2021届高考数学一轮复习第九章统计统计案例课堂达标54几何概型文新人教版

2021届高考数学一轮复习第九章统计统计案例课堂
达标54几何概型文新人教版
[A 基础巩固练]
1．(2021·全国Ⅱ卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替显现，红灯连续时刻为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才显现绿灯的概率为( )
A.
7
10
B.5
8 C.3
8
D.310
[解析] 由题至少等15秒遇绿灯的概率为
P ＝
40－1540＝5
8
.故选B. [答案] B
2．(2020·贵阳市监测考试)在[－4,4]上随机取一个实数m ，能使函数f (x )＝x 3
＋mx 2
＋3x 在R 上单调递增的概率为( )
A.14
B.38
C.58
D.34
[解析] 由题意，得f ′(x )＝3x 2
＋2mx ＋3，要使函数f (x )在R 上单调递增，则3x 2
＋2mx ＋3≥0在R 上恒成立，即Δ＝4m 2
－36≤0，解得－3≤m ≤3，因此所求概率为
3－－34－－4＝3
4
，故选D. [答案] D
3．在区间⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2上随机取一个数x ，则sin x ＋cos x ∈[1，2]的概率是( ) A.12 B.34 C.38
D.58
[解析] 因为x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－π6，π2，因此x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，3π4，
由sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，得22≤sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，
因此x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，故要求的概率为π2－0π2－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－π6＝34
.
[答案] B
4．(2020·石家庄模拟)已知O 、A 、B 三地在同一水平面内，A 地在O 地正东方向2 km 处，B 地在O 地正北方向2 km 处，某测绘队员在A 、B 之间的直线公路上任选一点C 作为测绘点，用测绘仪进行测绘．O 地为一磁场，距离其不超过 3 km 的范畴内会对测绘仪等电子仪器形成干扰，使测量结果不准确．则该测绘队员能够得到准确数据的概率是( )
A.12
B.22
C ．1－
32
D ．1－
22
[解析] 由题意知在等腰直角三角形OAB 中，以O 为圆心，3为半径的圆截AB 所得的线段长为2，而|AB |＝22，故该测绘队员能够得到准确数据的概率是1－222
＝1－2
2.
[答案] D
5．(2020·山西四校联考)在面积为S 的△ABC 内部任取一点P ，则△PBC 的面积大于S
4的概率为( )
A.14
B.34
C.49
D.916
[解析] 设AB ，AC 上分别有点D ，E 满足AD ＝34AB 且AE ＝3
4AC ，
则△ADE ∽△ABC ，DE ∥BC 且DE ＝3
4
BC .
∵点A 到DE 的距离等于点A 到BC 的距离的3
4，
∴DE 到BC 的距离等于△ABC 高的1
4
.
当动点P 在△ADE 内时，P 到BC 的距离大于DE 到BC 的距离，
∴当P 在△ADE 内部运动时，△PBC 的面积大于S
4，
∴所求概率为S
△ADE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝9
16
. [答案
] D
6．(2020·佛山二模)已知函数f (x )＝x 2
＋bx ＋c ，其中0≤b ≤4,0≤c ≤4.记函数f (x )
满足条件⎩
⎪⎨
⎪⎧
f
2≤12，f －2≤4
为事件A ，则事件A 发生的概率为( )
A.14
B.58
C.12
D.38
[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧
4＋2b ＋c ≤12，4－2b ＋c ≤4，
0≤b ≤4，
0≤c ≤4，
即⎩⎪⎨⎪⎧
2b ＋c －8≤0，
2b －c ≥0，0≤b ≤4，0≤c ≤4
表示的区域如图阴影部分所示，可知阴影部分的面积为8，
因此所求概率为1
2
，故选C.
[答案] C
7．如图，正四棱锥S ­ABCD 的顶点都在球面上，球心O 在平面ABCD 上，在球O 内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为______．
[解析] 设球的半径为R ，则所求的概率为P
＝V 锥V 球＝13×1
2×2R ×2R ·R 43πR 3＝1
2π
.
[答案]
12π
8．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为______．
[解析] 当点P 在BC 上时，AP 与BC 有公共点，现在AP 扫过△ABC ，因此P ＝∠BAC ∠BAD ＝
30°
90°＝13
. [答案] 1
3
9．在体积为V 的三棱锥S ­ABC 的棱AB 上任取一点P ，则三棱锥S ­APC 的体积大于V
3的
概率是______．
[解析] 由题意可知
V S ­APC V S ­ABC >1
3
，三棱锥S ­ABC 的高与三棱锥S ­APC 的高相同．作PM ⊥AC 于M ，BN ⊥AC 于N ，则PM ，BN 分别为△APC 与△ABC 的高，因此V S ­APC V S ­ABC ＝S △APC S △ABC ＝PM BN >13，又PM BN ＝AP AB ，因此AP AB >1
3
，故所求的概率为2
3
(即为长度之比)．
[答案] 2
3
10．已知正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体内随机取点M . (1)求四棱锥M ­ABCD 的体积小于1
6的概率；
(2)求M 落在三棱柱ABC ­A 1B 1C 1内的概率．
[解] (1)正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，设M ­ABCD 的高为h ，令13×S 四边形ABCD ×h ＝1
6，
∵S 四边形ABCD ＝1，∴h ＝1
2
.
