广东省中山市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题含解析

广东省中山市2019-2020学年数学高二下期末学业质量监测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为（ ）
A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭
2．设等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若4610a a +=，则9S = A ．20
B ．35
C ．45
D ．90
3．已知命题p 是命题“若ac bc >，则a b >”的否命题；命题q ：若复数22(1)(2)x x x i -++-是实数，则实数1x =，则下列命题中为真命题的是（ ） A ．p q ∨
B ．()p q ⌝∧
C ．()p q ∧⌝
D ．()()p q ⌝∧⌝
4．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ） A ．
15
B ．
14
C ．
13
D ．
12
5．若函数()()sin 2f x x b ϕ=++，对任意实数x 都有()2,133
f x f x f ππ
⎛⎫
⎛⎫
+=-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，则实数b 的值为（ ） A ．2-和0
B ．0 和1
C ．1±
D ．2±
6．一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可以是0~9中的任意一个.某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，任意按最后一位数字，则不超过3次就按对的概率为（ ） A ．0.4
B ．0.3
C ．0.2
D ．0.1
7．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
8．组合数()1,,r
n C n r n r N >≥∈恒等于（ ） A ．
1
11
1r n r C n --++ B ．
1
111
r n n C r --++ C ．
11r n r C n
-- D ．
11r n n C r
-- 9．已知函数()ln 2sin f x x a x =-在区间[
,]64
ππ
上是单调递增函数，则a 的取值范围为（ ）
A ．(-∞
B ．(-∞
C ．(-∞
D ．)+∞
10．给定下列两个命题：
①“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件；
②“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得000x
e x +≤”，
其中说法正确的是（） A ．①真②假
B ．①假②真
C ．①和②都为假
D ．①和②都为真
11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别是111,AC A B 的中点．点P 在该正方体的表面上运动，则总能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹的周长等于（） A ．51+
B ．52+
C ．251+
D ．252+
12．已知函数()f x 在0x >上可导且满足()()0xf x f x '->，则下列一定成立的为
A ．
()
()
f f e e ππ>
B ．()()f f e π<
C ．()()
f f e e
ππ< D ．()()f f e π>
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．已知点M 在圆2
2
(6)(4)1x y -+-=上，点P 在椭圆22
12516
x y +=上，(3,0)F -，则PM PF -的最
小值为__________．
14．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为__________．
15．已知函数()2
ln 2f x mx x x =+-在定义域内存在单调递减区间，则实数m 的取值范围是______
16．出租车司机从南昌二中新校区到老校区(苏圃路)途中有8个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯是相互独立的，并且概率都是1.3
则这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望为____ .（用分数表示） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．在12件产品中，有10件正品，2件次品，从这12件产品中任意抽取3件. （1）共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件次品的抽法有多少种？ （3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？
18． “节约用水”自古以来就是中华民族的优良传统．某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况，绘制了月用水量的频率分布直方图，如下图所示．将月用水量落入各组的频率视为概率，并假设每天的用水量相互独立．
（l ）求在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；
（2）用X 表示在未来3个月里月用水量不低于12吨的月数，求随杌变量X 的分布列及数学期望()E X ． 19．（6分）唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学徒刻苦，都能通过“罗”这道工序； 若这三道工序之间通过与否没有影响，
（Ⅰ） 求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率，
（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X 的分布列.
20．（6分） 已知函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|. (1)当a ＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若f(x)≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围． 21．（6分）平面四边形ABCD 中，,2
DAB AD AB π
∠=
=,BCD ∆为等边三角形，现将ABD ∆沿BD 翻
折得到四面体P BCD -，点,,,E F G H 分别为,,,PB PD CD CB 的中点.
（Ⅰ）求证：四边形EFGH 为矩形；
（Ⅱ）当平面PBD ⊥平面CBD 时，求直线BG 与平面PBC 所成角的正弦值.
22．（8分）某大型高端制造公司为响应《中国制造2025》中提出的坚持“创新驱动、质量为先、绿色发展、结构优化、人才为本”的基本方针,准备加大产品研发投资,下表是该公司2017年5~12月份研发费用(百万元)和产品销量(万台)的具体数据： 月份
5
6 7 8 9 10 11 12 研发费用x （百万元） 2 3 6 10 21 13 15 18 产品销量与（万台）
1
1
2
2.5
6
3.5
3.5
4.5
（1)根据数据可知y 与x 之间存在线性相关关系 (ⅰ)求出y 关于x 的线性回归方程(系数精确到0.001);
(ⅱ)若2018年6月份研发投人为25百万元，根据所求的线性回归方程估计当月产品的销量；
（2）为庆祝该公司9月份成立30周年,特制定以下奖励制度:以z(单位:万台)表示日销量,[)0.18,0.2z ∈,则每位员工每日奖励200元；[)0.2,0.21z ∈,则每位员工每日奖励300元；[)0.21,z ∈+∞,则每位员工每
日奖励400元现已知该公司9月份日销量z （万台）服从正态分布()0.2,0.0001N ,请你计算每位员工当月(按30天计算)获得奖励金额总数大约多少元. 参考数据:
8
1
347i i
i x y
==∑，8
21
1308i i x ==∑.
参考公式:对于一组数据()()()1122,,,,,n n x y x y x y ,其回归直线ˆˆˆy
bx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为: 1
2
2
1
ˆn
i i
i n
i
i x y nxy
b
x
nx
==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-.若随机变量X 服从正态分布(
)2
,N μσ,则
()0.6826P X μσμσ-<≤+=，()220.9544P X μσμσ-<≤+=.
参考答案
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】
先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪
⎝⎭
⎨
⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩
,利用零点存在定理可得结果.
【详解】
因为函数()43x
f x e x =+-在R 上连续单调递增，
且11
44
11
22114320
4411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭
⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫
⎪⎝⎭
内，故选C. 【点睛】
本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续.
2．C 【解析】 【分析】
利用等差数列的前n 项和的性质得到S 9=()()194699
22
a a a a +=+，直接求解． 【详解】
∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4+a 6=10， ∴S 9=
()()194699
45.22
a a a a +=+= 故选：C ． 【点睛】
这个题目考查的是数列求和的常用方法；数列通项的求法中有:直接根据等差等比数列公式求和；已知n S 和
n a 的关系，求n a 表达式，一般是写出1n S -做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；
数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。

