四川叙州区第二中学校高2021届高2018级高三上学期阶段一考试文科数学试卷及参考答案

文科数学试题
(全卷满分150分,答题时间120分钟)
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,满分60分.每小题只有一个选项是正确的,请将正确答案用2Ｂ铅笔填涂在答题卡的相应位置上)
1.设{1,2,3,4,5}U =,{1,2,5}A =,{2,3,4}B =,则=)(A C B U ( ) A.∅ B.{2} C.{3,4} D.{1,3,4,5}
2.已知角α的终边经过点()5,12P --,则3sin 2πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
的值等于( ) A.5
13
-
B.
513 C.1213
-
D.
1213
3.函数()2ln f x x x =-+的图象在1x =处的切线方程为( ) A.10x y ++=
B.10x y -+=
C.210x y -+=
D.210x y +-=
4.已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为( ) A.2()f x x x =-
B.2()f x x x =--
C.2()f x x x =+
D.2()f x x x =-+
5.已知2log 0.3a =,0.3
2b =,0.2
0.3
c =,则a ,b ,c 三者的大小关系是( )
A.a b c >>
B.b a c >>
C.c b a >>
D.b c a >> 6.已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,)2
A π
ϕ><
的图象(部分)如图所示,
则1()2
f -=( )
A.32-
B.32
C.3 3 7.下列4个说法中正确的有( )
①命题“若2320x x -+=,则1x =”的逆否命题为“若1x ≠,则2320x x -+≠”； ②若0:0p x ∃≥,0sin 1x >,则:0p x ⌝∀≥,sin 1x ≤； ③若复合命题:“p q ∧”为假命题,则q p ,均为假命题； ④“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件. A.①②④ B.②③④ C.①②③
D.①③④
y
x
56
2
2
-1
3O
8.已知函数()⎩⎨⎧≤-->+=0
,10,log 32
2x x x x x x f ,则不等式5)(≤x f 的解集为( ) A.]1,1[- B.]4,2[- C.），（40]2,(⋃--∞ D.]40[]2,(，
⋃--∞ 9.函数ln ()x
f x x
=
的图象大致为( ) A. B.
C. D.
10.已知5sin cos 3cos 3sin =-+αααα,则=+αα2sin 2
1
cos 2( )
A.53-
B.5
3
C.3-
D.3 11.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-,当01x ≤≤时,()2
f x x =,则
()()()()1232019f f f f +++⋅⋅⋅+=( )
A.2019
B.1
C.1-
D.0
12.已知()3
ln 13f x x x ax =
-,若对于1x ∀,[]21,2x ∈,12x x ≠,都有
()()1212
f x f x a x x ''->-恒成立,则a 的取值范围为( ) A.1,
2⎛
⎫-∞ ⎪⎝⎭
B.1,2
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
C.(),1-∞
D.(]
,1-∞
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.请将正确答案填写在答题卡的相应横线上)
13.若幂函数()f x 的图象经过点12,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
,则(3)f = .
14.如图,为了测量两座山峰上P ,Q 两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3300 m 且和P ,Q 两点在同一平面内的路段AB 的两个端点作为观测点,现测得∠P AB ＝90°,∠P AQ ＝∠PBA ＝∠PBQ ＝60°,则P ,Q 两点间的距离为________ m .
15.如果将函数()()()sin 30f x x ϕπϕ=+-<<的图象向左平移12
π
个单位所得到的图象关于原点对称,那么ϕ=__________.
16.已知函数()x x f x xe e =-,函数()g x mx m =-(0m >),若对任意的1[22]x ∈-，,总存在2[22]x ∈-，使得12()()f x g x =,则实数m 的取值范围是__________.
三、解答题(本大题有6个小题,满分70分.请将解答过程写在答题卡的相应位置上)
17.(本题满分10分)已知m R ∈,命題:p 对任意[]0,1x ∈,不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒
成立；命题:q 存在[]1,1x ∈-,使得1
()12
x
m ≤-成立.
