《二次函数压轴专题 》2022年中考专练附答案(广东专用)

∴该抛物线的函数关系式为：y=﹣x2+4x﹣3；
〔2〕设过A、C两点的直线解析式为：y=kx+b,
∵A〔3, 0〕, C〔0,﹣3〕,
P点的坐标为：P1〔1, 0〕, P2〔2, 1〕；
〔3〕设直线AC的解析式为y=kx+b,由题意得 ,解得： ．
∴直线AC的解析式为y=x﹣3．
设P〔x,﹣x2+4x﹣3〕那么D〔x, x﹣3〕,
解得m1= , m2=1〔舍去〕．那么N〔 〕．
②假设MC=MN,那么〔m﹣1〕2+[4﹣〔6﹣2m〕]2=12+12．解得m=1± ．
∵1＜m＜3,∴m=1﹣ 舍去．∴N〔1+ 〕．
③假设NC=NM,那么m2+[3﹣〔6﹣2m〕]2=〔m﹣1〕2+[4﹣〔6﹣2m〕]2．
解得m=2．那么N〔2,﹣2〕．
专题07二次函数压轴专题
1．如图,对称轴为直线 的抛物线经过点A〔6, 0〕和B〔0, 4〕．
〔1〕求抛物线解析式及顶点D的坐标；
〔2〕设点E〔x, y〕是抛物线上位于第四象限内一动点,将△OAE绕OA的中点旋转180°,点E落到点F的位置．求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
∵直线l∥AB且过点C〔3, 0〕,∴直线l的函数关系式为y=2x﹣6,
∵点P是l上一动点且横坐标为t,∴点P坐标为〔t, 2t﹣6〕
当P在x轴下方时〔t＜3〕, S=S△ABC+S△BCP= ×4×4+ ×4×|2t﹣6|=20﹣4t．
∵0＜S≤16,∴0＜20﹣4t≤16,∴1≤t＜5、又t＜3,∴1≤t＜3
,解得
∴抛物线的解析式：y= 〔x﹣ 〕2﹣ ,顶点D〔 ,﹣ 〕．
〔2〕依题意,知：△OAF≌△AOE,得：OE=AF、AE=OF；∴四边形OEAF是平行四边形．
∵点E〔x, y〕在抛物线的图象上,∴y= 〔x﹣ 〕2﹣ ；
又∵点E在第四象限,∴y＜0,解得：1＜x＜6；
S=2S△OAE=2• •OA•|yE|=6•〔﹣y〕=﹣4〔x﹣ 〕2+25,〔1＜x＜6〕．
当P在x轴上方时〔t＞3〕,
作PM⊥x轴于M,设对称轴与x轴交点为N．那么
S=S梯形ANMP+S△ANB+S△PMC
= [4+〔2t﹣6〕]•〔t﹣1〕+ 2×4﹣ 〔t﹣3〕〔2t﹣6〕=4
S=S△ABC+S△APC=S△ABC+S△BPC=S△ABC+S△PBC= ×4×4+ ×4×〔2t﹣6〕
7．如图,在矩形OABC中,点O为原点,点A的坐标为〔0, 8〕,点C的坐标为〔6, 0〕．抛物线y=﹣ x2+bx+c经过点A、C,与AB交于点D．
∵B〔6, 0〕∴BD=2,由抛物线的对称性得：AD=2∴A〔2, 0〕；
〔2〕设抛物线的解析式为y=a〔x﹣2〕〔x﹣6〕,得
4=a〔3﹣2〕〔3﹣6〕解得a=﹣ ,抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ x﹣16
〔3〕∵四边形PCQB为平行四边形∴PC∥QB, PC=QB∴P点的纵坐标为4
∴4=﹣ x2+ x﹣16,解得x=3〔不符合题意〕或5∴P〔5, 4〕
过F作FM⊥OA于M,交CB于G,那么FG⊥CD．
∠GCF=30°, GF= CF= OC= ．CG= ．∴F〔 , 〕
设过A、B、C三点抛物线解析式为y=ax2+bx+c．∴c=1
∴ 解之,得 ∴
〔2〕∵由 ,得x1= , x2= ．∴E〔 , 0〕
由 ,得x1=0, x2= ．∴D〔 , 1〕．…〔6分〕
①当DN∥EM且DN=EM时,当M在E点左侧时, M1〔 , 0〕,此时N1〔0, 1〕
当M在E点右侧时, OM2= ．∴M2〔 , 0〕,此时N2〔0, 1〕
②当ED∥MN且ED=MN时,过D作DH⊥OA于H, M3〔 , 0〕, N3〔0,﹣1〕
〔3〕假设以P、C、Q为顶点的三角形与△QOC相似,因∠POC=∠QCO=90°,那么有
CQ=OP或OC2=CQ•OP．
当P、Q在y轴同侧时：
由 ,得t= ．
由 ,得2t2﹣2t+1=0．
△=4﹣8=﹣4＜0,故无解．
当P、Q在y轴异侧时：
由 ,得t=3＞ ,不合题意,舍去
由 ,得2t2﹣2t﹣1=0. ＜0舍去,
∴t= 或
