高考数学压轴专题(易错题)备战高考《集合与常用逻辑用语》知识点总复习有答案解析

高考数学《集合与常用逻辑用语》课后练习
一、选择题
1．“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】C 【解析】
解析：若0a =，则||
x y e =是偶函数，“0a =”是“函数x a y e -=为偶函数”的充分条件；若
函数x a
y e
-=为偶函数，则对称轴为0x =，即0x a ==，则“0a =”是“函数x a
y e
-=为
偶函数”的必要条件，应选答案C ．
2．已知集合307x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
，则A B I =（ ）
A ．{}0,1,3
B ．{}3,2,1,3--
C ．{}0,1,3,7
D ．{}3,2,0,1,3--
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分式不等式的解法和集合的表示方法，求解,A B ，再结合集合的交集运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合[)303,77x A x x +⎧⎫=≤=-⎨⎬-⎩⎭，8,1B x x N N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬+⎩⎭
{}0,1,3,7=， 所以{}0,1,3A B =I ． 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查了集合交集的概念及运算，其中解答中正确求解集合,A B ，结合集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2
1q >，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果．
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则2
33a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
4．已知命题p ：若x y >且y z >，则()()112
2
log log x y y z -<-，则命题p 的逆否命题
及其真假分别为（ ）
A ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，真
B ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，真
C ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤且y z ≤，假
D ．若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤，假
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据逆否命题的概念写出命题p 的逆否命题，再举反例说明其真假. 【详解】
命题p 的逆否命题为“若()()112
2
log log x y y z -≥-，则x y ≤或y z ≤”；
由于原命题为假（如4x =，3y =，1z =），故其逆否命题也为假， 故选：D. 【点睛】
本题主要考查命题的逆否命题及其真假的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.
5．14
a =-
是函数2
()1f x ax x =--有且仅有一个零点的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件
【解析】 【分析】
将1
4
a =-
代入函数证明充分性，取0a =得到不必要，得到答案. 【详解】
当14a =-时，2
211()11042f x x x x ⎛⎫=---=-+= ⎪⎝⎭
，2x =-，充分性； 当0a =时，()10f x x =--=，1x =-，一个零点，故不必要. 故选：A . 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，函数零点，意在考查学生的推断能力.
6．下列命题为真命题的个数是（ ） ①{
x x x ∀∈是无理数}，2x 是无理数； ②若0a b ⋅=r r
，则0a =r r 或0b =r r
；
③命题“若220x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”的逆否命题为真命题；
④函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数.
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断①的正误；利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误；判断原命题的真假，利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误；利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论. 【详解】
对于①中，当x =时，22x =为有理数，故①错误；
对于②中，若0a b ⋅=r ，可以有a b ⊥r r
，不一定要0a =r r 或0b =r r ，故②错误；
对于③中，命题“若22
0x y +=，x ∈R ，y ∈R ，则0x y ==”为真命题，
其逆否命题为真命题，故③正确；
对于④中，()()x x x x
e e e e
f x f x x x
-----===-，
且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ，定义域关于原点对称， 所以函数()x x
e e
f x x
--=是偶函数，故④正确.
综上，真命题的个数是2.
【点睛】
本题考查命题真假的判断，涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断，考查推理能力，属于中等题.
7．已知下列四个命题
1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥； 2P ：若()x x f x e e -=-，则,()()x R f x f x ∀∈-=-
3P ：若1
()1
f x x x =+
+则()00(0,),1x f x ∃∈+∞= 4P ：在ABC V 中，若A B >，则sin sin A B >
其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
根据线面垂直关系判断1P 错误；根据函数奇偶性判定2P 正确，利用基本不等式性质判断
3P 不正确，结合三角形边角关系判定4P 正确.
【详解】
解：1P ：若直线l 和平面α内的无数条直线垂直，则l α⊥不一定成立，必须是任意直线；故命题1P 错误，
2P ：若()x x f x e e -=-，则()()x x f x e e f x --=-=-，即,()()x R f x f x ∀∈-=-成
立；命题正确，
3P ：当1x >-时，11()11121111f x x x x x =+
=++-=-=++…， 当且仅当111
x x +=
+，即2
(1)1x +=，得0x =时取等号，则()00(0,),1x f x ∃∈+∞=不成立，故命题为假命题，
4P ：在ABC V 中，若A B >，则a b >，由正弦定理得sin sin A B >，即命题为真命题.
则正确的命题的个数是2， 故选：B . 【点睛】
此题考查判断命题的真假，涉及知识面广，关键在于对每一个命题的真假性正确辨析.