(1)若p 为真命题,求m 的取值范围； (2)若p q ∧为假,p q ∨为真,求m 的取值范围.
18.(本题满分12分)函数()()
2log 41x
f x =-.
(1)求函数()f x 的定义域；
(2)若[]
1,2x ∈,函数1262
)()
(+⋅-=x x f x g ,求函数)(x g 的值域.
19.(本题满分12分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为
,,a b c ,22212cos 2B C a b c +⎛
⎫+=- ⎪⎝⎭
.
(1)求角C ；
(2)若c =,求ABC ∆周长的最大值.
20.(本题满分12分)已知函数()()2cos sin cos =++f x x x x a ,当0,2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,()f x 的最
小值为1-.
(1)求a 的值及()f x 的单调递增区间；
(2)若()3
α=f ,3,88ππ
α⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
,求cos2α的值.
21.(本题满分12分)已知函数()2
x
e x
f x a =-.
(1)若1a =,证明:当0x ≥时,()1f x ≥；
(2)若()f x 在()0+∞，
有两个零点,求a 的取值范围.
22.(本题满分12分)已知函数32()2f x x ax b =-+. (1)讨论()f x 的单调性；
(2)是否存在,a b ,使得()f x 在区间[0,1]的最小值为1-且最大值为1？若存在,求出,a b 的所有值；若不存在,说明理由.
答案
一、选择题:
二、填空题:
13.19
； 14.900； 15.4π
-
； 16.2[,)e +∞
三、解答题:
17.解:(1)对任意[]0,1x ∈,不等式()2
2log 123x m m +-≥-恒成立,
当[]0,1x ∈,由对数函数的性质可知当0x =时,()2y log 12x =+-的最小值为2-,
223m m ∴-≥-,解得12m ≤≤.因此,若p 为真命题时,m 的取值范围是[]1,2.
(2)存在[]1,1x ∈-,使得1()12x
m ≤-成立,max 1[()1]12
x
m ∴≤-=.
命题q 为真时,1m ,p 且q 为假,p 或q 为真,
p ∴,q 中一个是真命题,一个是假命题.
当p 真q 假时,则12
1m m ≤≤⎧⎨
>⎩
解得12m <≤；
当p 假q 真时,121
m m m ⎧⎨
≤⎩或,即1m <.
综上所述,m 的取值范围为()(],11,2-∞.
18.解:(1)由题意:410x ->,∴41x >,则0x >, 所以函数()f x 的定义域为()0,+∞. (2)x x x x x f x
x g 26412621262)()
14
(log )(2⋅-=+⋅-=+⋅-=-
令2x t =,因为[]1,2x ∈,所以[]
2,4t ∈.
则t t t h 6)(2
-=在]3,2[单减,
]4,3（单增,所以)(t h 的值域为]8,9[--.
19.解:(1)由2
2212cos
2B C a b c +⎛⎫
+=- ⎪⎝
⎭
得22cos a b c A +=. 根据正弦定理,得sin 2sin 2cos sin A B A C +=,化为()sin 2sin 2cos sin A A C A C ++=, 整理得到sin 2sin cos A A C =-,因为sin 0A >, 故1cos 2C =-
,又0C π<<,所以23
C π=. (2)由余弦定理有2222cos c a b ab C =+-,故2212a b ab ++=, 整理得到()
2
2
12122a b a b ab +⎛⎫+=+≤+ ⎪
⎝⎭
,故
4a b +≤,
当且仅当2a b ==时等号成立,所以周长的最大值为224++=+
20.解:(1)()sin 21cos 2214π⎛
⎫=+++=
+++ ⎪⎝
⎭f x x x a x a ,
因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
,所以52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦,即5244x ππ+=时,()f x 取得最小值.
故min ()112⎛⎫=-++=- ⎪ ⎪⎝⎭
f x a ,即1a =-.所以()24π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭f x x . 由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤+
≤
+,k Z ∈, 所以()f x 的单调递增区间为3
,
8
8k k π
πππ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
,k Z ∈.
