高三数学上学期期末考试试题文含解析试题 3

卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二
零二壹高三年级第一学期期末考试
文科数学
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.复数12z
i =-，那么2z =〔〕
A.34i --
B.54i -
C.34i -+
D.54i +
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复数的乘法法那么可计算出2z 的值. 【详解】由复数的乘法法那么可得()2
2
21214434z i i i i =-=-+=--.
应选：A.
【点睛】此题考察复数的乘法运算，考察计算才能，属于根底题. 2.设集合{}1A x x =≥，{}24B x x =-<<，那么A
B =〔〕
A.{}14x x ≤<
B.{}21x x -<<
C.
{}
24x x -<<
D.
{}2x x >-
【答案】D 【解析】 【分析】
利用并集的定义可求出集合A B .
【详解】
{}1A x x =≥，{}24B x x =-<<，{}2A B x x ∴⋃=>-.
【点睛】此题考察并集的计算，熟悉并集的定义是计算的关键，考察计算才能，属于根底题. 3.焦点在x 轴上的双曲线C 的渐近线方程为20x y ±=，那么C 的离心率为〔〕
B.3
D.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设双曲线C 的HY
方程为()22
2
210,0x y a b a b
-=>>，焦距为()20c c >，根据双曲线的渐近线方程可得出2b a =
，再利用公式e =即可求出双曲线C 的离心率.
【详解】设双曲线C 的HY 方程为()22
2
210,0x y a b a b
-=>>，焦距为()20c c >，那么222c a b =+， 双曲线C 的渐近线方程为
2b y x x a
=±
=±，2b
a ∴=，
因此，双曲线C
的离心率为c e a ===== 应选：C.
【点睛】此题考察双曲线离心率的计算，在涉及双曲线的渐近线方程时，计算离心率时可利用公式
e =，考察计算才能，属于根底题.
4.实数x 、y 满足不等式组0220330x x y x y ≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
，那么目的函数z x y =+的取值范围是〔〕
A.
[]0,4
B.
[]1,3
C.
[]2,3
D.
[]1,4
【答案】B 【解析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y =+，观察该直线在x 轴上截距最大和最小时对应的最优解，代入目的函数即可得出函数z x y =+的取值范围.
【详解】作出不等式组0220330x x y x y ≥⎧⎪
+-≥⎨⎪+-≤⎩
所表示的可行域，如以下列图中的阴影局部区域所示：
那么z 为直线z x y =+在x 轴上的截距，平移直线z x y =+，当直线z x y =+经过可行域的顶点
()0,3A 时，此时该直线在x 轴上的截距最大，该函数获得最大值，即max 033z =+=；
当直线z x y =+经过可行域的顶点()10
B ,时，该直线在x 轴上的截距最小，此时，该函数获得最小值，即min
101=+=z .
因此，目的函数z x y =+的取值范围是[]1,3.
应选：B.
【点睛】此题考察简单的线性规划问题，考察线性目的函数取值范围的求解，考察数形结合思想的应用，属于中等题.
5.图〔1〕是某品牌汽车2019年月销量统计图，图〔2〕是该品牌汽车月销量占所属汽车公司当月总销量的份额统计图，那么以下说法错误的选项是〔〕 A.该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多
B.该品牌汽车2019年上半年的销售淡季是5月份，下半年的销售淡季是10月份
C.2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份多
D.该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳 【答案】C 【解析】
【分析】
根据图〔1〕中的条形统计图可判断出A 、B 、D 选项的正误，结合图〔1〕和图〔2〕比较该品牌汽车所属公司7月份和8月份销量的大小，可判断出C 选项的正误.
【详解】根据图〔1〕中的条形统计图可知，该品牌汽车2019年全年销量中，1月份月销量最多，A 选项正确；
该品牌汽车2019年上半年销量最少的月份是5月份，下半年销量最少的月份是10月份，B 选项正确； 由条形统计图中的波动性可知，该品牌汽车2019年下半年月销量相对于上半年，波动性小，变化较平稳，D 选项正确；
由图〔1〕和图〔2〕可知，该品牌汽车7月份和8月份的销量相等，但该品牌汽车7月份的销量占该品牌汽车所属公司当月总销量的比例较8月份的大，所以，2019年该品牌汽车所属公司7月份的汽车销量比8月份少，C 选项错误. 应选：C.