若体积小于16，则h <1
2，即点M 在正方体的下半部分，
∴P ＝1
2V 正方体V 正方体＝12
.
(2)∵V 三棱柱＝12×12
×1＝12，
∴所求概率P 1＝V 三棱柱V 正方体＝1
2
.
[B 能力提升练]
1．(2020·重庆适应性测试)在区间[1,4]上任取两个实数，则所取两个实数之和大于3的概率为( )
A.1
18 B.932 C.2332
D.1718
[解析] 依题意，记从区间[1,4]上取出的两个实数为x ，y ，不等式组⎩
⎪⎨
⎪⎧
1≤x ≤4，
1≤y ≤4表
示的平面区域的面积为(4－1)2
＝9，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
1≤x ≤4，1≤y ≤4，
x ＋y >3表示的平面区域的面积为(4
－1)2－12×12
＝172，因此所求的概率为17
29＝1718
，选D.
[答案] D
2．(2020·昆明三中、玉溪一中统考)已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2 PA →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是( )
A.14
B.13
C.23
D.12
[解析] 以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB →＋PC →＝PD →，因为PB →＋PC →＋2 PA →
＝0， 因此PB →＋PC →＝－2 PA →，得PD →＝－2PA →，
由此可得，P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，点P 到BC 的距离等于A 到BC 距离的1
2，
因此S △PBC ＝12S △ABC ，因此将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为S △PBC S △ABC ＝1
2，
故选D.
[答案] D
3．如图所示，图2中实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4
，则此长方体的体积是______．
[解析] 设长方体的高为h ，由几何概型的概率运算公式可知，质点落在长方体的平面展开图内的概率P ＝2＋4h 2h ＋22h ＋1＝14，解得h ＝3或h ＝－1
2
(舍去)，故长方体的体积
为1×1×3＝3.
[答案] 3
4．在区间[1,5]和[2,4]上分别各取一个数，记为m 和n ，则方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在
x 轴上的椭圆的概率是__________．
[解析] ∵方程x 2m 2＋y 2
n 2＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，∴m >n .如图，由题意知，在矩形
ABCD 内任取一点Q (m ，n )，点Q 落在阴影部分的概率即为所求的概率，易知直线m ＝n 恰好
将矩形平分，∴所求的概率为P ＝1
2
.
[答案] 1
2
5．甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头，它们在一昼夜内到达该码头的时
刻是等可能的．假如甲船停泊时刻为1 h ，乙船停泊时刻为2 h ，求它们中的任意一艘都不需要等待码头空出的概率．
[解] 设甲、乙两艘船到达码头的时刻分别为x 与y ，记事件A 为“两船都不需要等待码头空出”，则0≤x ≤24,0≤y ≤24，要使两船都不需要等待码头空出，当且仅当甲比乙早到达1 h 以上或乙比甲早到达2 h 以上，即y －x ≥1或x －y ≥2.故所求事件构成集合A ＝{(x ，
y )|y －x ≥1或x －y ≥2，x ∈[0,24]，y ∈[0,24]}．
A 为图中阴影部分，全部结果构成集合Ω为边长是24的正方形及其内部．
所求概率为P (A )＝
A 的面积
Ω的面积
＝
24－1
2
×1
2＋24－22
×
1224
2＝506.5576＝1 0131 152
. [C 尖子生专练]
已知关于x 的二次函数f (x )＝b 2x 2
－(a ＋1)x ＋1.
(1)若a ，b 分别表示将一质地平均的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次显现的点数，求y ＝f (x )恰有一个零点的概率．
(2)若a ，b ∈[1,6]，求满足y ＝f (x )有零点的概率．
[解] (1)设(a ，b )表示一个差不多事件，则抛掷两次骰子的所有差不多事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个．
用A 表示事件“y ＝f (x )恰有一个零点”， 即Δ＝|－(a ＋1)|2
－4b 2
＝0， 则a ＋1＝2b .
则A 包含的差不多事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个， 因此P (A )＝336＝112
.
即事件“y ＝f (x )恰有一个零点”的概率为1
12.
(2)用B 表示事件“y ＝f (x )有零点”，即a ＋1≥2b .
试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6}，构成事件B 的区域为{(a ，
b )|1≤a ≤6,1≤b ≤6，a －2b ＋1≥0}，如图所示：
因此所求的概率为P (B )＝12×5×525×5＝1
4.
即事件“y ＝f (x )有零点”的概率为1
4
.。