3．D 【解析】
分析：先判断命题p ，q 的真假，再判断选项的真假. 详解：由题得命题p:若a>b,则ac bc >，是假命题.
因为(
)(
)
2
2
12x x x i -++-是实数，所以2
20,2 1.x x x x +-=∴=-=或
所以命题q 是假命题，
故()()p q ⌝∧⌝是真命题.故答案为 D.
点睛：（1）本题主要考查四个命题和复数的基本概念，考查复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复合命题的真假判断口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真. 4．D 【解析】
分析：这是一个条件概率，可用古典概型概率公式计算，即从5个球中取三个排列，总体事件是第二次是黑球，可在第二次是黑球的条件下抽排第一次和第三次球.
详解：111
22312
241
2
C C C P C A ==. 点睛：此题是一个条件概率，条件是第二次抽取的是黑球，不能误以为是求第二次抽到黑球，第三次抽到
白球的概率，如果那样求得错误结论为11
323
533
10
C C A ⨯=. 5．A
【解析】 由()3f x f x π⎛⎫
+
=- ⎪⎝
⎭得函数一条对称轴为π6x = ,因此ππ
sin()1π()36
k k ϕϕ+=±⇒=+∈Z ,由213
f π
⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
得4ππsin(π)1112036k b b b +++=-⇒=-±⇒=-或 ,选A.
点睛：求函数解析式sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>方法：
(1)max min max min ,22
y y y y A B -+=
=. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω
= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ. （4）由 π
π()2
x k k ωϕ+=+∈Z 求对称轴 6．B 【解析】 【分析】
利用互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式直接求解，即可求得答案. 【详解】
设第i 次按对密码为事件()1,2,3i A i = 第一次按对()1110
P A =
第一次按错，第二次按对()
1291110910
P A A =
⨯= 第一次按错，第二次按错，第三次按对()
1239811
109810
P A A A =⨯⨯= 事件1A ，事件12
A A ，事件123A A A 是互斥， 任意按最后一位数字，则不超过3次就按对的概率()P A 由概率的加法公式得：()()()()
1121233
0.310
P A P A P A A P A A A =++== 故选：C ． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 7．D 【解析】
分析：分别求出事件“2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务”的总可能及事件“选中的2人都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率.
详解：设2名男同学为12,A A ，3名女同学为123,,B B B ，
从以上5名同学中任选2人总共有12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B 共10种可能，
选中的2人都是女同学的情况共有121323,,B B B B B B 共三种可能 则选中的2人都是女同学的概率为3
0.310
P ==， 故选D.
点睛：应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式
()m
P A n
=
求出事件A 的概率. 8．D 【解析】 【分析】
根据组合数的公式得到r n C 和1
1r n C --，再比较选项得到答案. 【详解】
()()
()111321
r n n n n r C r r ⋅-⋅⋅⋅-+=
⋅-⋅⋅⋅⋅⋅．
()()()
()()
1112......112......321r n n n n r C r r -----+=
--⋅⋅，
可知11r
r n n n C C r
--=
⋅ 故选：D ． 【点睛】
本题考查组合数的计算公式，意在考查基本公式，属于基础题型. 9．A 【解析】
分析：由函数在区间,64ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上是单调递增函数，得'()0f x ≥，进而分离参数得12cos a x x ≤；构造函数1()2cos h x x x =
，研究函数的值域特征，进而得到1()2cos h x x x
=的单调性，最后求得a 的取值范围。