【点睛】此题考察条形统计图与频率分布折线图的应用，考察学生数据处理的才能，属于中等题.
6.
()12
log f x x =-()11f x +≥的x 的取值范围是〔〕
A.3,4⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
B.31,4⎛
⎤--
⎥⎝⎦
C.3,4⎡⎫
-
+∞⎪⎢⎣⎭
D.51,
4⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】B 【解析】 【分析】
分析出函数
()
y f x =是
()
0,∞+上的减函数，且有
114f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，将所求不等式化为
()114f x f ⎛⎫
+≥ ⎪⎝⎭
，结合该函数的单调性与定义域得出关于x 的不等式组，解出即可.
【详解】由于函数
12
log y x =为减函数，函数
y =
所以，函数
()12log f x x =-()0,∞+上的减函数，且有114f ⎛⎫= ⎪
⎝⎭
，
由
()11f x +≥可得()114f x f ⎛⎫
+≥ ⎪⎝⎭
，1014x ∴<+≤，解得314x -<≤-.
因此，满足
()11f x +≥的x 的取值范围是31,4⎛
⎤-- ⎥⎝
⎦.
应选：B.
【点睛】此题考察函数不等式的求解，一般将不等式转化为
()()12f x f x <，利用函数的单调性求解，
同时不要忽略函数定义域的限制，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题. 7.如图为函数()()sin f x x ωϕ=+的局部图象，将其向左平移
1
4
个单位长度后与函数()g x 的图象重合，那么()g
x 可以表示为〔〕
A.sin 2x π
B.sin 2x π-
C.sin x
π
D.sin x π-
【答案】D 【解析】 【分析】 先利用图象求出函数
()y f x =的解析式，然后利用平移变换可得出函数()y g x =的解析式.
【详解】设函数
()y f x =的最小正周期为T ，那么5
12244T ⎛⎫
=⨯-= ⎪⎝⎭
，2T ωπ
∴==π，
所以，
()()sin f x x πϕ=+，
由于1,04⎛⎫
⎪⎝⎭
是函数()y f x =图象的一个对称中心，且函数()y f x =在14x =附近单调递减，所以
()24
k k Z π
ϕππ+=+∈，()324
k k Z π
ϕπ∴=
+∈， 那么
()33sin 2sin 44f x x k x πππππ⎛⎫⎛
⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
将函数
()y f x =的图象向左平移
1
4
个单位长度后得到函数()y g x =的图象， 因此，()()3sin sin sin 444g
x f x x x x πππππππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦. 应选：D.
【点睛】此题考察利用图象求三角函数解析式，同时也考察了三角函数图象的相位变换，考察推理才能与计算才能，属于中等题. 8.笛卡尔心形线的极坐标方程为()1sin a ρ
θ=-，如图，笛卡尔心形线在半径为2的圆内.为了测算该
心形线围成的区域面积，某同学利用计算机随机模拟法向该圆内随机投掷了1000个点，其中落入心形线内的点有375个，那么该心形线围成的区域面积约为〔〕
A.
32
π B.
38
π
C.2π
D.π
【答案】A 【解析】 【分析】
设该心形线围成的区域面积为S ，根据几何概型的概率公式得出
375
41000
S π=
，由此可计算出S 的值. 【详解】设该心形线围成的区域面积为S ，那么圆的面积为224ππ
⨯=，
由题意可得
3753410008S π==，解得33482
S ππ=⨯=，
因此，该心形线围成的区域面积约为32
π
. 应选：A.
【点睛】此题考察利用随机模拟的思想求不规那么区域的面积，解题的关键就是利用几何概型的概率公式列等式求解，考察运算求解才能，属于中等题. 9.假设cos 2sin 1θ
θ-=，那么tan θ=〔〕
A.
43 B.
34
C.0或者
43
D.0或者
34
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意得出关于sin θ和cos θ的方程组，解出这两个量，然后利用sin tan cos θθθ
=
即可计算出tan θ的
值.