8．下列三个命题中，真命题的个数为（ ） ①命题p ：0(1,)x ∃∈+∞，
002x x >-，则p ⌝：(1,)x ∀∈+∞，02
x x ≤-；
②p q ∧为真命题是p q ∨为真命题的充分不必要条件； ③若22ac bc >，则a b >的逆命题为真命题； A ．3 B ．2
C ．1
D ．0
【答案】C 【解析】 【分析】
对三个命题逐一判断即可. 【详解】
①中p ⌝：()1
x ∀∈+∞，，02
x
x ≤-或2x =，所以①为假命题； ②为真命题；
③中逆命题为：若a b >，则22ac bc >，若c 为0，则③错误，即③为假命题. 故选：C . 【点睛】
本题考查命题的真假，属于基础题.
9．已知实数0a >，0b >，则“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数()f x 的单调性和充分与必要条件的定义判断即
可. 【详解】
e 2e 2e 2e 2a b a b b a a b +>+⇔->-，
令()e 2(0)x
f x x x =->，则()e 2x
f x '=-， 令()0f x '=，解得ln 2x =，
因为()'
f
x 为R 上的增函数,
所以当()0,ln 2x ∈时,()'
0f x <;当()ln 2,x ∈+∞时,()'0f x >,
故()f x 在(0,ln 2)上单调递减，在(ln 2,)+∞上单调递增， 所以当1a b >>时，()()f a f b >，即22a b e a e b ->-, 即“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的充分条件；
但当0ln 2a b <<<时，有()()f a f b >,即22a b e a e b ->-, 所以当22a b e b e a +>+时,可得1a b >>或0ln 2a b <<<， 故“1a b >>”是“e 2e 2a b b a +>+”的不必要条件.
综上可知“1a b >>”是“22a b e b e a +>+”的充分不必要条件. 故选:A 【点睛】
本题考查充分与必要条件;解题的关键是构造函数()e 2(0)x
f x x x =->,利用函数的单调性
进行判断;属于中档题.
10．下列选项错误的是（ ）
A ．命题“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1”
B ．“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件
C ．在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sinA ＞sinB ”的充要条件
D ．在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题为假命题 【答案】D 【解析】 【分析】
根据四种命题的定义，可以判断A 的真假；由充要条件的定义，判断B ，C 的真假；根据两个命题之间的真假关系即可判断D 的真假． 【详解】
对于选项Ａ，“若x ≠1，则x 2﹣3x +2≠0”的逆否命题是“若x 2﹣3x +2＝0，则x ＝1，故选项A 为真命题；
对于选项B ，由“x 2﹣3x +2＞0”得，x ＞2或x ＜1；故“x ＞2”是“x 2﹣3x +2＞0”的充分不必要条件，故选项B 为真命题；
对于选项C ，在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”，则边a ＞边b ，由正弦定理知，sin A ＞sin B ；反之，也成立，故在△ABC 中，“∠A ＞∠B ”是“sin A ＞sin B ”的充要条件,故C 为真命题； 对于选项D ，在命题的四种形式中，若原命题为真命题，则否命题可能为真命题，也可能为假命题．故D 为假命题； 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了命题的真假判断与应用，考查四种命题的定义、性质以及真假关系，充分、必要条件的判断，属于基础题．
11．已知集合{
}|3x
M y y ==，{|N x y ==
，则M N =I （ ）
A ．{|01}x x <<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|1}x x ≤
D ．{|0}x x >
【答案】B 【解析】 【分析】
根据函数的定义域和值域，求得集合,M N ，再结合集合的交集的运算，即可求解． 【详解】
由题意，集合{
}|3
{|0}x
M y y y y ===>,{|{|1}N x y x x ==
=≤，
所以{|01}M N x x ⋂=<≤. 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中根据函数的定义域和值域的求法，正确求解集合,M N 是解答的关键，着重考查了计算能力．
12．数列{}n a 的通项公式为(
)n a n c n N *
=-∈．则“2c <”是“{}n
a 为递增数列”的
（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要
C ．充分而不必要
D ．即不充分也不必要
【答案】A 【解析】 【分析】
根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得1
2
c n <+
，由此得到若{}n a 是递增数列，则3
2c <
，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()2
2
1n c n c +->-，化简得：12
c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32
c ∴<， 则2c <¿
{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，
∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A . 【点睛】
本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.
13．设
，则
"是"
"的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要
条件 【答案】A 【解析】 【分析】
根据题意得到充分性，验证
得出不必要，得到答案.
【详解】
，当
时，
，充分性；
当，取
，验证成立，故不必要.
故选：. 【点睛】
本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.