6．如图,抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕过点A〔3, 0〕, B〔1, 0〕,且与y轴交于点C〔0,﹣3〕,点P是抛物线AC间上一动点,从点C沿抛物线向点A运动〔点P与A、C不重合〕,过点P作PD∥y轴,交AC于点D．
5．如图,矩形OABC的长OA= ,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△AFC．
〔1〕求过A、F、C三点的抛物线解析式；
〔2〕设〔1〕中的抛物线与矩形OABC边CB相交于点D,与x轴相交于另外一点E,假设点M是x轴上的点, N是y轴上的点,假设以点E、M、D、N为顶点的四边形是平行四边形,试求点M、N的坐标；
〔1〕求该抛物线的函数关系式；
〔2〕当△ADP是直角三角形时,直接写出点P的坐标；
〔3〕求线段PD的最大值,并求最大值时P点的坐标；
〔4〕在问题〔3〕的结论下,假设点E在x轴上,点F在抛物线上,问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？假设存在,求点F的坐标；假设不存在,请说明理由．
6．解：〔1〕由题意得： ,解得： ．
〔3〕假设动点P以每秒 个单位长度的速度从C点出发沿CB向终点B运动,同时动点Q从A点出发以每秒 个单位长度的速度沿射线AO运动,当P运动到B点时, P, Q同时停止运动．当点P运动时间t〔秒〕为何值时,以P、C、O为顶点的三角形与以Q、O、C为顶点的三角形相似？
5．解：〔1〕∵OA= , OC=1,∴tan∠OAC= ．∴∠OAC=30°∠ACF=∠ACO=60°
综上,点P的坐标为〔﹣ , 0〕或〔 , 0〕或〔 , 0〕．
2．如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点的横坐标分别是﹣1, 3〔点A在点B左侧〕,与y轴交于点C,抛物线的顶点M在直线y=3x﹣7上．
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕P为线段BM上一点,过点P向x轴引垂线,垂足为Q．假设点P在线段BM上运动〔点P不与点B、M重合〕,设OQ的长为t,四边形PQAC的面积为S．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
〔3〕在线段BM上是否存在点N,使△NMC为等腰三角形？假设存在,请求出点N的坐标；假设不存在,请说明理由．
2．解：〔1〕由题意可知：抛物线的对称轴为x=1．
当x=1时, y=3x﹣7=﹣4,因此抛物线的顶点M的坐标为〔1,﹣4〕．
过A〔﹣1, 0〕, B〔3, 0〕
设抛物线的解析式为y=a〔x﹣1〕2﹣4,
当△BNM∽△BAC时
∴ ∴ ,解得t=
4．抛物线 〔k是实数〕与x轴有交点,将此抛物线向左平移1个单位,再向上平移4个单位,得到新的抛物线E,设抛物线E与x轴的交点为B, C,如图．
〔1〕求抛物线E所对应的函数关系式,并求出顶点A的坐标；
〔2〕连接AB,把AB所在的直线平移,使它经过点C,得到直线l,点P是l上一动点〔与点C不重合〕．设以点A, B, C, P为顶点的四边形面积为S,点P的横坐标为t,当0＜S≤16时,求t的取值范围；
〔4〕假设点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从A向B运动,同时,点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从B向C运动,当其中一个点停止运动时,另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒,当t为何值,以M、N、B为顶点的三角形与△ABC相似,写出计算过程．
3．解：〔1〕设对称轴x=4交x轴于点D∴D〔4, 0〕
①当四边形OEAF的面积为24时,请判断四边形OEAF的形状．
②是否存在点E,使四边形OEAF为正方形？假设存在,求出点E的坐标；假设不存在,请说明理由．
〔3〕假设点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上,请直接写出满足条件的所有点P的坐标．
1．解：〔1〕依题意,设抛物线的解析式为：y=a〔x﹣ 〕2+h,代入A〔6, 0〕、B〔0, 4〕后,得：