【详解】由题意可得22
cos 2sin 1cos sin 1θθθθ-=⎧⎨+=⎩，解得sin 0cos 1θθ=⎧⎨=⎩或者4sin 5
3cos 5θθ⎧
=-⎪⎪⎨⎪=-
⎪⎩
， 因此，sin tan 0cos θ
θθ
=
=或者43.
应选：C.
【点睛】此题考察利用同角三角函数的根本关系求值，涉及平方关系与商数关系的应用，考察方程思想的应用，属于中等题. 10.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90ACB ∠=，1
AA AC CB ==，那么
直线1BC 与平面
11ABB A 所成角的正弦值是〔〕
A.
1
2
B.
2
C.
2
D.
3
【答案】A 【解析】 【分析】 设
12AA AC CB ===，取11A B 的中点D ，证明出1C D ⊥平面11ABB A ，可知直线1BC 与平面
11ABB A 所成的角为1C BD ∠，计算出1C D 和1BC ，即可计算出直线1BC 与平面11ABB A 所成角的
正弦值.
【详解】如以下列图所示，设
12AA AC CB ===，取11A B 的中点D ，连接1C D 、BD ，
在三棱柱
111ABC A B C -中，AC CB =，1111A C C B ∴=，
D 为11A B 的中点，111C D A B ∴⊥，
1AA ⊥平面111A B C ，1C D ⊂平面111A B C ，11C D AA ∴⊥.
1111AA A B A =，1C D ∴⊥平面11ABB A ，
那么直线1BC 与平面
11ABB A 所成的角为1C BD ∠，
1CC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1CC BC ∴⊥
，1BC ∴==
90
ACB ∠=，111
90
A C
B ∴∠=，且
11112A C C B ==
，11A B ∴== D 为11A B
的中点，1111
2
C D A B ∴=
=， 1C D ⊥平面11ABB A ，BD ⊂平面11ABB A ，1C D BD ∴⊥，
在1Rt BC D ∆中，1111
sin 2
C D C BD BC ∠=
=. 因此，直线1BC 与平面11ABB A 所成角的正弦值是
12
. 应选：A.
【点睛】此题考察直线与平面所成角正弦值的计算，解题的关键就是要找出线面垂直，结合线面角的定义进展计算，考察推理才能与计算才能，属于中等题.
11.1F 、2F 为椭圆22
:142
x y E +=的左、右焦点，A 为短轴的一个端点，连接2AF 并延长交椭圆于B
点，那么1ABF ∆的面积为〔〕 A.
8
3
B.
163
C.3
D.8
【答案】A 【解析】 【分析】 将直线
2AF 的方程与椭圆E 的方程联立，求出点B 的坐标，然后利用三角形的面积公式可求出1ABF ∆的
面积.
【详解】如以下列图所示，设点
A 为椭圆E
的上顶点，可知点(
A
、)2
F ，
那么直线
2AF
1=
，即y x =， 将直线2AF 的方程与椭圆E
的方程联立22
14
2y x
x y ⎧=⎪
⎨+=⎪⎩，消去y
得230x -=， 解得0x =
或者
3
，所以点33B ⎛- ⎝⎭
，
因此，1ABF ∆
的面积为1
121182233
ABF S F F ∆=
=⨯=. 应选：A.
【点睛】此题考察椭圆中三角形面积的计算，解题的关键就是求出直线与椭圆的交点坐标，考察计算才能，属于中等题. 12.直线l 与曲线
()x f x e =和()ln g x x =分别相切于点()11,A x y 、()22,B x y .90
AOB ∠>〔O 为原点〕；②120x y +=；③()12,2x ∈-〕
A.0
B.1
C.2
D.3
【答案】D 【解析】 【分析】
利用导数求出直线
l
的方程，可得出
()112121
1ln 1
x x e x
e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩
，根据
OA OB ⋅1
2
1x e x =()11111x e x x -=--，构造函数()()11x g x x e x =---，利用导数说明函数()y g x =在区间(],2-∞-和[)2,+∞.