14．已知集合1|,42k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，1|,24k N x x k Z ⎧⎫
==+∈⎨
⎬⎩⎭
，则（ ） A ．M N = B ．M
N C ．N M D ．M N ⋂=∅
【答案】C 【解析】 【分析】
化简集合2|,4k M x x k Z +⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭，21|,4k N x x k Z +⎧⎫
==∈⎨
⎬⎩⎭
，结合2()k k Z +∈为和22()k k Z +∈的关系，即可求解. 【详解】
由题意，集合12|,|,424k k M x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫==
+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 121|,|,244k k N x x k Z x x k Z +⎧⎫⎧⎫
==+∈==∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，
因为2()k k Z +∈为所有的整数，而22()k k Z +∈为奇数， 所以集合,M N 的关系为N M .
故选：C . 【点睛】
本题主要考查了集合与集合的关系的判定，其中解答准确合理化简集合的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
15．“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
先分析“4a ≤-”能否推出“函数2
()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”，这
是必要性分析；然后分析“函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”能否推出“4a ≤-”，这是充分性分析，然后得出结果. 【详解】
若4a ≤-，则对称轴(1)32x a =-+≥>，所以()f x 在(,2]-∞上为单调递增， 取3a =-，则对称轴(1)2x a =-+=，()f x 在(,2]-∞上为单调递增，但4a >-，所以“()f x 在(,2]-∞上为单调递增”是“4a ≤- ”的必要不充分条件. 【点睛】
充分、必要条件的判断，需要分两步：一方面要说明充分性是否满足，另一方面也要说明必要性是否满足.
16．已知实数a b 、满足0ab >，则“11
a b
<成立”是“a b >成立”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．非充分非必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】 由
11b a a b ab
--=， 0ab >Q ，∴若
11
a b
< 成立, 则0b a -< ，即a b >成立，反之若a b >， 0ab >Q ，110b a a b ab
-∴
-=<， 即
11
a b
<成立， ∴“
11
a b <成立”是“a b > 成立”充要条件，故选C. 【点睛】
本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试
,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直
观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.
17．已知平面α，β和直线1l ，2l ，且2αβl =I ，则“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】B 【解析】 【分析】
将“12l l P ”与“1l α∥且1l β∥”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件. 【详解】
当“12l l P ”时，1l 可能在α或β内，不能推出“1l α∥且1l β∥”.当“1l α∥且1l β∥”时，由于2αβl =I ，故“12l l P ”.所以“12l l P ”是“1l α∥且1l β∥”的必要不充分条件. 故选：B. 【点睛】
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查空间直线、平面的位置关系，属于基础题.
18．某个命题与自然数n 有关，且已证得“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1
n k =+时该命题也成立”．现已知当7n =时，该命题不成立，那么（ ） A ．当8n =时，该命题不成立 B ．当8n =时，该命题成立 C ．当6n =时，该命题不成立 D ．当6n =时，该命题成立
【答案】C 【解析】 【分析】
写出命题“假设(
)*
n k k N
=∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”的逆否命题，
结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断. 【详解】
由逆否命题可知，命题“假设(
)*
n k k N =∈时该命题成立，则1n k =+时该命题也成立”
的逆否命题为“假设当(
)1n k k N *
=+∈时该命题不成立，则当n k =时该命题也不成
立”，
由于当7n =时，该命题不成立，则当6n =时，该命题也不成立，故选：C. 【点睛】
本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.
19．已知实数0x >,0y >，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】
利用基本不等式和充分，必要条件的判断方法判断.
【详解】
22x y +≥Q 且224x y +≤ ，
422x y ∴≤≤⇒+≤ ，
等号成立的条件是x y =，
又x y +≥Q ，0,0x y >>
21xy ∴≤⇒≤ ，
等号成立的条件是x y =,
2241x y xy ∴+≤⇒≤， 反过来，当12,3
x y ==
时，此时1xy ≤，但224x y +> ，不成立， ∴ “224x y +≤”是“1xy ≤”的充分不必要条件.
故选:C
【点睛】
本题考查基本不等式和充分非必要条件的判断，属于基础题型.
20．若命题“[1,2]x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．5,4⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．5,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．(,1)-∞ D ．(1,)+∞
【答案】C
【解析】
【分析】
分离参数，将问题转化为[]1,2x ∀∈，2111()22x a x x x
+<=+恒成立，结合基本不等式求解最值即可得解.
【详解】
若命题“[]1,2x ∀∈，2210x ax -+>”是真命题，
则[]1,2x ∀∈，2
12x ax +>，即2111()22x a x x x +<=+恒成立，
11()12x x +≥=Q ，当且仅当1x =时等号成立， ∴1a <，即实数a 的取值范围是(,1)-∞.
故选：C ．
【点睛】
此题考查根据全称命题的真假求参数的取值范围，利用分离参数，将问题转化为求函数最
值求解范围，需要注意等价变形.。