奇、偶项为不同数列型问题的探究

(3 诺 ! ( 15时 ， S „取 得 最 小 值 ， 求 %的 值 .
二 、求 和 问 题
奇数项与偶数项为不同类型的数列求和问题， 应对 奇数项与偶数项分别求和， 再 相 加 .求 解 中 注 意 对 奇 数
一、 通项问题
第 ( 1 )问 ， 较为简洁， 直接利用赋值法即可求解. 因 为 2$„=a „〇 !+1， 所 以 2$1(%1〇2,即 2 a 1(a 1〇 2,因 为 ％1(%" 0,所以〇2(2. 第 (2)问 ， 给 出 与 前 ! 项 和 S „有 关 的 关 系 式 ， 通常利 用 公 式 ^ # ’ 求 解 .本 题 也 不 例 外 .
[#+^+1 - 1 ) ; !-1 2
I !-1
偶
数
项
共
项
， , 偶&
2
-1 (. 2 =!-1+-
-1 2
I !-1
2 !+1 !-1 [a +-1 ) + ! -1 +
所 以 ,!&,)+,, ■ !-1
!+1
■ (! + 1 )(! + a - 1 ).
当 !为 偶 数 时 ， 奇数项共1 项 ， 由等差数列求和公式 2 i 得， 奇 &~2.#+ .([-1).2 2 &~2.a +L & - 1 j ;偶 数
教学 参谋
解法探 究
2017年 1 2 月
奇、 偶项为不同数列型问题的探究
! 江 苏 省 徐 州 市 第 三 中 学 赵 勇
在处理奇数项与偶数项为不同类型的数列求通项 公 式 或 前 !项 和 中 ， 由于学生在进行奇、 偶讨论时经常会 错 把 !当 成 了 奇 数 项 数 列 、 偶数项数列的项数， 从而产生 错 解 .下 面 通 过 举 例 ， 对此类问题进行详细探究， 以期对 学生解答此类问题有所有助， 从而有效避错. 题 目 已 知 由 整 数 组 成 的 数 列 U „ 丨 各 项均不为〇,其 前 !项 和 为 (1) (2) 且 a &=a ,2 $ „ = % a „+1. 求〇2的值; 求 |%„丨 的 通 项 公 式 ； $+#-1， ！ 为奇数, 综 上 所 得 a „& i n ,!为 偶 数 . 同理， 当！ 为偶数时， 如取！ &10,得 #， 2， #+2,4， #+ 4,6， #+6,8， #+8， 10， 则 偶 数 项 为 2,4,6,8， 10， 共 5项 ， 项 数 为 5 & 1 0 <所 以 当 ! 为 偶 数 时 ， #„&2+2 1 )&!.
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十 • ？炎 ， ？ 高中版
2017年 1 2 月
解法探究
> + 学 - - 参谋
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项 共 |项 ， "） # 2 - 2 +」
/则 前 !项 和 有 最 大 值 ， 此 时 ! 的 值 可 由 a „ ' 0求
! I! 2 ( 2
， 、
解 .同 理 ， 若首项为负， 且 公 差 大 于 〇,则 前 ! 项 和 有 小 值 ， 此 时 ! 的 值 可 由 a „<0求 解 . 当 然 也 可 以 利 用 前 ! & 和 的 二 次函数性质来求解. 第 ⑶ 问 ， 方 法 1 : 因 为 S S r a A +b 由 ⑵ 知 ， a ^#
2
2
另夕卜， 顺
!(!+')， ！ 为偶数，
注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的， 所有偶数项构成的数列是一个单调递增的.
侧
魏
: 亨
細
口
. 值
= !为偶数时， a „>0 ， 所 以 此 时 " !>" „_1， 所 以 为 最 小 等 价 于 所 以
!+1
= ! 为奇数时， S 奇#
a14+a1 5) 0 ,a16+a17' 0 ,所
/
(!_#
所 以 "! # " 奇$ " 偶
i(!+ a).
-(!+a _1 )(!+1 ) ， ！ 为奇数， 所 以 "!= ( + a _1， ！ 为奇数， 所 以 "„= ira， ra为 偶 数 ，
-!-(!+a _1 )(!+1 ) ， ！ 为奇数， 2 ( ! + a )， ！ 为偶数.
又 因 为 〇 + 0 , 所 以 对 所 有 的 奇 数 ！， a !=!+a _1 + 0 , 所
"偶 =
2
= 一 （ ！ _ 1)(!+ 1). 4 4 4 -(!_ 1 ) (!+1 )=
以 〇 ~能 取 偶 数 ， 所 以 a #_31， 或 a #_29. 方 法 2 : 因 为 "1(为 最 小 值 ， 此 时 !为 奇 数 ， = ! 为奇数 时 ， " ra= 丄 (！ + a _1 ) ( ! + 1 ) ， 根据二次函数的性质知道， 有 2 14 ) _ 土 ） 1 6 ， 解 得 _ 3 2 ) a ) _28. 2
!+a_1+a) -(!+ 〇 (! +
以 14 + 15 + a - 1 ) 0 ， 16 + 17 + a - 1 ' 0 ， 解 得 - 3 2 ) a ) - 28. 因为数列x y 是由整数组成的， 所 以 a * 卜 32， _3 1 ，
2a _ 1 ) ;
- 30,- 29,- 28;. ^ _ 1 (!-1 + 2 )
项数列与偶数项数列项数的准确把握. 当 !为 奇 数 时 ， 奇 数 项 共 ^项 ， 由等差数列求和公 2 !+1 式得， 奇 & ..<#+— —
I !+1
2
-1.2 -， 化 简 得 ， 奇:
!+1
因 为 2$„ = %% „ +1 <所 以 2 ， !-； !&#„-； ! 〇 !( ! % 2 ) <两 式 相 减 ， 得 到 2〇!&# ( 0»+： !-0»-； !).因 为 〇 ! " 0 <所 以 〇 !+ ： !- O n *!&2.所 以 1 m， 1吻 嘟 是 公 差 为 2 的 等 差 数 列 . 此时学生易给出错误答案： j a +2(!-1 )&2!+a - 2 ， ！ 为奇数， i 2+2(!-1 )&2!<!为 偶 数 . 原因是机械地套用了等差数列通项公式， 错误地认 为 奇 数 项 与 偶 数 项 的 项 数 均 为 !. 为了充分认识错误的原因， 我们可列举数列的有限 项 ， 当！ 为 奇数时， 如取！ &11 <得 a ， 2， a +2,4， a +4,6， a + 6 <8 <a + 8 < 10 <a + 10< 则 奇 数 项 为 a ,a + 2 <a + 4 <a + 6 <a + 8 <a + 10,共 6 项 ， 并 不 是 10,项 数 6: 11 + 1 2 ， 所以当！ 为奇数时，