【详解】
()x f x e =，()x f x e '∴=，所以，直线l 的方程为()111x x y e e x x -=-，
即
()1111x x y e x x e =+-，同理可知，直线l 的方程为()22
1
ln 1y x x x =
+-， 所以()112
1211ln 1
x x e x e x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩
， 由1
2
1x e
x =
，可得1
222
1
ln
ln x x y x ==-=-，那么120x y += ()()11111212111x x x x OA OB x x y y x e e x x e e --⋅=+=+⋅-=-，
假设A 、O 、B 三点一共线，那么()11210ln 10
x e x x ⎧-=⎨-=⎩，解得121x x e =⎧⎨=⎩，此时，等式1
2
1x e x =
不成立，
矛盾；
假设10x =，由1
2
1x e x =
可得2
1x =，此时等式()1121ln 1x e x x -=-不成立，矛盾；
假设10x <，那么110x x ->>，有110x x e e -->，此时0OA OB ⋅<；
假设1>0x ，那么110x x -<<，有110x x e e --<，此时0OA OB ⋅<.
所以，90AOB
∠>
由1
2
1x e x =
，可得1
22
1
ln
ln x x x ==-，代入等式()1121ln 1x e x x -=-，可得()11111x e x x -=--，所以，()111110x e x x ---=，
构造函数()()11x g
x x e x =---，那么()1x g x xe '=-，
当2x -≤时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减，且()()23
210g x g e
≥-=-
>； 当2x
≥时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增，且()()2
230g x g e ≥=->.
所以，函数()y g x =在区间(],2-∞-和[)2,+∞上都不存在零点，那么()12,2x ∈-.
应选：D.
【点睛】此题考察两函数的公切线问题，涉及角的判断以及函数的零点问题，解题时要充分利用导数研究
函数的单调性，考察分析问题和解决问题的才能，属于难题. 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分. 13.，
3b =，a 与b 夹角的余弦值为
1
3
，那么a b -=______. 【答案】3 【解析】 【分析】
利用平面向量数量积的运算律和定义求出
()
2
a b -的值，即可求出
a b
-的值.
【详解】由平面向量数量积的定义可得1
2323
a b ⋅=⨯⨯
=， ()
2
22
22222239a b
a a
b b ∴-=-⋅+=-⨯+=，因此，3a b -=.
故答案为：3.
【点睛】此题考察平面向量模的计算，一般将模平方，借助平面向量数量积的定义和运算律进展计算，考察计算才能，属于根底题. 14.函数
()f x 满足()()23f x f x x +-=，那么()1f =______.
【答案】3- 【解析】 【分析】 根据题意得出关于
()1f 和()1f -的方程组，解出即可.
【详解】
()()23f x f x x +-=，()()()()1213
1213
f f f f ⎧+-=⎪∴⎨-+=-⎪⎩，解得()13f =-.
故答案为：3-.
【点睛】此题考察函数值的计算，解题时要结合等式的构造构造方程组求解，考察运算求解才能，属于中等题.
15.两圆1C 、2C 和x 轴正半轴，
y 轴正半轴及直线2x y +=都相切，那么两圆圆心的间隔
12C C =______.
【答案】4 【解析】 【分析】
设圆1C 、2C 的半径分别为R 、r ，且R r >，并作出图形，根据几何关系列出R 、r 满足的关系式，即可求出
12C C R r =+的值.
【详解】设圆1C 、2C 的半径分别为R 、r ，且R r >，如以下列图所示：
设两圆相切于点
A ，
OA =
=12C C 的倾斜角为
4
π，
由几何关系可得
11OC OA C A R ==+=，解得2R =
=；
22OC OA C A r ==-=，解得2r =
= 因此，
124C C R r =+=.
故答案为：4.
【点睛】此题考察两圆相切时圆心距的计算，解题时要充分利用几何关系列出有关圆的半径所满足的等式，考察数形结合思想的应用，属于中等题. 16.在ABC ∆中，120
BAC ∠=，D 、E 为边BC 上的点，且BD CD =，BAE
CAE ∠=∠，
假设
3AD =，AE =BC =______.