详解：1
'()2cos f x a x x =-
因为(f x ）
在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上是单调递增函数
所以1'()2cos 0f x a x x =
-≥，而在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上cos 0x > 所以1
2cos a x x ≤ ，即min
12cos a x x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
令1()2cos h x x x
= ，则()222
2sin 2cos sin cos '()2cos 2cos x x x x x x h x x x x x --== 分子分母同时除以sin x ，得
22221
sin cos tan '()2cos 2cos sin x x x x x h x x x x x x
-
-== 令1()tan g x x x =-
，则1()tan g x x x ⎛
⎫=+- ⎪⎝⎭
在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数 所以max 1()()10444
tan 4
g x g πππ
π==-=-< 所以()0<g x 在区间,64ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上恒成立 即221
tan '()02cos sin x x h x x x x
-
=<在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上恒成立 所以函数1()2cos h x x x =
在区间,64ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上为单调递减函数
所以min min
1()()2cos 4a h x h x x ππ⎛
⎫≤=== ⎪
⎝⎭ 所以选A
点睛：本题考查了函数与导函数的综合应用，分离参数、构造函数法在解决单调性、最值问题中的应用，综合性强，对分析问题、解决问题的能力要求较高，属于难题。

10．D 【解析】 【分析】
由充分条件和必要条件的定义对①进行判断，由全称命题的否定是特称命题对②进行判断，从而得到答案。

【详解】
对①，“p q ∧”为真，则命题p ，q 都真，“p q ∨”为真，则命题p ，q 至少一个为真，所以“p q ∧”为真是“p q ∨”为真的充分不必要条件，①为真命题；
对②，全称命题的否定是特称命题，所以“x R ∀∈，都有0x e x +>”的否定是“0x R ∃∈，使得
000x e x +≤”， ②为真命题；
故答案选D 【点睛】
本题考查命题真假的判定，属于基础题。

