八年级数学上册 第一章 勾股定理 2 一定是直角三角形吗典型例题素材 北师大版(2021学年)

八年级数学上册第一章勾股定理２一定是直角三角形吗典型例题素材(新版）北师大版
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《一定是直角三角形吗》典型例题
例１ 在ABC ∆中,n n a 222+=,12+=n b ，)0(1222>++=n n n c 为三边,试判断该三角形是否为直角三角形?
例2 如果一个三角形的三边长分别为
)(,2,2222n m n m c mn b n m a >+==-=，则这三角形是直角三角形
例３ 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边,且满足
c b a c b a 262410338222++=+++。

求证:这个三角形是直角三角形。

例4 已知ABC ∆的三边为c b a 、、，且9,40,41===c b a ，试判定ABC ∆的形状.
例5 如图所示,在四边形ABCD 中,C ∠是直角，
12,3,4,13====AD CD BC AB ,求证:.BD AD ⊥
例6 如图所示,E 为正方形A ＢＣD 的边AD 的中点,F 在ＤC 上,DC DF 4
1=
.试问:BEF ∆是直角三角形吗?说明理由.
参考答案
例1解答:∵)22()122(22n n n n a c +-++=-01>=,
)12()122(2+-++=-n n n b c 022>=n ,
∴c 边为三角形的最大边,
又∵1884)122(234222+++=++=n n n n n c ，
22222)12()22(+++=+n n n b a 1884234+++=n n n ,
∴222c b a =+
根据勾股定理的逆定理可知，ABC ∆为直角三角形。

说明:三角形的三边分别为a ，b ，c ,其中c 为最大边。

(1)若222c b a =+,则三角形是直角三角形;
(2)若222c b a >+,则三角形是锐角三角形；
(3）若222c b a <+，则三角形是钝角三角形；
例2分析: 验证c b a ,,三边是否符合勾股定量的逆定理
证明:∵()()
()222422422222222n m n n m m mn n m b a +=++=+-=+
∴222c b a =+
∵∠C＝090
说明：勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,与前面学习的方法不同，它需要通过代数运算算出来.
例3分析：要证明ABC ∆是直角三角形,应从它的三边a 、b 、c 入手，
如果有关系222c b a =+或222a c b =+或222b a c =+成立,那么这个三角形一定是直角三角形。

从已知条件,可以求出a 、b 、c 的长．
解答:由已知得:0338262410222=+---++c b a c b a 。

∴ 016926144242510222=+-++-++-c c b b a a
即 0)13()12()5(222≥-+-+-c b a
∵0)13(,0)12(,0)5(222≥-≥-≥-c b a
∴ 013,012,05=-=-=-c b a ，即13,12,5===c b a
∵22213125=+，即有222c b a =+，∴ABC ∆是直角三角形.
说明:直角三角形适用于勾股定理，而利用逆定理是判断一个三角形是直角三角形的方法,当由边之间的关系判断三角形的形状时，我们用勾股定理先行考证，没有条件时，创造条件，从而求出边长或边长之间的关系,进而判断.
例４分析 为判定三角形的形状，可利用直角三角形的判别条件,判断三角形的最大边的平方是否等于另外两边的平方和．
解 16819402222=+=+c b ，而16814122==a ，
∴222c b a +=，∴ABC ∆是直角三角形,并且A ∠是直角.
说明：利用直角三角形的判别条件不仅能够判断出三角形的形状,而且还能够知道三角形的哪个角是直角．
例5分析 可将直线的互相垂直问题转化成直角三角形的判定.
解 ∵在ＲｔBCD ∆中，3,4==CD BC ,
∴由勾股定理,22234+=BD ，即5=BD ，
在ABD ∆中，222,13,12,5BD AD AB AB AD BD +====,
∴由直角三角形的判别条件,ABD ∆是直角三角形，且ADB ∆是直角，∴BD AD ⊥．
例6解 BEF ∆是直角三角形．
设a DF =，由题意知，.4,3,2a BC AB a CF a AE DE =====
在直角三角形BCF 中,由勾股定理，得
.25)3()4(222222a a a CF BC BF =+=+=
∴2
2EF
2
=．
BE
BF+
∴BEF
∆是直角三角形．
说明: 根据题意设a
DF=，运算起来就比较方便，如设正方形的边长为a运算起来就比较麻烦,这体现了解题的灵活性.
本题属于结论探究开放题,这类型题只给出了条件,由同学自己探求结论，并加以说明．
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