【答案】【解析】 【分析】
作出图形，可知点D 为边BC 的中点，由向量加法的三角形法那么可得出2AD
AB AC =+，从而可
得出2236b c bc +-=，AE 为BAC ∠的角平分线，利用正弦定理可得出
BE c
CE b
=，并设BE ct =，CE bt =，其中01t <<
，由余弦定理得出22222
2
2
2
b t b
c t c ⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，从而得出b 和c 为关于x 的方程(
)2
2120
t
x --=的两根，利用韦达定理可得
出
)
bc b c =+，结合等式
2236b c bc +-=可求出bc 的值，再利用余弦定理即可得出BC .
【详解】设
AB c =，AC b =，如以下列图所示：
由于BD CD =，那么点D 为BC 的中点，
()(
)111
222
AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC
∴=+=+=+-=+，
即2AD AB AC =+
，所以，()
2
2
2
2
42cos120
AD
AB AC
AB AC AB AC =+=++⋅，
整理得2
236b c bc +-=，即()2
336b c bc +-=，①
1
60
2
BAE CAE BAC ∠=∠=∠=，
在ACE ∆
中，由正弦定理
sin 60sin CE b AEC =∠，得sin 60
sin CE b AEC
=
∠， 在ABE ∆中，由正弦定理
()sin 60sin sin sin 180BE c c c
AEB AEC
AEC ===∠∠-∠，
得
sin 60
sin BE c AEC
=
∠，CE BE b c ∴=，设
CE BE
t b c
==， 由BC AB AC <
+，可得()b c t b c +<+，可知01t <<，
在ACE ∆
中，由余弦定理得2222cos60
CE AC AE AC AE =+-⋅，
即22
22b t b =+，即(
)22120t b --=，同理可得()22
12
0t c --=，
所以，b 和c 为关于x 的方程
(
)2
2120t
x --=的两根，
由韦达定理得2
1
b c t +=-
-，221bc t =--，)bc b c ∴=+， 代入①式得()2
2
222136332
b
c bc b c bc b c bc =+-=+-=-，整理得226720b c bc --=，
0bc >，解得12bc =，
由余弦定理得
222222cos120BC AC AB AC AB b c bc
=+-⋅=++()2223621260b c bc bc =+-+=+⨯=，
因此，BC
=.
故答案为：
【点睛】此题考察三角形边长的计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，考察了三角形中线和角平分线的几何性质，考察推理才能与计算才能，属于中等题.
三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第〔22〕，〔23〕题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分. 17.
{}n a 是公差不为0的等差数列，且前3项和为9.{}n b 是等比数列，且12b a =，25b a =，311b a =.
〔1〕求n a ； 〔2〕求
{}n b 的前n 项和n
T
.
【答案】〔1〕1n a n =+；〔2〕332n
n T =⨯-.
【解析】 【分析】 〔1〕设等差数列
{}n a 的公差为d ，根据题意得出关于1a 和d 的方程组，解出这两个量，然后利用等差
数列的通项公式可求出n a ； 〔2〕根据题意求出等比数列{}n b 的通项公式，然后利用等比数列的前n 项和公式可求出n
T
.
【详解】〔1〕设{}n a 的公差为d ，那么0d ≠，那么1231339a a a a d ++=+=，得13a d +=.①
因为
{}n b 是等比数列，且12b a =，25b a =，311b a =，
由2
2
13b b b =，可得()()()
2
111104a d a d a d ++=+，化简得212a d
d =，
因为0d
≠，所以12a d =.②
由①②解得，1
2a =，1d =，故()111n a a n d n =+-=+； 〔2〕由〔1〕得1
23b a ==，256b a ==，
设等比数列{}n b 的公比为q ，那么2
1
2b q b =
=，故11132n n n b b q --==⨯， 那么1332322
311n
n n n b b q T q --⨯==⨯---=.
【点睛】此题考察等差数列和等比数列通项公式的求解，同时也考察了等比数列前n 项和的计算，考察运算求解才能，属于根底题.