11．B 【解析】
分析：根据题意先画出图形，找出满足题意的点P 所构成的轨迹，然后再根据长度计算周长 详解：如图：
取1BB 的中点E ，1CC 的中点F ，连接AE ，EF ，FD ，则BN ⊥平面AEFD 设M 在平面1AB 中的射影为O ，过MO 与平面AEFD 平行的平面为α
∴能使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹为矩形，其周长与矩形AEFD 的周长相等
正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1
∴矩形AEFD 52
故选B
点睛：本题主要考查了立体几何中的轨迹问题。

考查了学生的分析解决问题的能力，解题的关键是运用线面垂直的性质来确定使MP 与BN 垂直的点P 所构成的轨迹，继而求出结果。

12．A 【解析】 易知()()2()()()
(
),'0f x xf x f x xf x f x x x '=-'-<在(0,)+∞上恒成立， ()f x y x ∴=在(0,)+∞上单调递减，又()(),f f e e e
πππ<∴
<. 本题选择C 选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．6- 【解析】
分析：根据题意，
详解：
根据题意，当,,P C F '三点共线时
PM PF -.()1211115116PM PF PC a PF PF PF CF -==---=+-≥-=-''=-'
点睛：本题考查椭圆的定义，看出最小值IDE 求法，属难题. 14．1 【解析】
利用抛物线的定义可知，设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，x 1＋x 2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x 1＋x 2＋2，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤1，当AB 过焦点F 时取最大值为1． 15．1,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
根据题意可知()0f x <′在()0+∞，内能成立，利用参变量分离法，转化为2
111
122m x ⎛⎫<--+ ⎪⎝⎭在
()0+∞，上能成立，令()2
111
122
h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，则将问题转化为()max m h x <，从而得到实数m 的取值
范围． 【详解】
∵函数()2
ln 2f x mx x x =+-，
∴()1
220f x mx x
'=+
-<在()0+∞，
上能成立， ∴2
2111111222
m x x x ⎛⎫<-=--+ ⎪⎝⎭，
令()2
111
122h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，即为()max m h x <，
∵()2111
122
h x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭的最大值为12，∴12m <，
∴实数a的取值范围为
1
,
2
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
，故选答案为
1
,
2
⎛⎫
-∞
⎪
⎝⎭
．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．利用导数研究函数存在减区间，经常会运用分离变量，转化为求最值．属于中档题．
16．8 3
【解析】【分析】
遇到红灯相互独立且概率相同可知
1
8,
3
B
ξ⎛⎫
⎪
⎝⎭
，根据二项分布数学期望求解公式求得结果.
【详解】
由题意可知，司机在途中遇到红灯数ξ服从于二项分布，即
1
8,
3
B
ξ⎛⎫
⎪
⎝⎭
∴期望()18
8
33
Eξ=⨯=
本题正确结果：8 3
【点睛】
本题考查服从于二项分布的随机变量的数学期望的求解，考查对于二项分布数学期望计算公式的掌握，属于基础题.
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．（1）220；（2）90；（3）100.
【解析】
【分析】
（1）从这12件产品中任意抽出3件，是组合问题，利用组合数的定义可得出结果；
（2）抽出的3件中恰好有1件次品是指2件正品，1件次品，利用组合计数原理和分步计数原理可得出结果；
（3）在12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去3件产品全是正品的抽法种数，用间接法求解．
【详解】
（1）从这12件产品中任意抽出3件，共有312220
C=种不同的抽法；
（2）抽出的3件中恰好有1件次品的抽法，是指2件正品，1件次品，有21
10290
C C=种不同的抽法；（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数，可以在12件产品中任意抽出3件的抽法种数减去3件产品全是正品的抽法种数，
因此，共有33
1210220120100
C C
-=-=种不同的抽法.
【点睛】
本题考查组合知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 18．（1）0.027；（2）见解析 【解析】
分析：（1）利用相互独立事件乘法概率公式和互斥事件加法公式能求出在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨的概率；
（2）由题意得X 的可能取值为0，1，2，3，且X ～（3，0.3），由此能求出随机变量X 的分布列数学期望E （X ）．
详解：（1）设1A 表示事件“月用水量不低于12吨”，2A 表示事件“月用水量低于4吨”，B 表示事件“在未来连续3个月里，有连续2个月的月用水量都不低于12吨且另1个月的月用水量低于4吨”. 因此，()()10.050.02540.3P A =+⨯=，()20.037540.15P A =⨯=. 因为每天的用水量相互独立，
所以()0.30.30.1520.027P B =⨯⨯⨯=. （2）X 可能取的值为0,1,2,3， 相应的概率分别为
()()3
03010.30.343P X C ==⋅-=, ()()2
1310.310.30.441P X C ==⋅-=,
()()22320.310.30.189P X C ==⋅-=, ()33330.30.027P X C ==⋅=.
故X 的分布列为
故X 的数学期望为()00.34310.441E X =⨯+⨯+ 20.18930.0270.9⨯+⨯=. 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X ～B(n ，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得. 19．（Ⅰ）0.35；（Ⅱ）详见解析. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）甲、乙、丙中恰好有一人通过,可分为：甲过，乙、丙不过；乙过，甲、丙不过；丙过，乙、甲不过。

