福建省南安市侨光中学2011-2012学年高二下学期期末考试数学(理)试题

侨光中学2011-2012学年高二下学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．复数131i
Z i
-=
+的实部是 （ ） A ．4- B ． 1- C ． 1 D ． 2
2．设16.0)440(),60,500(~2
=≤X P N X ，则=≥)560(X P （ ） A ．0.16 B ．0.32 C ．0.84 D ．0.64 3．（坐标系与参数方程）圆)sin (cos 2θθρ+=
的圆心坐标是（ ）
A ． ⎪⎭
⎫
⎝⎛4,21π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,
1π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛4,2π D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛4,2π
4.将函数x y 2sin =的图像向左平移6
π
个单位,再向上平移1个单位后所得图像对应的函数解
析式是( ) A ．1)3
2sin(++=π
x y B ．1)3
2sin(+-=π
x y C ．1)6
2sin(++
=π
x y
D ．1)6
2sin(+-
=π
x y
5．把语文、数学、英语、物理、化学这五门课程安排在一天的五节课里，如果数学必须比化学先上，则不同的排法有 （ ）
A ．48
B ．24
C ．60
D ．120
6、已知y x ,满足条件50
03x y x y x -+≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则y x z 42+=的最小值为（ ）
A 、6
B 、-6
C 、5
D 、-5
7.已
知的外接圆的圆心为O ，半径为1，
若，
且
，则向量
在向量
方向上的射影的数量为（ ）
A ．
B ． C.3 D ．
8.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，
如果sin A C =， 30=B ，2=b ，则ABC ∆ 的面积为（ ）
A ．
B
C ．3
D ．2
9.双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点是抛物线28y x =的焦点，两曲线的一个公共点为
P ，且|PF|=5，则该双曲线的离心率为（ ）
C. 2 10．在平面直角坐标系中，定义*)(1
1N n y x y y x x n n n n
n n ∈⎩⎨
⎧+=+-=++为点()n n n P x y ，到点111()n n n P x y +++，的一个点变换，已知P 1（0，1），P 2（x 2，y 2），…)(n n n y x P ，，)(111+++n n n y x P ，（n ∈N*）是经过点变换得到的一列点，设1n n n a P P +=，数列{}n a 的前n 项和为n S ，给出以下四个结论：
①1222n n n x y -==； ②122n n a -=； ③1212n n a --=； ④21)(21)n
n S =+-． 则正确结论的序号是 （ ）
A ． ①②④
B ．①②③
C ．②③④
D ． ①③④
二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上． 11．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 12. 已知21cos -=θ，θ为第三象限角，则)3
sin(θπ
+=________ 13．由曲线1
y x
=
与y=x ，x=4以及x 轴所围成的封闭图形的面积是＿＿＿＿＿＿； 14、（不等式选讲）已知对于任意非零实数m ，不等式2
|53||34|||()m m m x x
-+-≥-恒成立，
则实数x 的取值范围是 。

15．已知真命题：过抛物线()2
20y px p =>的顶点O 作两条互相垂直的直线，分别交抛物线
于另外两点M 、N ，则直线MN 过定点()2,0P p .类比此命题，写出关于椭圆
()22
2210x y a b a b
+=>>的一个真命题： .
三．解答题：本大题共6小题，共13+13+13+13+14+14=80分．解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤. 16．(本小题满分13分)
已知数列{}n a 满足41-=-+n n a a ，182012a a +=，等比数列{}n b 的首项为2，公比为q 。

（1）若3q =，问3b 等于数列{}n a 中的第几项？
（2）数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别记为n S 和n T ，n S 的最大值为M ，当2q =时，试比
较M 与9T 的大小。

17.(本小题满分13分)
如图，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救。

信息中心立即把消息告知在其南偏西︒30、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，求θcos 的值．
18．（本小题满分13分）
某汽车驾驶学校在学员结业前，要对学员的驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核。

若学员小李独立参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
8
1
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率不超过21
，且他直到参加第二次考核才合格的概率为32
9。

（1）求小李第一次参加考核就合格的概率1p ； （2）求小李参加考核的次数X 的分布列和数学期望。

19．(本题满分13分)
已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω<<>+=x x f 的图象与直线b y =)01(<<-b 的三个相邻交点的横坐标分别是1，2，4．
（1）求)(x f 的解析式，并写出)(x f 的单调递减区间； （2）设)()2()(x f x f x g +=，求函数)(x g 的值域．
20. (本题满分14分)
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为
半径的圆与直线0x y -+=相切． (1)求椭圆C 的方程；
(2)设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C
于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； (3)在(2)的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．
21．(本题满分14分)
已知0>a ，函数a x x
a
x f -+=
ln )(，],1[2e x ∈． （1）当3=a 时，求曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程； （2）若2
3
)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围．
侨光中学2013届高二年下学期期末考试数学试卷（理）
（参考答案）
命题人：李垂锴 审题人：梁志永
三．解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
78(1)(4)482n a n n ∴=+--=-+----------5分
令348218n b -+==，得16n =．3b ∴等于数列{}n a 中的第16项．----------7分
（2）12b q ==，
91092(12)
22102212T -∴==-=-----------9分
22(1)
78(4)2802(20)8002
n n n S n n n n -=+⋅-=-+=--+20800n M ∴==时,最大值----12分
9M T ∴<．----------13分
∴X 的概率分布列为：
…………………11分
∴
64
157
64154641533292411)(=
⨯+⨯+⨯+⨯
=X E ………13分 X 1 2 3 4 P
41 329 6415 64
15
由2222(32)4(41)(644)0k k k ∆=-+->得21210k -<，……….7分
又0k =不合题意，所以直线PN
的斜率的取值范围是0k <<
或0k <<
.9分 ⑶设点1122(,),(,)N x y E x y ，则11(,)M x y -，直线ME 的方程为2
1
2221
()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得221221
()
y x x x x y y -=-+，将1122(4),(4)y k x y k x =-=-代入整理，得
12121224()
8
x x x x x x x -+=
+-． ②…………….12分
由得①2212122232644
,4141k k x x x x k k -+==++代入②整理，得1x =， 所以直线ME 与x 轴相交于定点(1,0)．……….14分 21.解：（Ⅰ）当3=a 时，x x
x f ln 33
)(-+=
， …………………………1分 ∴x x x f 13)(2
'-
-
=，3
2
)3('-=f ， …………………………3分
又3ln 4)3(-=f ，∴曲线)(x f y =在点))3(,3(f 处的切线方程为： )3(32)3ln 4(--
=--x y ，即：3ln 63
2
-+-=x y ．…………………………5分。