18.高考综合HY 从2018年秋季入学的高一年级学生开场施行，新高考将实行“312++〞形式，其中3表示语文、数学、外语三科必选，1表示从物理、历史两科中选择一科，2表示从化学、生物、政治、地理四科中选择两科.某校2018级入学的高一学生选科情况如下表：
〔1〕完成下面的22⨯列联表，并判断是否在犯错误概率不超过0.01的前提下，认为“选择物理与学生的性别有关〞？
〔2〕按性别用分层抽样的方式，从选择“史地化〞组合的同学中抽取了5名同学.现要从这5名同学中随
机抽取3名同学参加某项活动，那么抽取的3名同学中，恰有1名男生的概率.
附表及公式：()()()()()2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
【答案】〔1〕不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关〞；填表见解析；〔2〕
3
5
. 【解析】 【分析】
〔1〕根据题中信息完善22⨯列联表，并计算出2K 的观测值，结合临界值表可对题中结论进展判断； 〔2〕可知抽取的5名学生中，男生有2人，分别记为
1A 、2A ，女生有3人，分别记为1B 、2B 、3B ，
列举出所有的根本领件，确定根本领件总数，并列举出事件“恰有一名男生〞所包含的根本领件，利用古典概型的概率公式可求出所求事件的概率. 【详解】〔1〕依题意可得列联表
将列联表中的数据代入公式计算得
()2
2900300175300125 5.573 6.635600*********
K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，
所以，不能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为“选择物理与学生的性别有关〞； 〔2〕该选择“史地化〞组合的男生、女生的比为2:3，
所以从选择“史地化〞组合的同学中按性别用分层抽样的方式抽取5名同学，其中男生2名，女生3名. 记男生分别为
1A 、2A ，女生分别为1B 、2B 、3B ，
从5名同学中随机抽取3名同学，所有的根本领件有：
{}121,,A A B 、{}122,,A A B 、{}123,,A A B 、
{}112,,A B B 、{}113,,A B B 、{}123,,A B B 、{}212,,A B B 、{}213,,A B B 、{}223,,A B B 、{}123,,B B B ，一共10种等可能的结果.
其中，恰有一名男生包含的根本领件有：
{}112,,A B B 、{}113,,A B B 、{}123,,A B B 、{}212,,A B B 、
{}213,,A B B 、{}223,,A B B ，一共6种等可能的结果，
所以恰有1名男生的概率63105
P
=
=. 【点睛】此题考察HY 性检验根本思想的应用，同时也考察了利用古典概型的概率公式计算事件的概率，一般列举出所有的根本领件，遵循不重不漏的根本原那么，考察学生数据处理的才能，属于中等题. 19.如图，AB 是圆的直径，C 是圆上的点，PC 垂直圆所在的平面，D 、E 分别是PB 、PC 的中点. 〔1〕求证：DE ⊥平面PAC ； 〔2〕假设
2AB PC ==，1AC =，求点E 到平面ACD 的间隔.
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕
7
. 【解析】 【分析】
〔1〕由
AB 是圆的直径，得出BC AC ⊥，由PC 垂直圆所在的平面得出PC BC ⊥，利用直线与平面
垂直的断定定理可证明出BC ⊥平面PAC ，由中位线的性质可得出//DE BC ，由此可证明出DE ⊥平面PAC ； 〔2〕可证明出
AC ⊥平面PBC ，利用平面与平面垂直的断定定理可证明出平面PBC ⊥平面ACD ，
然后过点E 引CD 的垂线，垂足为O ，利用平面与平面垂直的性质定理可得出EO ⊥平面ACD ，从
而得出EO 的长度即为点E 到平面ACD 的间隔，利用等面积法计算出EO 的长度即可.
【详解】〔1〕因为
AB 是圆的直径，所以BC AC ⊥，
因为PC 垂直圆所在的平面，BC 为圆所在平面内的一条直线，所以PC BC ⊥， 又因为
AC PC C =，所以BC ⊥平面PAC .
因为D 、E 分别是棱PB 、PC 的中点，所以//BC DE ，从而有DE ⊥平面PAC ； 〔2〕因为
AB 是圆的直径，所以BC AC ⊥，
因为PC 垂直圆所在的平面，
AC 为圆所在平面内的一条直线，所以PC AC ⊥，
BC PC C =，AC ∴⊥平面PBC ，又AC ⊂平面ACD ，那么平面PBC ⊥平面ACD .