（Ⅱ）先求出甲、乙、丙制成饼茶的概率0.4P =甲，0.3P =乙，0.2P =丙.随机变量X 的可能取值为0，
1，2，3，分别求出其概率，写出分布列即可。

【详解】
解：（I ）设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过“炙”这道工序”，则所求概率
()()()
P P ABC P ABC P ABC =++
()()()0.510.610.510.5=⨯-⨯-+-()0.610.5⨯⨯- ()()10.510.60.5+-⨯-⨯ 0.35=
（II ）甲制成饼茶的概率为0.50.80.4P =⨯=甲，同理0.60.50.3P =⨯=乙，0.50.40.2P =⨯=丙. 随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，
()()()010.410.3P X ==-⨯-⨯()10.20.336-=
()()()10.410.310.2P X ==⨯-⨯-+()()10.410.30.2-⨯-⨯()()10.40.310.20.452+-⨯⨯-= ()()20.40.310.20.4P X ==⨯⨯-+⨯()()10.30.210.4-⨯+-⨯0.30.20.188⨯= ()30.40.30.20.024P X ==⨯⨯=
故X 的分布列为
【点睛】
本题主要考查简单随机变量的分布列，属于基础题。

20． (1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0]. 【解析】
试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x 在[1，2]上恒成立，由此求得求a 的取值范围
试题解析：（1）当a ＝－3时，f （x ）＝25,2
{1,2325,3
x x x x x -+≤<<-≥
当x≤2时，由f （x ）≥3得－2x ＋5≥3，解得x≤1； 当2＜x ＜3时，f （x ）≥3无解；
当x≥3时，由f （x ）≥3得2x －5≥3，解得x≥4.
所以f （x ）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 （2）f （x ）≤|x －4|
|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|.
当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a|（4－x ）－（2－x ）≥|x ＋a|
－2－a≤x≤2－a ，
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0， 故满足条件的实数a 的取值范围为[－3，0]． 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 21．（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）7
sin 7
θ= 【解析】
【试题分析】（1）先运用三角形中位线定理证得四边形EFGH 为平行四边形，再借助等边三角形的性质及线面垂直的判定定理证明BD PC ⊥，进而证明EF EH ⊥，从而证明四边形EFGH 为矩形；（2）先依据题设条件及面面垂直的性质定理证明PO ⊥平面BCD ，再建立空间直角坐标系，运用空间向量的数量积公式求出平面PBC 的一个法向量(
3,1,3n =.进而求出直线BG 与平面PBC 所成角θ的正弦
值：
解：（Ⅰ）∵点,,,E F G H 分别为,,,PB PD CD CB 的中点， ∴1
2
EF BD GH =
=且////EF BD GH ， ∴四边形EFGH 为平行四边形. 取BD 的中点O ，连结,PO CO .
∵PBD ∆为等腰直角三角形，BCD ∆为正三角形， ∴,,PO BD CO BD PO CO O ⊥⊥⋂=, ∴BD ⊥平面POC .