(2)因为()α=
f 所以1sin 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,
又3,88ππ
α⎛⎫∈
⎪⎝
⎭,所以2,42ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,cos 243πα⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭,
所以4cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 4444446ππππππαααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+++= ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.
21.解:(1)证明:当1a =时,函数()2
x
f x e x =-.则()'2x
f x e x =-,
令()2x
g x e x =-,则()'2x
g x e =-,令()'0g x =,得ln2x =.
当()0,ln2∈时,()'0h x <,当()ln2,∈+∞时,()'0h x >
()()(ln 2)22ln 200g x g f x '∴≥=->∴>
)(x f 在[)0,+∞单调递增,()()01f x f ∴≥=
(2)解:()f x 在），（∞+0有两个零点⇔方程20x e ax -=在）
，（∞+0有两个根, ⇔ 2x
e a x
=在）
，（∞+0有两个根, 即函数y a =与()2x
e G x x =的图像在）
，（∞+0有两个交点.()()3
2'x e x G x x -=,
当()0,2x ∈时,()'0G x <,()G x 在()0,2递增 当()2,x ∈+∞时,()'0G x >,()G x 在）
，（∞+2递增 所以()G x 最小值为()2
24
e G =,当0x →时,()G x →+∞,当x →+∞
时,()G x →+∞,)(x f 在），（∞+0有两个零点时,a 的取值范围是2,4e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
.
22.解: (1)对32()2f x x ax b =-+求导得2
'()626()3
a f x x ax x x =-=-.所以有 当0a <时,(,)3a -∞区间上单调递增,(,0)3
a 区间上单调递减,(0,)+∞区间上单调递增；
当0a =时,(,)-∞+∞区间上单调递增；
当0a >时,(,0)-∞区间上单调递增,(0,)3a 区间上单调递减,(,)3
a +∞区间上单调递增. (2)若0a <,(,)3a -∞区间上单调递增,(,0)3
a 区间上单调递减,(0,)+∞区间上单调递增； 此时在区间[0,1]上单调递增,所以(0)1f =-,(1)1f =代入解得1
b =-,0a =,与0a <矛盾,所以0a <不成立.
若0a =,(,)-∞+∞区间上单调递增；在区间[0,1].所以(0)1f =-,(1)1f =代入解得
1a b =⎧⎨=-⎩
. 若02a <≤,(,0)-∞区间上单调递增,(0,)3a
区间上单调递减,(,)3
a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减,在区间(,1)3a 单调递增,所以区间[0,1]上最小值为()3
a f 而(0),(1)2(0)f
b f a b f ==-+≥,故所以区间[0,1]上最大值为(1)f .
即3
22()()13321
a a a
b a b ⎧-+=-⎪⎨⎪-+=⎩相减得32227a a -+=,
即(0a a a -+=,又因为
02a <≤,所以无解.
若23a <≤,(,0)-∞区间上单调递增,(0,)3a 区间上单调递减,(,)3
a +∞区间上单调递增. 即()f x 在区间(0,)3a 单调递减,在区间(,1)3a 单调递增,所以区间[0,1]上最小值为()3
a f 而(0),(1)2(0)f
b f a b f ==-+≤,故所以区间[0,1]上最大值为(0)f .
即3
22()()1331
a a a
b b ⎧-+=-⎪⎨⎪=⎩相减得3227a =,
解得x =又因为23a <≤,所以无解.
若3a >,(,0)-∞区间上单调递增,(0,)3a 区间上单调递减,(,)3
a +∞区间上单调递增. 所以有()f x 区间[0,1]上单调递减,所以区间[0,1]上最大值为(0)f ,最小值为(1)f
即121b a b =⎧⎨-+=-⎩解得41a b =⎧⎨=⎩. 综上得0
1a b =⎧⎨=-⎩
或41a b =⎧⎨
=⎩.。