过E 引CD 的垂线，垂足为O ， 平面PBC
⊥平面ACD ，平面PBC
平面
ACD CD =，EO CD ⊥，EO ⊂平面PBC ，
EO ∴⊥平面ACD ，
所以EO 的长度即为点E 到平面ACD 的间隔.
由及
2AB PC ==，1AC =，可得2BC DE ==1CE =，
在直角CED ∆中，2
CD =，那么7
CE DE EO
CD ⨯=
=
.
所以点E 到平面
ACD 的间隔为
7
. 【点睛】此题考察直线与平面垂直的证明，同时也考察了点到平面间隔的计算，一般利用等体积法进展计
算，同时也可以过点作平面的垂线，利用面面垂直的性质定理进展转化，考察推理才能与计算才能，属于中等题. 20.己知抛物线2:4E y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点.
〔1〕假设
AB 的中点纵坐标为2，求直线l 的方程；
〔2〕设直线l 与E 的准线相交于C ，()1,2P ，求证：直线PA 、PC 、PB 的斜率成等差数列.
【答案】〔1〕10x y --=；〔2〕证明见解析.
【解析】 【分析】
〔1〕设直线l 的方程为1x
my =+，并设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线l 的方程与抛物线E 的方
程联立，利用韦达定理求出m 的值，即可得出直线l 的方程；
〔2〕设直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，求得点21,C m ⎛
⎫--
⎪⎝⎭，可得出311k m
=+，然后利用斜率公式结合韦达定理证明出1232k k k +=，即可证明出题中结论成立.
【详解】〔1〕由题意得()1,0F ，设:1l x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，
将直线l 的方程代入24y x =得2440y my --=，那么124y y m +=，124y y =-.
由于
AB 的中点纵坐标为2，那么1244y y m +==，解得1m =.
所以直线l 的方程为10x y -
-=；
〔2〕设直线PA 、PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k 、3k .
由题意可解得21,C m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，那么3
22
1111m k m
--==+--. 而
()1212121212121212
222222211211y y y y y y k k x x my my m m y y m my y +⎛⎫----+=
+=+=-+=- ⎪--⎝⎭
3212212k m m ⎛⎫
=
+=+= ⎪⎝⎭
所以，直线PA 、PC 、PB 的斜率成等差数列.
【点睛】此题考察直线与抛物线的综合问题，涉及中点弦问题以及斜率关系的证明，一般将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理设而不求法进展计算，考察运算求解才能，属于中等题.
21.设函数
()2
sin 4
x f x x x =-+，()()g x f x '=.
〔1〕讨论()g x 在[]0,2π上的单调性；
〔2〕证明：
()f x 在R 上仅有三个零点.
【答案】〔1〕单调递减区间为5,66ππ⎛⎫
⎪⎝⎭；单调递增区间为0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭，5,26π
π⎛⎤ ⎥⎝
⎦；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】 〔1〕求出()()1cos 2x g
x f x x '==
-+，
求得()1
sin 2
g x x '=-，利用导数求出函数()y g x =的极值点，分析()g x '的符号变化，即可得出函数()y g x =在[]0,2π上的单调区间；
〔2〕求得()00f =，利用导数分析函数()y f x =的单调性，结合零点存在定理证明出函数()
y f x =在区间
()0,π，(],2ππ内各有一零点，利用函数值符号说明该函数在区间(),0-∞和()2,π+∞上均
无零点，由此可证明出函数()y f x =在R 上只有三个零点.
【详解】〔1〕()()1cos 2x g
x f x x '==
-+，所以()1
sin 2
g x x '=-. 由()0g x '=且[]0,2x π∈，得6
x π=或者56π
.