〔3〕点Q是直线l上的另一个动点,以点Q为圆心, R为半径作圆Q,当R取何值时,圆Q与直线AB相切？相交？相离？直接给出结果．
4．解：〔1〕抛物线y=﹣x2+2kx﹣ k2+2k﹣2〔k是实数〕与x轴有交点,
那么判别式△=〔2k〕2+4〔﹣ k2+2k﹣2〕=﹣〔k﹣2〕2≥0,那么k=2,
因而抛物线的解析式是：y=﹣x2+4x﹣4,
那么有：a〔3﹣1〕2﹣4=0, a=1．那么抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣3．
〔2〕根据〔1〕的抛物线可知：A〔﹣1, 0〕、B〔3, 0〕、C〔0,﹣3〕；
易知直线BM的解析式为y=2x﹣6；
∵当x=t时, y=2t﹣6；∴PQ=6﹣2t；
∴S四边形PQAC=S梯形QPCO+S△AOC= ×〔3+6﹣2t〕×t+ ×3,即S四边形PQAC=﹣t2+ t+ 〔1＜t＜3〕．
=4t﹣4
∵0＜S≤16,∴0＜4t﹣4≤16,∴1＜t≤5．
又∵t＞3,∴3＜t≤5．
∴t的取值范围是1≤t＜3或3＜t≤5；
〔3〕AB=2 ,过点C作CH⊥AB, H为垂足, S△ABC= ×4×4= ×AB×CH
所以CH= ,
因为平行线间距离处处相等,所以点Q到直线AB的距离等于 ,
所以当R= 时相切, R 时相交, R＜ 时相离．
〔3〕假设存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形．
∵点N在BM上,设N点坐标为〔m, 2m﹣6〕,那么CM2=12+12=2, CN2=m2+[﹣3﹣〔2m﹣6〕]2,或CN2=m2+[〔2m﹣6〕+3]2．
MN2=〔m﹣1〕2+[4﹣〔6﹣2m〕]2．△NMC为等腰三角形,有以下三种可能：
①假设CN=CM,那么m2+[〔6﹣2m〕﹣3]2=2,
①当S=24时,﹣4〔x﹣ 〕2+25=24,解得x1=3、x2=4；
1、当x=3时, E〔3,﹣4〕,此时OE=AE,四边形OEAF为菱形；
2、当x=4时, E〔4,﹣4〕,此时OE≠AE,且∠OEA≠90°,∴四边形OEAF只是平行四边形．
②假设四边形OEAF为正方形,那么OE=AE, OE⊥AE, O〔0, 0〕、A〔6, 0〕,那么E〔3,﹣3〕；
PD=﹣x2+4x﹣3﹣〔x﹣3〕=﹣ ,
∴PD的最大值为 , P〔 〕；
〔4〕当APXF是平行四边形时,那么：△APE≌△XFE,
∴这两个三角形的高相等,
∵P〔 〕,∴F的纵坐标为﹣ ,
∴F ．
当F点与P点关于抛物线的对称轴对称时, A、P、E、F为顶点的四边形是平行四边形．F〔 〕,
∴点F的坐标为： 或〔 〕．
但此时的点E不在抛物线的图象上,因此不存在符合条件的点E．
〔3〕设平行四边形的另一顶点为Q,分两种情况讨论：
①当PA为平行四边形的对角线时,另一条对角线DQ的中点为〔 , 0〕,而P、A关于〔 , 0〕对称,那么点P〔﹣ , 0〕；
②当PA为平行四边形的边时, DQ∥PA,且PA=QD= , A〔6, 0〕,那么P〔 , 0〕或〔 , 0〕；
将此抛物线向左平移1个单位,再向上平移4个单位得到的抛物线是：y=﹣〔x+1〕2+4〔x+1〕﹣4+4,即：y=﹣x2+2x+3即y=﹣〔x﹣1〕2+4,∴顶点A坐标为〔1, 4〕；
〔2〕令y=0,得﹣x2+2x+3=0所以B〔﹣1, 0〕, C〔3, 0〕
设直线AB的函数关系式为y=kx+b、
∵A〔0, 4〕, B〔﹣1, 0〕∴ 解得 ,∴y=2x+2
∴PC=5﹣3=2∴QB=2∴Q〔4, 0〕或〔8, 0〕
∴P〔5, 4〕, Q〔4, 0〕或P〔5, 4〕, Q〔8, 0〕；
〔4〕当运行t秒时∴BN=2t, AM=t, BM=4﹣t
当△BMN∽△BAC∴
∵C〔3, 4〕, B〔6, 0〕,由两点间的距离公式得BC=5
∵A〔2, 0〕∴AB=4
∴ ,解得t=
故存在这样的点N,使△NMC为等腰三角形．且点N的坐标分别为： , N3〔2,﹣2〕．
3．如图,对称轴为直线x=4的抛物线交x轴于点A、B〔点A在B左侧〕,且点B坐标为〔6, 0〕,过点B的直线交抛物线于点C〔3, 4〕．
〔1〕写出点A坐标；
〔2〕求抛物线解析式；
〔3〕假设点P在抛物线的BC段上,那么x轴上时否存在点Q,使得以Q、B、P、C为顶点的四边形是平行四边形？假设存在,请分别求出点P、Q坐标；假设不存在,请说明理由；