又∵PC ⊂平面POC ，∴BD PC ⊥， 由//EH PC 且//EF BD 可得EF EH ⊥，
∴四边形EFGH 为矩形
.
（Ⅱ）由PBD CBD PBD CBD BD
PO PO BD PO PBD ⊥⎧⎪
⋂=⎪⇒⊥⎨
⊥⎪
⎪⊂⎩
平面平面平面平面平面平面BCD 分别以,,OB OC OP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 依题意，设4BD =，则()()()()()()
0,0,0,2,0,0,2,0,0,3,0,0,0,2,3,0O B D C P G --， ∴()()()
2,0,2,2,23,0,3,3,0PB BC BG =-=-=-.
设(),,n x y z =为平面PBC 的一个法向量，则有220
2230
n PB x z n BC x ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩
令1y =，则(
3,1,3n =
.
∴直线BG 与平面PBC 所成角θ的正弦值
3337sin cos ,237
BG n BG n BG n
θ⋅-+==
=
=⨯. 点睛：解答本题的第一问时，先运用三角形中位线定理证得四边形EFGH 为平行四边形，再借助等边三角形的性质及线面垂直的判定定理证明BD PC ⊥，进而证明EF EH ⊥，从而证明四边形EFGH 为矩形；解答地二问时先依据题设条件平面PBD ⊥平面CBD 及面面垂直的性质定理证明PO ⊥平面BCD ，再建立空间直角坐标系求解．
22． (1)(i)0.2440.315y x =+;(ii)6.415万台；(2)7839.3元. 【解析】
分析：（1）（i)根据平均数公式可求出x 与y 的值，从而可得样本中心点的坐标，从而求可得公式
1
2
12n
i n i xiyi nxy
b x nx i
∧
==-==
-∑∑
中所需数据，求出0.244b ∧
=，再结合样本中心点的性质可得,0.315a ∧=，进而可得y 关于x 的回归方程；（ii ）将25x =代入所求回归方程，即可的结果；（2）由题知9月份日销量z （万台)
服从正态分布()0.2,0.0001N ，则2
0.2,0.0001,0.01μσσ===，根据正态曲线的对称性求出各区间上
的概率，进而可得结果.
详解：（1）（i)因为11.3x y ==
所以
1
2
1347811383
0.244
213088121340n
i n i xiyi nxy b x nx i
∧
==--⨯⨯=
==≈-⨯-∑
∑
83
3110.315340
a y
b x ∧
∧
=-=-
⨯≈， 所以y 关于x 的线性回归方程为0.2440.135y x =+
（ii ）当25x =时，0.244250.135 6.415y =⨯+=（万台）
（注：若30.244110.316,0.2440.316a y x =-⨯==+，当25x =时，0.244250.136 6.416y =⨯+=（万台）第（1）小问共得5分，即扣1分）
（2）由题知9月份日销量z （万台)服从正态分布()0.2,0.0001N . 则2
0.2,0.0001,0.01μσσ===.
日销量[
)0.18,0.2z ∈的概率为
0.9544
0.47722=. 日销量[)0.2,0.21z ∈的概率为
0.6826
0.34132
=. 日销量[)0.21,z ∈+∞的概率为
10.6826
0.15872
-=. 所以每位员工当月的奖励金额总数为()2000.47723000.3134000.1587307839.3⨯+⨯+⨯⨯=元 点睛：求回归直线方程的步骤：①依据样本数确定两个变量具有线性相关关系；②计算2
1
1
,,
,n n
i
i
i
i i x y x x y
==∑∑的值；③计算回归系数,a b ；④写出回归直线方程为ˆy bx a =+； 回归直线过样本点中心()
,x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.。