当x 变化时，()g x '
和()g x 的变化情况如下表：
所以，函数
()y g x =的单调递减区间为5,66ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭和5,26
π
π⎛⎤ ⎥⎝⎦；
〔2〕由〔1〕得，当[]0,2x π∈
时，()y f x '=的极小值()52062f f π
ππ⎛⎫''<=-<
⎪
⎝⎭
； 极大值
()006f f π⎛⎫
'>= ⎪⎝⎭
，又()20f ππ'=>， 所以存在15,66x ππ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，25,26x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()()120f x f x ''==， 且当x 变化时
()f x '和()f x 的变化情况如下表：
从而
()()100f x f >=；()()2
204
f x f πππ<=
-<，又()2
220f πππ=->，
所以()y f x =在()0,π，(],2ππ内各有一零点，又()00f =， 所以
()y f x =在[]0,2π内有3个零点.
当(),0x ∈-∞时，()0f x '<，()y f x =单调递减，所以()()00f x f >=，
所以
()y f x =在(),0-∞上没有零点；
当()2,x π∈+∞时，()222sin 210f x x ππππ>-+-->，
所以
()y f x =在()2,π+∞上没有零点. 综上，
()y f x =在R 上仅有三个零点.
【点睛】此题考察利用导数分析函数的单调性，同时也考察了利用导数研究函数的零点问题，一般利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理进展判断，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题. 〔二〕选考题：一共10分.请考生在第〔22〕，〔23〕题中任选一题答题，假设多做，那么按所做的第一题记分.
[选修4－4：坐标系与参数方程] 22.在直角坐标系xOy 中，圆()
2
2:11C x y -+=，直线:2l y =.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系.
〔1〕求圆C 和直线l 的极坐标方程； 〔2〕设
A 、
B 分别为圆
C 和直线l 上的点，且满足AO AB ⊥，设AOB α∠=，求tan α的最小值.
【答案】〔1〕圆2:cos C ρ
θ=，直线:sin 2l ρθ=；〔2〕
3
4
. 【解析】 【分析】
〔1〕将圆C 的方程化为2
22x
y x +=，
即可将圆C 的方程化为极坐标方程，由sin y ρθ=可将直线l 的方程化为极坐标方程； 〔2〕设点
A 的极坐标为(),A A ρθ，点
B 的极坐标为(),B ρθα+，分别代入相应曲线的极坐标方程，
化简得出2
13tan tan 24αθ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，然后利用二次函数的根本性质可求出tan α的最小值.
【详解】〔1〕圆C 的方程为2
220x y x +-=，即222x y x +=，
因为2
22x
y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，
所以圆2:cos C ρθ=，直线:sin 2l ρθ=；
〔2〕设
(),A A ρθ、(),B B ρθα+，2
2
π
π
θ-
<<
.
依题意可得，2cos A
ρθ
=，()sin
2B ρθα+=，cos B A ραρ=.
所以()2cos sin
2cos θθαα+=，从而2cos sin cos cos sin cos θθαθαα+=，
所以2
2
2
1cos sin 13tan tan tan 1tan cos 24θθαθθθθ-⎛⎫==-+=-+ ⎪⎝
⎭， 所以当1
tan 2θ=
时，tan α获得最小值34
. 【点睛】此题考察普通方程与极坐标方程的互化，同时也考察了利用极坐标方程解决实际问题，考察运算求解才能，属于中等题. [选修4－5：不等式选讲]
23.a 、b 、c 、d 是正实数，且23a b +=，1c d +=.
〔1〕证明：21
3a b
+≥；
〔2〕当
a
c
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕3
2
.
【解析】 【分析】
〔1〕将代数式2a b +与
21a b +相乘，展开后利用根本不等式可证明出21
3a b
+≥；
〔2〕将代数式2a b +与+c d 成立的条件可求出
a
c
的值.
【详解】〔1〕因为()21222559b a a b a b a b ⎛⎫
++=++≥= ⎪⎝⎭
，
又23a b +=，故213a b
+≥，当且仅当b a
a b =时，即1a b ==时等号成立；
〔2〕因为
()()
32222a b c d ac bd bc ad ac bd =++=+++≥++2
=
，
2bc ad =时等号成立，
此时
223a b a b
c d c d +===+，故当32
a c =+.
【点睛】此题考察利用根本不等式证明不等式成立，同时也考察了利用根本不等式求代数式的最值，在利用根本不等式时要满足“一正、二定、三相等〞三个条件，考察推理才能与计算才能，属于中等题.。