浙江省绍兴市浦口中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析

浙江省绍兴市浦口中学2020-2021学年高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知点是的重心，( , )，若，，则的最小值是 ( ）
A． B． C．
D．
参考答案：
C
2. 下列有关命题的说法正确的是 ( )．
A．命题“若，则”的否命题为：“若，则”．
B．“” 是“”的必要不充分条件．
C．命题“若，则”的逆否命题为真命题．
D．命题“使得”的否定是：“均有”．
参考答案：
C
3.
参考答案：B
4. 在同一坐标系中，将曲线y＝2sin 3x变为曲线y＝sin x的伸缩变换是( )．
A．B．C．D．
参考答案：
B
5. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）
A.2
B.6
C.4
D.12
参考答案：
C
6. 已知函数在处的导数为3，则的解析式可能为（）
A. B．
C． D．
参考答案：
A
略
7. 设x＞0，y＞0，且2x+y=20，则lgx+lgy的最大值是（）
A．50 B．2 C．1+lg5 D．1
参考答案：
C
【考点】对数的运算性质．
【专题】计算题；转化思想；定义法；不等式．
【分析】由已知条件，可以得到2x+y=20≥2，进而得到xy的最大值为50，也就得出lg（xy）的最大值．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且2x+y=20
∴2x+y=20≥2，（当且仅当2x=y时，等号成立．）
∴xy≤50
lgx+lgy=lg（xy）≤lg50=1+lg5．
即lgx+lgy的最大值为1+lg5．
故选：C．
【点评】本题主要利用均值不等式求解对数函数的最值问题，属于基础题．
8. 若双曲线的对称轴为坐标轴，实轴长与虚轴长的和为14，焦距为10，则椭圆的方程为（）
A．B．
C．或D．以上都不对
参考答案：
C
略
9. 用一些棱长是1 cm的小正方体堆放成一个几何体，其正视图和俯视图如图所示，则这个几
何体的体积最多是()
A．6 cm3 B．7 cm3 C．8 cm3 D．9 cm3
参考答案：
B
略
10. 若，则则的值等于（）
A．B．C．
D．
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 等比数列{}的公比, 已知=1，，则{}的前4项和=
参考答案：
12. 若数列{a n }满足：a1=2，a n+m=a m?a n（m，n∈N+），则数列{a n}的通项公式a n= ．
参考答案：
2n
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．
【分析】利用赋特殊值法：可令a n=2n，满足条件a m+n=a m?a n，且a1=2，即可得到数列{a n}的通项公式．【解答】解：由已知a m+n=a m?a n，可知数列{a n}的通项公式符合指数函数模型，即，又a1=2，∴可得a n=2n，即数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴a n=2n ．
故答案为：2n．
【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，是基础题．
13. 如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后,输出的,那么的值为 .
参考答案：
略
14. 双曲线
的渐近线方程是
▲
参考答案：
15. 已知
，那么命题“若中至少有一个不为0，则.”的逆否命题
是 .
参考答案：
若
,则
都为0.
16. 已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则
______．
参考答案：
；解析：∵1, a 1, a 2, 4成等差数列，∴；∵1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，
∴
，又
，∴
；∴
；
17. 设x ＞0，y ＞0且x+y=1，则
的最小值为 ．
参考答案：
【考点】基本不等式在最值问题中的应用． 【专题】不等式的解法及应用． 【分析】先把转化成
=（
）?（x+y ）展开后利用均值不等式进行求解，注意等号成立的
条件．
【解答】解：∵x＞0，y ＞0且x+y=1，
∴=（）?（x+y ）=1+4++≥5+2=9，
当且仅当=
，即x=3，y=6时取等号，
∴
的最小值是9．
故答案为：9．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于基础题．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 18. 已知函数
（1）若方程内有两个不等的实根，求实数m 的取值范围；（e 为自然对
数的底数） （2）如果函数
的图象与x 轴交于两点
、且．求证：
（其中正常数
）．
参考答案： 解：（1）由
，
求导数得到：
……………………（2分）
，故
在有唯一的极值点
，且知
故上有两个不等实根需满足：
故所求m的取值范围为．………………（6分）（2）又有两个实根
则两式相减得到：
……………………．（8分）
于是
，故………………（9分）
要证：，只需证：
只需证：……………………………．（11分）令，则只需证明：在上恒成立．
上为增函数，则
从而可知，即（*）式成立，
从而原不等式得证．…………………（14分）
19. （本小题满分12分）
已知函数都任意的都有，且.
（1）判定在R上的单调性；
（2）若.
参考答案：
（1）增函数（2）-1＜m＜4／3
20. 学校分配甲、乙、丙三人到7个不同的社区参加社会实践活动，每个社区最多分配2人，则有336种不同的分配方案（用数字作答）
参考答案：
考点：计数原理的应用．
专题：计算题；排列组合．
分析：根据题意，分2种情况讨论：第一类，这7个社区中恰有三个社区各有一人参与社会实践活动，第二类，这7个社区中某个社区有两人，另一个社区有一人参与社会实践活动；分别求出每种情况下的情况数目，由分类计数原理计算可得答案．
解答：解：根据题意，分2种情况讨论：
第一类，这7个社区中恰有三个社区各有一人参与社会实践活动，相应的分配方案有A73=210种；
第二类，这7个社区中某个社区有两人，另一个社区有一人参与社会实践活动，相应的分配方案有
C32C11A72=126种，
因此，共有分配方案210+126=336种．
故答案为：336．
点评：本题考查排列、组合的运用，解题时要结合题意，分析将3人分到7个社区的情况进行分类讨论．
21. 为了解学生身高情况，某校以的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，则得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；
（2）估计该校学生身高在170—185cm之间的概率；
（3）从样本中身高在165—180cm之间的女生中任选2人，求至少有1人身高在170—180cm 之间的概率.
参考答案：
略
22. （本小题满分12分）（本小题满分12分）设函数．
(Ⅰ)当时，求曲线在处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数的单调性；参考答案：
函数的定义域为，
(Ⅰ)当时，，
∴在处的切线方程为
(Ⅱ)，的定义域为当时，，的增区间为，减区间为
当时，
，的增区间为，减区间为，
，在上单调递减
，
时，。