3）．
23．【答案】
【解析】解：（1）证明：∵AE ＝AF ，∴∠AEF ＝∠AFE .
又B ，C ，F ，E 四点共圆，∴∠ABC ＝∠AFE ，
∴∠AEF ＝∠ACB ，又∠AEF ＝∠AFE ，∴EF ∥BC . （2）由（1）与∠B ＝60°知△ABC 为正三角形，又EB ＝EF ＝2，∴AF ＝FC ＝2，
设DE ＝x ，DF ＝y ，则AD ＝2－y ，在△AED 中，由余弦定理得DE 2＝AE 2＋AD 2－2AD ·AE cos A .
即x 2＝（2－y ）2＋22－2（2－y ）·2×，
12
∴x 2－y 2＝4－2y ，①
由切割线定理得DE 2＝DF ·DC ，即x 2＝y （y ＋2），∴x 2－y 2＝2y ，②
由①②联解得y ＝1，x ＝，∴ED ＝.3324．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A 1A=A 1C ，且O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ．
又由题意可知，平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ，交线为AC ，且A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABC ．
（Ⅱ）如图，以O 为原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知，A 1A=A 1C=AC=2，又AB=BC ，AB ⊥BC ，∴，
所以得：
则有：．
设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有，
令y=1，得所以．
．
因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与所成锐角互余，所以．
（Ⅲ）设，
即，得
所以，得，
令OE∥平面A1AB，得，
即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得，
即存在这样的点E，E为BC1的中点．
【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。